Funkční analýza - Functional analysis

Jeden z možných režimů vibrací idealizovaného kruhu hlava bubnu. Tyto režimy jsou vlastní funkce lineárního operátoru ve funkčním prostoru, společná konstrukce ve funkční analýze.

Funkční analýza je pobočkou matematická analýza který studuje transformace z funkce a jejich algebraický a topologické vlastnosti. Pole vychází z výsledků a abstrahuje od nich Joseph Fourier papír z roku 1822, Théorie analytique de la chaleur (Analytická teorie tepla), která demonstrovala, jak a změna základny prostřednictvím Fourierova transformace lze použít k povolení manipulace s funkcí v frekvenční doména získat náhledy, které byly dříve nedosažitelné. Funkční analýza má moderní aplikace zejména v mnoha oblastech algebry asociativní algebra, v pravděpodobnost, teorie operátorů, vlnky a vlnkové transformace. The analýza funkčních dat (FDA) paradigma James O. Ramsay a Bernard Silverman váže funkční analýzu na analýza hlavních komponent a snížení rozměrů.

Funkční analýza má silné paralely s lineární algebra, protože obě pole jsou založena na vektorové prostory jako základní algebraická struktura. Funkční analýza vybavuje lineární algebru koncepty z topologie (např. vnitřní produkt, norma, topologický prostor ) při definování topologický vektorový prostor (TVS)^{[spekulace? ]}, který posiluje pojmy kontinuity a meze a podporuje zobecnění na nekonečno-dimenzionální prostory. Základní operace v TVS je lineární transformace.

Důležitou součástí funkční analýzy je rozšíření teorie opatření, integrace, a pravděpodobnost do nekonečných dimenzionálních prostorů, také známých jako nekonečná dimenzionální analýza. Funkční analýza navíc zobecňuje pojem ortonormální základ - jak bylo zjištěno ve Fourierově analýze - na libovolné vnitřní produktové prostory, včetně těch nekonečné dimenze. Mezi důležité teoretické výsledky patří Věta Banach – Steinhaus, spektrální věta (central to operator theory), Hahnova – Banachova věta, otevřená věta o mapování, a věta o uzavřeném grafu.

Historické kořeny funkční analýzy spočívají ve studiu prostory funkcí a formulace vlastností transformací funkcí, jako je Fourierova transformace jako definování transformací kontinuální, unitární operátory atd. mezi funkčními prostory. Tento úhel pohledu se ukázal být zvláště užitečným pro studium rozdíl a integrální rovnice.

Použití slova funkční jako podstatné jméno se vrací do variační počet, což znamená a funkce, jejíž argumentem je funkce. Termín byl poprvé použit v Leçons sur le calcul des variací (1910) od Jacques Hadamard. Obecný koncept funkcionálu však dříve představil v roce 1887 italský matematik a fyzik Vito Volterra.^[1]^[2] V teorii nelineárních funkcionálů pokračovali zejména studenti Hadamarda Maurice René Fréchet a Paul Lévy. Hadamard také založil moderní školu lineární funkční analýza dále rozvíjeno Frigyes Riesz a polské Matematická škola ve Lvově soustředěný kolem Stefan Banach.

Normované vektorové prostory

Základní a historicky první třída prostorů studovaných ve funkční analýze jsou kompletní normované vektorové prostory přes nemovitý nebo komplexní čísla. Takovým prostorům se říká Banachovy prostory. Důležitým příkladem je a Hilbertův prostor kde norma vychází z vnitřního produktu. Tyto prostory mají zásadní význam v mnoha oblastech, včetně matematická formulace kvantové mechaniky, strojové učení, parciální diferenciální rovnice, a Fourierova analýza.

Obecněji funkční analýza zahrnuje studium Fréchetové prostory a další topologické vektorové prostory není obdařen normou.

Důležitým předmětem studia funkční analýzy jsou: kontinuální lineární operátory definované na Banachových a Hilbertových prostorech. Ty přirozeně vedou k definici C * -algebry a další operátorské algebry.

Hilbertovy prostory

Hilbertovy prostory lze zcela klasifikovat: existuje jedinečný Hilbertův prostor až do izomorfismus pro každého mohutnost z ortonormální základ.^[3] Konečně-dimenzionální Hilbertovy prostory jsou plně pochopeny lineární algebra a nekonečně-dimenzionální oddělitelný Hilbertovy prostory jsou izomorfní ${displaystyle ell ^ {, 2} (aleph _ {0}),}$ . Pro aplikace je důležitá oddělitelnost, a proto se funkční analýza Hilbertových prostorů většinou zabývá tímto prostorem. Jedním z otevřených problémů funkční analýzy je dokázat, že každý ohraničený lineární operátor v Hilbertově prostoru má vlastní invariantní podprostor. Mnoho zvláštních případů invariantní podprostorový problém již byly prokázány.

