Relativistická Lagrangeova mechanika - Relativistic Lagrangian mechanics

Část série na
Vesmírný čas
Speciální relativita Obecná relativita
Časoprostorové koncepty Časoprostorové potrubí Princip ekvivalence Lorentzovy transformace Minkowského prostor
Obecná relativita Úvod do obecné relativity Matematika obecné relativity Einsteinovy ​​polní rovnice
Klasická gravitace Úvod do gravitace Newtonův zákon univerzální gravitace
Relevantní matematika Čtyři-vektor Derivace relativity Časoprostorové diagramy Diferenciální geometrie Zakřivený časoprostor Matematika obecné relativity Topologie časoprostoru

v teoretická fyzika, relativistická Lagrangeova mechanika je Lagrangian mechanika aplikováno v kontextu speciální relativita a obecná relativita.

Lagrangeova formulace ve speciální relativitě

Lagrangeovy mechaniky lze formulovat do speciální relativita jak následuje. Zvažte jednu částici (N částice jsou zvažovány později).

Formulace souřadnic

Pokud je systém popsán Lagrangeovým L, Euler-Lagrangeovy rovnice

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { dot { mathbf {r}}}}}} = { frac { částečné L} { částečné mathbf {r}}}}$

zachovat svou formu v speciální relativita, za předpokladu, že Lagrangian generuje pohybové rovnice v souladu se speciální relativitou. Tady r = (X, y, z) je vektor polohy částice měřeno u některých laboratorní rám kde Kartézské souřadnice jsou používány pro jednoduchost a

${ displaystyle mathbf {v} = { dot { mathbf {r}}} = { frac {d mathbf {r}} {dt}} = left ({ frac {dx} {dt}} , { frac {dy} {dt}}, { frac {dz} {dt}} right)}$

je rychlost souřadnic, derivát polohy r s ohledem na souřadnicový čas t. (V celém tomto článku jsou overdots s ohledem na čas koordinace, nikoli na správný čas). Je možné převést souřadnice polohy na zobecněné souřadnice přesně jako v nerelativistické mechanice, r = r(q, t). Užívání celkový rozdíl z r získá transformaci rychlosti proti na zobecněné souřadnice, zobecněné rychlosti a čas souřadnic

${ displaystyle mathbf {v} = součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečný mathbf {r}} { částečný q_ {j}}} { tečka {q}} _ {j} + { frac { částečné mathbf {r}} { částečné t}} ,, quad { dot {q}} _ {j} = { frac {dq_ {j}} {dt }}}$

připomíná to samé. Nicméně energie pohybující se částice se liší od nerelativistické mechaniky. Je poučné podívat se na celkovou částku relativistická energie volné zkušební částice. Pozorovatel v rámci laboratoře definuje události pomocí souřadnic r a souřadnicový čas ta měří částici tak, aby měla souřadnicovou rychlost proti = dr/dt. Naproti tomu pozorovatel pohybující se s částicemi zaznamená jiný čas, to je správný čas, τ. Rozšiřování v výkonová řada, první člen je částicový klidová energie plus jeho nerelativistické Kinetická energie, následované relativistickými opravami vyššího řádu;

${ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} { frac {dt} {d tau}} = { frac {m_ {0} c ^ {2}} { sqrt {1 - { frac {{ dot { mathbf {r}}} ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}}}} = m_ {0} c ^ {2} + {1 nad 2} m_ { 0} { dot { mathbf {r}}} ^ {2} (t) + {3 nad 8} m_ {0} { frac {{ dot { mathbf {r}}} ^ {4} (t)} {c ^ {2}}} + cdots ,.}$

kde C je rychlost světla ve vakuu. The diferenciály v t a τ jsou ve vztahu Lorentzův faktor y,^{[pozn. 1]}

