Jacobi souřadnice - Jacobi coordinates - Wikipedia

Jacobi souřadnice pro problém dvou těl; Jacobi souřadnice jsou ${ displaystyle { boldsymbol {R}} = { frac {m_ {1}} {M}} { boldsymbol {x}} _ {1} + { frac {m_ {2}} {M}} { boldsymbol {x}} _ {2}}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {r}} = { boldsymbol {x}} _ {1} - { boldsymbol {x}} _ {2}}$ s ${ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}$.^[1]

Možná sada Jacobiho souřadnic pro problém se čtyřmi těly; Jacobi souřadnice jsou r₁, r₂, r₃ a těžiště R. Viz Cornille.^[2]

V teorii mnohočásticových systémů Jacobi souřadnice často se používají ke zjednodušení matematické formulace. Tyto souřadnice jsou zvláště běžné při léčbě polyatomů molekuly a chemické reakce,^[3] a v nebeská mechanika.^[4] Algoritmus pro generování Jacobiho souřadnic pro N subjekty mohou být založeny na binární stromy.^[5] Řečeno slovy, algoritmus je popsán následovně:^[5]

Nechat m_j a m_k být masy dvou těles, které jsou nahrazeny novým tělem virtuální hmoty M = m_j + m_k. Souřadnice polohy X_j a X_k jsou nahrazeny jejich relativní polohou r_jk = X_j − X_k a vektorem do jejich těžiště R_jk = (m_j q_j + m_kq_k)/(m_j + m_k). Uzel v binárním stromu odpovídající virtuálnímu tělu má m_j jako jeho správné dítě a m_k jako jeho levé dítě. Pořadí dětí označuje relativní souřadné body z X_k na X_j. Výše uvedený krok opakujte pro N - 1 těla, tj N - 2 původní těla plus nové virtuální tělo.

Pro N- problém s tělem výsledek je:^[2]

${ displaystyle { boldsymbol {r}} _ {j} = { frac {1} {m_ {0j}}} sum _ {k = 1} ^ {j} m_ {k} { boldsymbol {x} } _ {k} - { boldsymbol {x}} _ {j + 1} , quad j in {1,2, dots, N-1 }}$

${ displaystyle { boldsymbol {r}} _ {N} = { frac {1} {m_ {0N}}} sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} { boldsymbol {x} } _ {k} ,}$

s

${ displaystyle m_ {0j} = součet _ {k = 1} ^ {j} m_ {k} .}$

Vektor ${ displaystyle { boldsymbol {r}} _ {N}}$ je těžiště všech orgánů:

Výsledkem, který je ponechán, je tedy systém N-1 translačně invariantní souřadnice ${ displaystyle { boldsymbol {r}} _ {1}, tečky, { boldsymbol {r}} _ {N-1}}$ a těžiště souřadnic ${ displaystyle { boldsymbol {r}} _ {N}}$z iterativní redukce systémů dvou těl v systému více těl.

Tato změna souřadnic je spojena Jacobian rovná ${ displaystyle 1}$.

Pokud má někdo zájem o vyhodnocení operátora volné energie na těchto souřadnicích, získá

${ displaystyle H_ {0} = - součet _ {j = 1} ^ {N} { frac {1} {2m_ {j}}} , částečný _ {{ boldsymbol {x}} _ {j }} ^ {2} = - { frac {1} {2m_ {0N}}} , částečný _ {{ boldsymbol {r}} _ {N}} ^ {2} ! - { frac { 1} {2}} sum _ {j = 1} ^ {N-1} ! Left ({ frac {1} {m_ {j + 1}}} + { frac {1} {m_ { 0j}}} vpravo) částečný _ {{ boldsymbol {r}} _ {j}} ^ {2}}$

Ve výpočtech může být užitečná následující identita

${ displaystyle sum _ {k = j + 1} ^ {N} { frac {m_ {k}} {m_ {0k} m_ {0k-1}}} = { frac {1} {m_ {0j }}} - { frac {1} {m_ {0N}}}}$.

Reference