Banachovy prostory

Všeobecné Banachovy prostory jsou složitější než Hilbertovy prostory a nelze je klasifikovat tak jednoduchým způsobem jako ty. Zejména mnoha Banachovým prostorům chybí pojem analogický k ortonormální základ.

Příklady Banachových prostorů jsou ${displaystyle L ^ {, p}}$ -prostory pro jakékoli reálné číslo ${displaystyle pgeq 1}$ . S ohledem na opatření ${displaystyle mu}$ na place ${displaystyle X}$ , pak ${displaystyle L ^ {, p} (X)}$ , někdy také označované ${displaystyle L ^ {, p} (X, mu)}$ nebo ${displaystyle L ^ {, p} (mu)}$ , má jako své vektory třídy ekvivalence ${displaystyle [, f,]}$ z měřitelné funkce jehož absolutní hodnota je ${displaystyle p}$ -tá síla má konečný integrál, to znamená funkce ${displaystyle f,}$ pro které má

{displaystyle int _ {X} left | f (x) ight | ^ {p}, dmu (x) <+ infty}

.

Li ${displaystyle mu}$ je počítání opatření, pak může být integrál nahrazen součtem. To znamená, požadujeme

{displaystyle sum _ {xin X} left | f (x) ight | ^ {p} <+ infty}

.

Potom není nutné zabývat se třídami ekvivalence a prostor je označen ${displaystyle ell ^ {p} (X)}$ , napsáno jednodušeji ${displaystyle, ell ^ {, p}}$ v případě, kdy ${displaystyle X}$ je množina nezáporných celá čísla.

V Banachových prostorech velká část studie zahrnuje dvojí prostor: prostor všech kontinuální lineární mapy z vesmíru do jeho základního pole, tzv. funkcionály. Banachův prostor může být kanonicky identifikován podprostorem jeho bidualu, což je dvojník jeho dvojitého prostoru. Odpovídající mapa je izometrie ale obecně ne na. Obecný Banachův prostor a jeho bidual nemusí být v žádném případě izometricky izomorfní, na rozdíl od situace konečných rozměrů. To je vysvětleno v článku o dvojím prostoru.

Také představa derivát lze rozšířit na libovolné funkce mezi Banachovými prostory. Viz například Fréchetův derivát článek.

Lineární funkční analýza

Hlavní a základní výsledky

Mezi důležité výsledky funkční analýzy patří:

Jednotný princip omezenosti

The jednotný princip omezenosti nebo Věta Banach – Steinhaus je jedním ze základních výsledků funkční analýzy. Spolu s Hahnova – Banachova věta a otevřená věta o mapování, je považován za jeden ze základních kamenů pole. Ve své základní podobě tvrdí, že pro rodinu spojité lineární operátory (a tedy ohraničené operátory), jejichž doménou je a Banachův prostor, bodová omezenost je ekvivalentní uniformní omezenosti v normě operátora.

Věta byla poprvé publikována v roce 1927 autorem Stefan Banach a Hugo Steinhaus ale také to nezávisle prokázal Hans Hahn.

Věta (Princip jednotné omezenosti). Nechat X být Banachův prostor a Y být normovaný vektorový prostor. Předpokládejme to F je kolekce spojitých lineárních operátorů z X na Y. Pokud pro všechny X v X jeden má
${displaystyle sup olimits _ {Tin F} | T (x) | _ {Y}$
pak
${displaystyle sup olimits _ {Tin F} | T | _ {B (X, Y)}$

Spektrální věta

Existuje mnoho vět známých jako spektrální věta, ale zejména jeden má mnoho aplikací ve funkční analýze.

Teorém:^[4] Nechat A být omezeným samoadjungujícím operátorem v Hilbertově prostoru H. Pak je tu změřte prostor (X, Σ, μ) a skutečnou hodnotu v podstatě omezený měřitelná funkce F na X a nečleněný operátor U:H → L²_μ(X) takhle

{displaystyle U ^ {*} TU = A;}

kde T je operátor násobení:

{displaystyle [Tvarphi] (x) = f (x) varphi (x) .;}

a ${displaystyle | T | = | f | _ {infty}}$

Toto je začátek rozsáhlé oblasti výzkumu funkční analýzy zvané teorie operátorů; viz také spektrální míra.