${ displaystyle dt = gamma ({ dot { mathbf {r}}}) d tau ,, quad gamma ({ dot { mathbf {r}}}) = { frac {1} { sqrt {1 - { frac {{ dot { mathbf {r}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} ,, quad { dot { mathbf {r }}} = { frac {d mathbf {r}} {dt}} ,, quad { dot { mathbf {r}}} ^ {2} (t) = { dot { mathbf { r}}} (t) cdot { dot { mathbf {r}}} (t) ,.}$

kde je Tečkovaný produkt. Relativistická kinetická energie pro nenabitou částici odpočinková hmota m₀ je

${ displaystyle T = ( gamma ({ dot { mathbf {r}}}) - 1) m_ {0} c ^ {2}}$

a můžeme naivně hádat, že relativistický Lagrangian pro částici bude tato relativistická kinetická energie minus potenciální energie. Avšak i pro volnou částici, pro kterou PROTI = 0, to je špatně. V návaznosti na nerelativistický přístup očekáváme, že derivátem tohoto zdánlivě správného Lagrangeova s ​​ohledem na rychlost bude relativistická hybnost, což není.

Definici generalizované hybnosti lze zachovat a výhodné spojení mezi cyklické souřadnice a konzervovaná množství bude nadále platit. Moment lze použít k „zpětnému inženýrství“ Lagrangeovy. Pro případ volné masivní částice, v kartézských souřadnicích, X složka relativistické hybnosti je

${ displaystyle p_ {x} = { frac { částečné L} { částečné { dot {x}}}} = gamma ({ dot { mathbf {r}}}) m_ {0} { tečka {x}} ,, quad}$

a podobně pro y a z komponenty. Integrace této rovnice s ohledem na dx/dt dává

${ displaystyle L = - { frac {m_ {0} c ^ {2}} { gamma ({ dot { mathbf {r}}})}} + X ({ dot {y}}, { dot {z}}) ,,}$

kde X je libovolná funkce dy/dt a dz/dt z integrace. Integrace p_y a p_z získává podobně

${ displaystyle L = - { frac {m_ {0} c ^ {2}} { gamma ({ dot { mathbf {r}}})}} + Y ({ dot {x}}, { dot {z}}) ,, quad L = - { frac {m_ {0} c ^ {2}} { gamma ({ dot { mathbf {r}}})}} + Z ( { dot {x}}, { dot {y}}) ,,}$

kde Y a Z jsou libovolné funkce jejich indikovaných proměnných. Protože funkce X, Y, Z jsou libovolné, aniž bychom ztratili obecnost, můžeme dospět k závěru, že společné řešení těchto integrálů, možný Lagrangian, který bude správně generovat všechny složky relativistické hybnosti, je

${ displaystyle L = - { frac {m_ {0} c ^ {2}} { gamma ({ dot { mathbf {r}}})}} ,,}$

kde X = Y = Z = 0.

Alternativně, protože si přejeme vybudovat Lagrangeovu z relativisticky neměnných veličin, vezměte akci jako proporcionální k integrálu Lorentzův invariant prvek čáry v vesmírný čas, délka částice světová linie mezi správnými časy τ₁ a τ₂,^{[pozn. 1]}

${ displaystyle S = varepsilon int _ { tau _ {1}} ^ { tau _ {2}} d tau = varepsilon int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { frac {dt} { gamma ({ dot { mathbf {r}}})}} ,, quad L = { frac { varepsilon} { gamma ({ dot { mathbf {r} }})}} = = varepsilon { sqrt {1 - { frac {{ dot { mathbf {r}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}} ,,}$

kde ε je konstanta, která se má najít, a po převodu správného času částice na čas souřadnic měřený v laboratorním rámci je integrand podle definice Lagrangian. Hybnost musí být relativistická hybnost,

${ displaystyle mathbf {p} = { frac { částečné L} { částečné { dot { mathbf {r}}}}} = vlevo ({ frac {- varepsilon} {c ^ {2 }}} vpravo) gamma ({ dot { mathbf {r}}}) { dot { mathbf {r}}} = m_ {0} gamma ({ dot { mathbf {r}} }) { dot { mathbf {r}}} ,,}$

což vyžaduje ε = −m₀C², po dohodě s dříve získaným Lagrangeovým.

