Dvojitý groupoid - Double groupoid

v matematika, speciálně v výšková algebra a teorie homotopy, a dvojitý grupoid zobecňuje pojem grupoid a ze dne kategorie do vyšší dimenze.

Definice

A dvojitý groupoid D je vyšší dimenze grupoid zahrnující vztah pro „horizontální“ i „vertikální“ grupoidní struktury.^[1] (Dvojitý grupoid lze také považovat za zobecnění určitých skupin vyšších dimenzí.^[2]) Geometrie čtverců a jejich složení vede ke společné reprezentaci a dvojitý grupoid v následujícím diagram:

kde M je sada „bodů“, H a PROTI jsou „horizontální“ a „vertikální“ grupoidy a S je sada „čtverců“ se dvěma kompozicemi. The zákony o složení pro dvojitý grupoid D učinit z něj také popisovatelný interně grupoid uvnitř kategorie grupoidů.

Vzhledem k tomu, dva grupoidy H a PROTI přes sadu M, existuje dvojitý groupoid ${ displaystyle Box (H, V)}$ s H, V jako horizontální a vertikální hranové grupoidy a čtverce dané čtyřnásobky

${ displaystyle { begin {pmatrix} & h & [- 0,9ex] v && v ' [- 0,9ex] & h' & end {pmatrix}}}$

pro které se vždy předpokládá, že h, h ′ jsou v H a v, v ′ jsou v PROTI, a že počáteční a konečné body těchto hran se shodují M jak navrhuje notace; to je například sh = sv, th = sv ', ... atd. Skladby se zdědí od skladeb z H, V; to je:

${ displaystyle { begin {pmatrix} & h & [- 0,9ex] v && v ' [- 0,9ex] & h' & end {pmatrix}} circ _ {1} { begin {pmatrix} & h '& [- 0,9ex] w && w ' [- 0,9ex] & h' '& end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & h & [- 0,9ex] vw && v'w' [- 0,9 ex] & h '' & end {pmatrix}}}$

a

${ displaystyle { begin {pmatrix} & h & [- 0,9ex] v && v ' [- 0,9ex] & h' & end {pmatrix}} circ _ {2} { begin {pmatrix} & k & [-0,9ex] v '&& v' ' [- 0,9ex] & k' & end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & hk & [- 0,9ex] v && v '' [- 0,9ex ] & h'k '& end {pmatrix}}}$

Tato konstrukce je správným adjunktem k zapomnětlivému funktoru, který bere dvojitý grupoid, jak je uvedeno výše, k dvojici grupoidů H, V přes M.

Další související konstrukce jsou konstrukce dvojitého grupoidu se spojením^[3] a homotopovat dvojité grupoidy.^[4] Homotopický dvojitý grupoid dvojice špičatých prostorů je klíčovým prvkem důkazu dvojrozměrné věty Seifert-van Kampen, kterou poprvé prokázali Brown a Higgins v roce 1978,^[5] a podrobně pojednáno v knize.^[6]

Příklady

Snadnou třídu příkladů lze připravit zvážením zkřížené moduly nebo ekvivalentně data morfismu skupin

${ displaystyle [G_ {1} xrightarrow { phi} G_ {0}]}$

který má ekvivalentní popis jako groupoid interní pro kategorii skupin

${ displaystyle s, t: G_ {0} krát G_ {1} až G_ {0}}$

kde

${ displaystyle { begin {matrix} s (g_ {0}, g_ {1}) = g_ {0} & t (g_ {0}, g_ {1}) = phi (g_ {1}) g_ {0 } end {matice}}}$

jsou strukturní morfizmy pro tento grupoid. Vzhledem k tomu, skupiny vložit do kategorie groupoids odesílání skupiny ${ displaystyle G}$ do kategorie ${ displaystyle { textbf {B}} G}$ s jediným objektem a morfismem dávajícím skupině ${ displaystyle G}$, výše uvedená struktura dává dvojitý groupoid. Uveďme explicitní příklad: z rozšíření skupiny

${ displaystyle 1 až mathbb {Z} _ {4} až Q_ {8} až mathbb {Z} _ {2} až 1}$

a vložení ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2} to mathbb {Z} _ {4}}$, existuje přidružený dvojitý grupoid ze dvoučlenného komplexu skupin

${ displaystyle Q_ {8} to mathbb {Z} _ {4}}$

s jádrem je ${ displaystyle mathbb {Z} _ {4}}$ a cokernel je dán ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$. To dává přidružené homotopický typ ${ displaystyle X}$^[7] s

${ displaystyle pi _ {1} (X) = mathbb {Z} _ {2}}$ a ${ displaystyle pi _ {2} (X) = mathbb {Z} _ {4}}$

Své postnikov invariant lze určit třídou ${ displaystyle Q_ {8} to mathbb {Z} _ {4}}$ v skupinová kohomologie skupina ${ displaystyle H ^ {3} ( mathbb {Z} _ {2}, mathbb {Z} _ {4}) cong mathbb {Z} / 2}$. Protože to není triviální zkřížený modul, je to postnikovův invariant ${ displaystyle 1}$, což dává typ homotopy, který není ekvivalentní geometrická realizace a zjednodušená abelianská skupina.

