Anabelian geometrie - Anabelian geometry

Anabelian geometrie je teorie v teorie čísel, který popisuje způsob, jakým algebraická základní skupina G jisté aritmetická odrůda PROTI, nebo nějaký související geometrický objekt, může pomoci obnovit PROTI. První tradiční dohady, pocházející z Alexander Grothendieck a představen v Program Esquisse d'un byly o tom, jak topologické homomorfismy mezi dvěma skupinami dvou hyperbolických křivek nad číselnými poli odpovídají mapám mezi křivkami. Tyto dohry o Grothendieckovi částečně vyřešili Hiroaki Nakamura a Akio Tamagawa, zatímco úplné důkazy poskytli Shinichi Mochizuki. Než začala anabelianská geometrie, začal slavný dopis Gerd Faltings a Program Esquisse d'un, Věta Neukirch – Uchida naznačil program z pohledu Galoisových skupin, které samy o sobě lze prokázat jako étale základní skupiny.

Nověji Mochizuki představil a vyvinul takzvanou monoanabelianskou geometrii, která obnovuje pro určitou třídu hyperbolických křivek nad číselnými poli křivku ze své algebraické základní skupiny. Klíčové výsledky monoanabeliánské geometrie byly publikovány v Mochizukiho „Tématech v absolutní anabelské geometrii“.

Formulace dohadu Grothendiecka na křivkách

„Anabelianova otázka“ byla formulována jako

Kolik informací o třídě izomorfismu odrůdy X je obsažen ve znalostech étale základní skupina ?^[1]

Konkrétním příkladem jsou křivky, které mohou být afinní i projektivní. Předpokládejme, že dostane hyperbolickou křivku C, tj. doplněk n body v projektivu algebraická křivka z rod G, považováno za hladké a neredukovatelné, definované nad polem K. který je definitivně generován (přes jeho hlavní pole ), takový, že

{ displaystyle 2-2g-n <0}

.

Grothendieck se domníval, že algebraická základní skupina G z C, a profinitní skupina, určuje C sám (tj. třída izomorfismu z G určuje to C). To dokázal Mochizuki.^[2] Příkladem je případ ${ displaystyle g = 0}$ (dále jen projektivní linie ) a ${ displaystyle n = 4}$ , když je třída izomorfismu C je určeno křížový poměr v K. ze čtyř odstraněných bodů (téměř existuje pořadí čtyř bodů v křížovém poměru, ale ne v odstraněných bodech).^[3] Existují také výsledky pro případ K. A místní pole.^[4]

Viz také

Poznámky

^ Schneps, Leila (1997). „Grothendieckův“ Dlouhý pochod Galoisovou teorií"". Ve Schneps; Lochak, Pierre (eds.). Akce Geometric Galois. 1. Série přednášek London Mathematical Society. 242. Cambridge: Cambridge University Press. str. 59–66. PAN 1483109.
^ Mochizuki, Shinichi (1996). "Prozřetelná Grothendieckova domněnka pro uzavřené hyperbolické křivky nad číselnými poli". J. Math. Sci. Univ. Tokio. 3 (3): 571–627. hdl:2261/1381. PAN 1432110.
^ Ihara, Yasutaka; Nakamura, Hiroaki (1997). „Některé ilustrativní příklady anabelské geometrie ve vysokých rozměrech“ (PDF). v Schneps, Leila; Lochak, Pierre (eds.). Akce Geometric Galois. 1. Série přednášek London Mathematical Society. 242. Cambridge: Cambridge University Press. str. 127–138. PAN 1483114.
^ Mochizuki, Shinichi (2003). „Absolutní anabelianská geometrie kanonických křivek“ (PDF). Documenta Mathematica. Extra sv., Padesáté narozeniny Kazuyy Kata: 609–640. PAN 2046610.

externí odkazy

Tamás Szamuely. „Heidelbergské přednášky o základních skupinách“ (PDF). část 5.
Grothendieckova domněnka o základních skupinách algebraických křivek. http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf
Aritmetické základní skupiny a moduly křivek. http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns001/Matsumoto/Matsumoto.pdf

Alexander Grothendieck. „La Longue Marche à Travers la Théorie de Galois“ (PDF).

[1] Schneps, Leila (1997). „Grothendieckův“ Dlouhý pochod Galoisovou teorií"". Ve Schneps; Lochak, Pierre (eds.). Akce Geometric Galois. 1. Série přednášek London Mathematical Society. 242. Cambridge: Cambridge University Press. str. 59–66. PAN 1483109.

[2] Mochizuki, Shinichi (1996). "Prozřetelná Grothendieckova domněnka pro uzavřené hyperbolické křivky nad číselnými poli". J. Math. Sci. Univ. Tokio. 3 (3): 571–627. hdl:2261/1381. PAN 1432110.

[3] Ihara, Yasutaka; Nakamura, Hiroaki (1997). „Některé ilustrativní příklady anabelské geometrie ve vysokých rozměrech“ (PDF). v Schneps, Leila; Lochak, Pierre (eds.). Akce Geometric Galois. 1. Série přednášek London Mathematical Society. 242. Cambridge: Cambridge University Press. str. 127–138. PAN 1483114.

[4] Mochizuki, Shinichi (2003). „Absolutní anabelianská geometrie kanonických křivek“ (PDF). Documenta Mathematica. Extra sv., Padesáté narozeniny Kazuyy Kata: 609–640. PAN 2046610.

[1]

[2]

[3]

[4]