Ať tak či onak, vektor polohy r chybí Lagrangeově, a proto cyklické, takže Euler-Lagrangeovy rovnice jsou v souladu s stálostí relativistické hybnosti,

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { dot { mathbf {r}}}}}} = { frac { částečné L} { částečné mathbf {r}}} quad Rightarrow quad { frac {d} {dt}} (m_ {0} gamma ({ dot { mathbf {r}}}) { dot { mathbf {r }}}) = 0 ,,}$

což musí být případ volné částice. Také rozšíření relativistické volné částice Lagrangian v mocenské řadě do prvního řádu v (proti/C)²,

${ displaystyle L = -m_ {0} c ^ {2} left [1 + { frac {1} {2}} left (- { frac {{ dot { mathbf {r}}} ^ {2}} {c ^ {2}}} vpravo) + cdots vpravo] přibližně -m_ {0} c ^ {2} + { frac {m_ {0}} {2}} { tečka { mathbf {r}}} ^ {2} ,,}$

v nerelativistickém limitu, když proti je malý, termíny vyššího řádu, které nejsou zobrazeny, jsou zanedbatelné a Lagrangian je nerelativistická kinetická energie, jak má být. Zbývající člen je záporem zbytkové energie částice, což je konstantní člen, který lze v lagrangiánu ignorovat.

Pro případ interagující částice podléhající potenciálu PROTI, který může být nekonzervativní, je možné u řady zajímavých případů tento potenciál jednoduše odečíst od volné částice Lagrangian,

${ displaystyle L = - { frac {m_ {0} c ^ {2}} { gamma ({ dot { mathbf {r}}})}} - V ( mathbf {r}, { dot { mathbf {r}}}, t) ,.}$

a Euler-Lagrangeovy rovnice vedou k relativistické verzi Newtonův druhý zákon „, souřadnicová časová derivace relativistické hybnosti je síla působící na částici;

${ displaystyle mathbf {F} = { frac {d} {dt}} { frac { částečné V} { částečné { dot { mathbf {r}}}}} - { frac { částečné V} { částečné mathbf {r}}} = { frac {d} {dt}} (m_ {0} gamma ({ dot { mathbf {r}}}) { dot { mathbf { r}}}) ,.}$

za předpokladu, že potenciál PROTI může generovat odpovídající sílu F Takto. Pokud potenciál nemůže získat sílu, jak je znázorněno, pak by Lagrangian potřeboval úpravu, aby získal správné pohybové rovnice.

Je také pravda, že pokud je lagranián výslovně nezávislý na čase a potenciálu PROTI(r) nezávisle na rychlostech, pak celková relativistická energie

${ displaystyle E = { frac { parciální L} { parciální { dot { mathbf {r}}}}} cdot { dot { mathbf {r}}} - L = gamma ({ tečka { mathbf {r}}}) m_ {0} c ^ {2} + V ( mathbf {r})}$

je zachována, i když identifikace je méně zřejmá, protože prvním termínem je relativistická energie částice, která zahrnuje zbytkovou hmotnost částice, nejen relativistická kinetická energie. Argument pro homogenní funkce také neplatí pro relativistické Lagrangians.

Rozšíření na N částice jsou přímočaré, relativistický Lagrangian je pouze součtem termínů „volné částice“, minus potenciální energie jejich interakce;

${ displaystyle L = -c ^ {2} sum _ {k = 1} ^ {N} { frac {m_ {0k}} { gamma ({ dot { mathbf {r}}} _ {k })}} - V ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, { dot { mathbf {r}}} _ {1}, { dot { mathbf {r}}} _ {2}, ldots, t) ,,}$

kde jsou všechny polohy a rychlosti měřeny ve stejném laboratorním rámci, včetně času.