Homotopy dvojitý groupoid

Zevšeobecnění na dimenzi 2 základního grupoidu na množině základen dali Brown a Higgins v roce 1978 následovně. Nechat ${ displaystyle (X, A, C)}$ být trojnásobný prostor, tj. ${ displaystyle C subseteq A subseteq X}$. Definovat ${ displaystyle rho (X, A, C)}$ být souborem tříd homotopie, do kterých jsou vrcholy map čtverce X které zabírají hrany A a vrcholy do C. Není zcela triviální dokázat, že přirozená složení takových čtverců ve dvou směrech jsou zděděna těmito třídami homotopy, aby vznikl dvojitý grupoid, který má také zvláštní strukturu takzvaných spojů nutných k diskusi o myšlence komutativní krychle v dvojitý groupoid. Tento dvojitý grupoid se zásadním způsobem používá k prokázání dvourozměrné věty Seifert-van Kampen, která jako součást zkříženého modulu poskytuje nové informace a výpočty na druhých relativních homotopických skupinách. Další informace viz část I dokumentu rezervovat Brown, Higgins, Sivera uvedené níže.

Konvoluční algebra

A konvoluce C * -algebra dvojitého grupoidu lze také sestrojit pomocí čtvercového diagramu D dvojitého grupoidu.^[8]

Kategorie dvojitých skupin

The kategorie jejichž objekty jsou dvojité grupoidy a jejichž morfismy jsou dvojité grupoidy homomorfismy což jsou dvojitý grupoidní diagram (D) funktory se nazývá kategorie dvojitých skupin, nebo kategorie dvojitých groupoidů.

Viz také

• 2-skupina
• Překřížený modul
• N-skupina (teorie kategorie)
• Group -grupoid

Poznámky

Tento článek včlení materiál od vyšší dimenzionální algebra na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Reference

• Brown, Ronald a C. B. Spencer: "Dvojité grupoidy a zkřížené moduly ", Cahiers Top. Geom. Rozdíl.. 17 (1976), 343–362.
• Brown, R., Hardie, K., Kamps, H. a T. Porter: 2002, „The homotopy double groupoid of a Hausdorff space.“, Theory and Applications of Categories: 10,71–93
• Brown, Ronald, 1987, "Od skupin k skupinovým: krátký průzkum," Býk. London Math. Soc. 19: 113–34. Recenze historie grupoidů do roku 1987, počínaje prací Brandta na kvadratických formách. Verze ke stažení aktualizuje mnoho odkazů.
• Brown, Ronald ,, 2006. Topologie a grupoidy. Knihkupectví. Revidované a rozšířené vydání knihy dříve vydané v letech 1968 a 1988. Groupoidy jsou představeny v kontextu jejich topologické aplikace.
• Brown, Ronald ,, Vysokorozměrná teorie grup. Vysvětluje, jak koncept grupoidů vedl k homopopickým grupoidům vyšší dimenze, které mají aplikace v teorie homotopy a ve skupině kohomologie.
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galoisovy teorie. Cambridge Univ. Lis. Ukazuje, jak zobecnění Galoisova teorie vést k Galoisovy grupoidy.
• Cannas da Silva, A., a A. Weinstein, Geometrické modely pro nekomutativní algebry. Zejména část VI.
• Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, "Nelineární dynamika sítí: groupoidní formalismus ", Býk. Amer. Matematika. Soc. 43: 305–64
• Higgins, P. J., „Základní grupoid a graf skupin ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
• Higgins, P. J. a Taylor, J., „Základní grupoid a homotopy zkřížili komplex an oběžná dráha ", in Category theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115–122.
• Higgins, P. J., 1971. Kategorie a grupoidy. Van Nostrand Poznámky z matematiky. Publikováno znovu Dotisky v teorii a aplikacích kategorií, Č. 7 (2005), str. 1–195; volně ke stažení. Zásadní úvod do teorie kategorií se zvláštním důrazem na grupoidy. Představuje aplikace grupoidů v teorii grup, například k zobecnění Grushkova věta a v topologii, např. základní grupoid.
• http://planetphysics.org/encyclopedia/DoubleGroupoidWithConnection.html^{[trvalý mrtvý odkaz ]} Msgstr "Dvojitý groupoid s připojením".
• Weinstein, Alan, "Grupoidy: sjednocení vnitřní a vnější symetrie - Prohlídka, i když několik příkladů. "K dispozici také v Postscript. „Oznámení AMS, červenec 1996, s. 744–752.