Topologická dynamika - Topological dynamics

v matematika, topologická dynamika je obor teorie dynamické systémy ve kterém jsou studovány kvalitativní, asymptotické vlastnosti dynamických systémů z hlediska obecná topologie.

Rozsah

Ústředním předmětem studia topologické dynamiky je a topologický dynamický systém, tj topologický prostor, společně s a kontinuální transformace, kontinuální tok, nebo obecněji, a poloskupina kontinuálních transformací tohoto prostoru. Počátky topologické dynamiky spočívají ve studiu asymptotických vlastností trajektorie systémů autonomní obyčejné diferenciální rovnice, zejména chování sady limitů a různé projevy „opakování“ pohybu, jako jsou periodické trajektorie, opakování a minimálnost, stabilita, netoulavé body. George Birkhoff je považován za zakladatele oboru. Věta o struktuře pro minimální distální toky dokázaná Hillel Furstenberg na počátku šedesátých let inspirovalo mnoho práce na klasifikaci minimálních toků. Hodně výzkumu v 70. a 80. letech se věnovalo topologické dynamice jednorozměrných map, zejména po částech lineární vlastní mapy intervalu a kružnice.

Na rozdíl od teorie plynulých dynamických systémů, kde hlavním předmětem studia je a hladké potrubí s difeomorfismus nebo plynulý tok, fázové prostory v topologické dynamice považovány za obecné metrické prostory (obvykle, kompaktní ). To vyžaduje vývoj zcela odlišných technik, ale umožňuje to další stupeň flexibility i v plynulém nastavení, protože invariantní podmnožiny potrubí jsou často velmi komplikované topologicky (srov mezní cyklus, podivný atraktor ); dodatečně, mezery posunu vznikající prostřednictvím symbolických reprezentací lze považovat za rovnocenné s více geometrickými akcemi. Topologická dynamika má intimní souvislosti ergodická teorie dynamických systémů a mnoho jejich základních konceptů má topologické analogy (srov Kolmogorov – sinajská entropie a topologická entropie ).

Viz také

• Poincaré – Bendixsonova věta
• Symbolická dynamika
• Topologická konjugace

Reference

• D. V. Anosov (2001) [1994], "Topologická dynamika", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Joseph Auslander (ed.). "Topologická dynamika". Scholarpedia.
• Robert Ellis, Přednášky o topologické dynamice. W. A. ​​Benjamin, Inc., New York 1969
• Walter Gottschalk, Gustav Hedlund, Topologická dynamika. American Mathematical Society Colloquium Publications, sv. 36. American Mathematical Society, Providence, R. I., 1955
• J. de Vries, Prvky topologické dynamiky. Matematika a její aplikace, 257. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993 ISBN  0-7923-2287-8
• Ethan Akin, Obecná topologie dynamických systémů, AMS Bookstore, 2010, ISBN  978-0-8218-4932-3
• J. de Vries, Topologické dynamické systémy: Úvod do dynamiky spojitých mapování„De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, Berlin, 2014, ISBN  978-3-1103-4073-0
• Jian Li a Xiang Dong Ye, Nedávný vývoj teorie chaosu v topologické dynamiceActa Mathematica Sinica, anglická řada, 2016, svazek 32, vydání 1, s. 83–114.