Výhodou této formulace souřadnic je, že ji lze aplikovat na různé systémy, včetně systémů s více částmi. Nevýhodou je, že některý laboratorní rámec byl vybrán jako preferovaný rámec a žádná z rovnic není zjevně kovariantní (jinými slovy, nemají stejnou formu ve všech referenčních rámcích). Aby se pozorovatel pohyboval vzhledem k laboratornímu rámu, musí být vše přepočítáno; pozice rhybnost p, celková energie E, potenciální energie atd. Zejména pokud se tento druhý pozorovatel pohybuje konstantní relativní rychlostí, pak Lorentzovy transformace musí být použito. Akce však zůstane stejná, protože je konstrukčně neměnná Lorentz.

Zdánlivě odlišnou, ale zcela ekvivalentní formu Lagrangeovy formy volné masivní částice, která se snadno rozšíří na obecnou relativitu, jak je znázorněno níže, lze získat vložením^{[pozn. 1]}

${ displaystyle d tau = { frac {1} {c}} { sqrt { eta _ { alpha beta} { frac {dx ^ { alpha}} {dt}} { frac {dx ^ { beta}} {dt}}}} dt ,,}$

do Lorentzovy invariantní akce

${ displaystyle S = varepsilon int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { frac {1} {c}} { sqrt { eta _ { alpha beta} { frac { dx ^ { alpha}} {dt}} { frac {dx ^ { beta}} {dt}}}} dt quad Rightarrow quad L = { frac { varepsilon} {c}} { sqrt { eta _ { alpha beta} { frac {dx ^ { alpha}} {dt}} { frac {dx ^ { beta}} {dt}}}}}$

kde ε = −m₀C² je zachován pro jednoduchost. Přestože prvek čáry a akce jsou Lorentzovy invariantní, Lagrangian je ne, protože má výslovnou závislost na čase koordinace laboratoře. Pohybové rovnice přesto vyplývají z Hamiltonův princip

${ displaystyle delta S = 0 ,.}$

Vzhledem k tomu, že akce je úměrná délce světové linie částice (jinými slovy její trajektorie v časoprostoru), tato trasa ilustruje, že nalezení stacionární akce je podobné nalezení trajektorie nejkratší nebo největší délky v časoprostoru. Odpovídajícím způsobem jsou pohybové rovnice částice podobné rovnicím popisujícím dráhy nejkratší nebo největší délky v časoprostoru, geodetika.

Pro případ interagující částice v potenciálu PROTILagrangeovci jsou stále

${ displaystyle L = { frac { varepsilon} {c}} { sqrt { eta _ { alpha beta} { frac {dx ^ { alpha}} {dt}} { frac {dx ^ { beta}} {dt}}}} - V}$

která se může rozšířit i na mnoho částic, jak je znázorněno výše, každá částice má svou vlastní sadu polohových souřadnic pro definování své polohy.

Koviantní formulace

V kovariantní formulaci je čas umístěn na stejné úrovni s prostorem, takže čas souřadnic měřený v nějakém rámci je součástí konfiguračního prostoru vedle prostorových souřadnic (a dalších zobecněných souřadnic).^[1] U částice buď bezhmotný nebo masivní, Lorentzova invariantní akce je (zneužívající notace)^[2]

${ displaystyle S = int _ { sigma _ {1}} ^ { sigma _ {2}} Lambda (x ^ { nu} ( sigma), u ^ { nu} ( sigma), sigma) d sigma}$

kde se používají dolní a horní indexy podle kovariance a kontravariance vektorů, σ je afinní parametr, a u^μ = dx^μ/dσ je čtyřrychlostní částice.

U masivních částic σ může být délka oblouku snebo správný čas τpodél čáry světa částice,

${ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} d tau ^ {2} = g _ { alpha beta} dx ^ { alpha} dx ^ { beta} ,.}$

U nehmotných částic to nemůže, protože správný čas nehmotných částic je vždy nula;

${ displaystyle g _ { alpha beta} dx ^ { alpha} dx ^ { beta} = 0 ,.}$

Pro volnou částici má Lagrangian formu^[3][4]

${ displaystyle Lambda = g _ { alpha beta} { frac {dx ^ { alpha}} {d sigma}} { frac {dx ^ { beta}} {d sigma}}}$

kde je dovoleno zmenšit irelevantní faktor 1/2 pomocí měřítka vlastnosti Lagrangians. Není nutné zahrnout hmotu, protože to platí i pro nehmotné částice. Euler-Lagrangeovy rovnice v souřadnicích časoprostoru jsou

${ displaystyle { frac {d} {d sigma}} { frac { částečné Lambda} { částečné u ^ { alpha}}} - { frac { částečné Lambda} { částečné x ^ { alpha}}} = { frac {d ^ {2} x ^ { alpha}} {d sigma ^ {2}}} + Gamma _ { beta gamma} ^ { alpha} { frac {dx ^ { beta}} {d sigma}} { frac {dx ^ { gamma}} {d sigma}} = 0 ,,}$

což je geodetická rovnice pro afinně parametrizovanou geodetiku v časoprostoru. Jinými slovy, volná částice sleduje geodetiku. Geodetice pro nehmotné částice se říká „nulová geodetika“, protože leží v „světelný kužel „nebo„ nulový kužel “časoprostoru (nulový vznikne, protože jejich vnitřní součin přes metriku je roven 0), masivní částice sledují„ podobnou geodetiku “a hypotetické částice, které cestují rychleji než světlo známé jako Tachyony postupujte podle „vesmírné geodetiky“.

Tato zjevně kovariantní formulace se nevztahuje na N částicový systém, od té doby nelze afinní parametr jakékoli částice definovat jako společný parametr pro všechny ostatní částice.

Příklady speciální relativity

Speciální relativistický 1d harmonický oscilátor

Pro 1 relativistické jednoduchý harmonický oscilátor, Lagrangian je^[5][6]

${ displaystyle L = -mc ^ {2} { sqrt {1 - { frac {{ dot {x}} ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}}} - { frac {k} {2}} x ^ {2} ,.}$

kde k je jarní konstanta.

Speciální relativistická konstantní síla

Pro částici pod konstantní silou je Lagrangeova hodnota^[7]

${ displaystyle L = -mc ^ {2} { sqrt {1 - { frac {{ dot {x}} ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}}} - max , .}$

kde A je síla na jednotku hmotnosti.

Speciální relativistická testovací částice v elektromagnetickém poli

Ve speciální relativitě se lagranián masivní nabité testovací částice v elektromagnetickém poli mění na^[8]

${ displaystyle L = -mc ^ {2} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - q phi + q { dot { mathbf { r}}} cdot mathbf {A} ,.}$

Lagrangeovy rovnice v r vést k Lorentzova síla zákon, pokud jde o relativistická hybnost

${ displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac {m { dot { mathbf {r}}}} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} { c ^ {2}}}}}} right) = q mathbf {E} + q { dot { mathbf {r}}} times mathbf {B} ,.}$

V jazyce čtyři vektory a notace tenzorového indexu, Lagrangian má podobu

${ displaystyle L ( tau) = { frac {1} {2}} mu ^ { mu} ( tau) u _ { mu} ( tau) + qu ^ { mu} ( tau) A_ { mu} (x)}$

kde u^μ = dx^μ/dτ je čtyřrychlostní - zkušební částice a - A^μ the elektromagnetický čtyři potenciál.

Euler-Lagrangeovy rovnice jsou (všimněte si celkové derivace s ohledem na správný čas místo souřadnicový čas )

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné x ^ { nu}}} - { frac {d} {d tau}} { frac { částečné L} { částečné u ^ { nu}}} = 0}$

získává

${ displaystyle qu ^ { mu} { frac { částečné A _ { mu}} { částečné x ^ { nu}}} = { frac {d} {d tau}} (mu _ { nu } + qA _ { nu}) ,.}$

Pod celková derivace pokud jde o správný čas, první člen je relativistická hybnost, druhý člen je

${ displaystyle { frac {dA _ { nu}} {d tau}} = { frac { částečné A _ { nu}} { částečné x ^ { mu}}} { frac {dx ^ { mu}} {d tau}} = { frac { částečné A _ { nu}} { částečné x ^ { mu}}} u ^ { mu} ,,}$

poté přeskupit a použít definici antisymetrie elektromagnetický tenzor, dává kovarianční formu Lorentzova silového zákona ve známější formě,

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} (mu _ { nu}) = qu ^ { mu} F _ { nu mu} ,, quad F _ { nu mu} = { frac { částečné A _ { mu}} { částečné x ^ { nu}}} - { frac { částečné A _ { nu}} { částečné x ^ { mu}}} ,.}$

Lagrangeova formulace v obecné relativitě

Lagrangian je to jediné částice plus interakční člen L_Já

${ displaystyle L = -mc ^ {2} { frac {d tau} {dt}} + L_ {I} ,.}$

Liší se to vzhledem k poloze částice r^α jako funkce času t dává

${ displaystyle { begin {zarovnáno} delta L & = m { frac {dt} {2d tau}} delta left (g _ { mu nu} { frac {dx ^ { mu}} { dt}} { frac {dx ^ { nu}} {dt}} vpravo) + delta L_ {I} & = m { frac {dt} {2d tau}} vlevo (g_ { mu nu, alpha} delta x ^ { alpha} { frac {dx ^ { mu}} {dt}} { frac {dx ^ { nu}} {dt}} + 2g _ { alpha nu} { frac {d delta x ^ { alpha}} {dt}} { frac {dx ^ { nu}} {dt}} doprava) + { frac { částečný L_ {I }} { částečné x ^ { alpha}}} delta x ^ { alpha} + { frac { částečné L_ {I}} { částečné { frac {dx ^ { alfa}} {dt} }}} { frac {d delta x ^ { alpha}} {dt}} & = { frac {1} {2}} mg _ { mu nu, alpha} delta x ^ { alpha} { frac {dx ^ { mu}} {d tau}} { frac {dx ^ { nu}} {dt}} - { frac {d} {dt}} vlevo (mg_ { alpha nu} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}} vpravo) delta x ^ { alpha} + { frac { parciální L_ {I}} { parciální x ^ { alpha}}} delta x ^ { alpha} - { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečné L_ {I}} { částečné { frac {dx ^ { alpha}} {dt}}}} right) delta x ^ { alpha} + { frac {d ( cdots)} {dt}} , end {zarovnáno}}}$

To dává pohybovou rovnici

${ displaystyle 0 = { frac {1} {2}} mg _ { mu nu, alpha} { frac {dx ^ { mu}} {d tau}} { frac {dx ^ { nu}} {dt}} - { frac {d} {dt}} vlevo (mg _ { alpha nu} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}} vpravo) + f_ { alpha}}$

kde

${ displaystyle f _ { alpha} = { frac { částečné L_ {I}} { částečné x ^ { alpha}}} - { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečný L_ {I}} { částečný { frac {dx ^ { alpha}} {dt}}}} vpravo)}$

je negravitační síla na částici. (Pro m abychom byli nezávislí na čase, musíme mít ${ displaystyle f _ { alpha} { tfrac {dx ^ { alpha}} {dt}} = 0}$.)

Přeskupením se získá silová rovnice

${ displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo (m { frac {dx ^ { nu}} {d tau}} vpravo) = - m gama _ { mu sigma} ^ { nu} { frac {dx ^ { mu}} {d tau}} { frac {dx ^ { sigma}} {dt}} + g ^ { nu alpha} f _ { alpha} }$

kde Γ je Christoffelův symbol což je gravitační silové pole.

Pokud to necháme

${ displaystyle p ^ { nu} = m { frac {dx ^ { nu}} {d tau}}}$

být (kinetickým) lineárním momentem částice s hmotností

${ displaystyle { frac {dp ^ { nu}} {dt}} = - Gamma _ { mu sigma} ^ { nu} p ^ { mu} { frac {dx ^ { sigma} } {dt}} + g ^ { nu alpha} f _ { alpha}}$

a

${ displaystyle { frac {dx ^ { nu}} {dt}} = { frac {p ^ { nu}} {p ^ {0}}}}$

držte se i u bezhmotné částice.

Příklady obecné relativity

Obecná relativistická testovací částice v elektromagnetickém poli

v obecná relativita První člen zevšeobecňuje (zahrnuje) jak klasickou kinetickou energii, tak interakci s gravitačním polem. Pro nabitou částici v elektromagnetickém poli to je

${ displaystyle L (t) = - mc ^ {2} { sqrt {-c ^ {- 2} g _ { mu nu} (x (t)) { frac {dx ^ { mu} (t )} {dt}} { frac {dx ^ { nu} (t)} {dt}}}} + q { frac {dx ^ { mu} (t)} {dt}} A _ { mu } (x (t)) ,.}$

Pokud jsou to čtyři časoprostorové souřadnice X^µ jsou uvedeny v libovolných jednotkách (tj. bez jednotek) G_µν v m² je hodnost 2 symetrická metrický tenzor což je také gravitační potenciál. Taky, A_µ ve V · s je elektromagnetický 4-vektorový potenciál.

Viz také

• Relativistická mechanika
• Základní lemma variačního počtu
• Kanonické souřadnice
• Funkční derivace
• Zobecněné souřadnice
• Hamiltoniánská mechanika
• Hamiltonova optika
• Lagrangeova analýza (aplikace Lagrangeovy mechaniky)
• Lagrangeův bod
• Lagrangeový systém
• Neautonomní mechanika
• Omezený problém se třemi těly
• Problém náhorní plošiny

Poznámky pod čarou

Poznámky

Reference

• Penrose, Roger (2007). Cesta do reality. Vintage knihy. ISBN  978-0-679-77631-4.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (15. ledna 1976). Mechanika (3. vyd.). Butterworth Heinemann. str.134. ISBN  9780750628969.
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1975). Klasická teorie polí. Elsevier Ltd. ISBN  978-0-7506-2768-9.
• Hand, L. N .; Finch, J. D. (13. listopadu 1998). Analytická mechanika (2. vyd.). Cambridge University Press. str.23. ISBN  9780521575720.
• Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytická mechanika. Cambridge University Press. str. 140–141. ISBN  0-521-57572-9.
• Goldstein, Herbert (1980). Klasická mechanika (2. vyd.). San Francisco, Kalifornie: Addison Wesley. str.352 –353. ISBN  0201029189.
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Klasická mechanika (3. vyd.). San Francisco, Kalifornie: Addison Wesley. str. 347–349. ISBN  0-201-65702-3.
• Lanczos, Cornelius (1986). „II §5 Pomocné podmínky: Lagrangeova metoda λ“. Variační principy mechaniky (Dotisk University of Toronto 1970, 4. vydání.). Courier Dover. str. 43. ISBN  0-486-65067-7.
• Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1977) [1964]. Feynmanovy přednášky z fyziky. 2. Addison Wesley. ISBN  0-201-02117-X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Foster, J; Slavík, J.D. (1995). Krátký kurz obecné relativity (2. vyd.). Springer. ISBN  0-03-063366-4.
• M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006). Obecná relativita: Úvod pro fyziky. Cambridge University Press. str. 79–80. ISBN  9780521829519.