K dispozici je také analogická spektrální věta pro ohraničené normální operátoři na Hilbertově prostoru. Jediný rozdíl v závěru je, že teď ${displaystyle f}$ může mít komplexní hodnotu.

Hahnova – Banachova věta

The Hahnova – Banachova věta je ústředním nástrojem funkční analýzy. Umožňuje rozšíření o ohraničené lineární funkcionály definované na podprostoru některých vektorový prostor do celého prostoru a také to ukazuje, že jich je „dost“ kontinuální lineární funkcionály definované na každém normovaný vektorový prostor provést studium dvojí prostor "zajímavý".

Hahnova – Banachova věta:^[5] Li $p : PROTI \to R$ je sublearní funkce, a $φ : U \to R$ je lineární funkční na lineární podprostor $U \subseteq PROTI$ který je dominoval podle $p$ na $U$ , tj.

{displaystyle varphi (x) leq p (x) qquad forall xin U}

pak existuje lineární prodloužení $ψ : PROTI \to R$ z $φ$ do celého prostoru $PROTI$ , tj. existuje lineární funkce $ψ$ takhle

{displaystyle psi (x) = varphi (x) qquad pro všechny xin U,}

{displaystyle psi (x) leq p (x) qquad pro všechny xin V.}

Otevřená věta o mapování

The otevřená věta o mapování, také známý jako Banach-Schauderova věta (pojmenovaná po Stefan Banach a Juliusz Schauder ), je zásadním výsledkem, který uvádí, že pokud a spojitý lineární operátor mezi Banachovy prostory je surjektivní pak je to otevřít mapu. Přesněji,:^[5]

Otevřená věta o mapování. Li X a Y jsou Banachovy prostory a A : X → Y je tedy surjektivní spojitý lineární operátor A je otevřená mapa (tj. pokud U je otevřená sada v X, pak A(U) je otevřen v Y).

Důkaz používá Věta o kategorii Baire a úplnost obou X a Y je pro teorém zásadní. Výrok věty již není pravdivý, pokud se předpokládá, že kterýkoli z prostorů je a normovaný prostor, ale je pravda, pokud X a Y jsou považovány za Fréchetové prostory.

Věta o uzavřeném grafu

Uzavřená věta grafu uvádí následující: If X je topologický prostor a Y je kompaktní Hausdorffův prostor, potom graf lineární mapy T z X na Y je uzavřen právě tehdy T je kontinuální.^[6]

Další témata

Základy úvah o matematice

Většina prostorů uvažovaných ve funkční analýze má nekonečný rozměr. Ukázat existenci a základ vektorového prostoru pro takové prostory může vyžadovat Zornovo lemma. Nicméně poněkud odlišný koncept, Schauderův základ, je obvykle důležitější ve funkční analýze. Mnoho velmi důležitých vět vyžaduje Hahnova – Banachova věta, obvykle prokázáno pomocí axiom volby, i když přísně slabší Booleova primární věta o ideálu stačí. The Věta o kategorii Baire, potřebné k prokázání mnoha důležitých vět, vyžaduje také určitou formu axiomu výběru.

Úhly pohledu

Funkční analýza v její současné podobě^{[Aktualizace]} zahrnuje následující tendence:

Abstraktní analýza. Přístup k analýze založený na topologické skupiny, topologické kruhy, a topologické vektorové prostory.
Geometrie Banachovy prostory obsahuje mnoho témat. Jedním z nich je kombinační přístup spojený s Jean Bourgain; další je charakterizace Banachových prostorů, ve kterých jsou různé formy zákon velkých čísel držet.
Nekomutativní geometrie. Vyvinul Alain Connes, částečně navazující na dřívější pojmy, jako např George Mackey přístup k ergodická teorie.
Spojení s kvantová mechanika. Buď úzce definované jako v matematická fyzika, nebo široce interpretován např. Izrael Gelfand, aby zahrnovala většinu typů teorie reprezentace.

Viz také

Reference

^ acsu.buffalo.edu
^ Dějiny matematických věd ISBN 978-93-86279-16-3 p. 195
^ Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Funkční analýza (Dover ed.). New York: Dover Publications. str. 195–199. ISBN 978-0-486-66289-3.
^ Hall, B.C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 147
^ ^A ^b Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5.
^ Munkres, James (2000), Topologie (2. vyd.), Horní sedlo: Prentice Hall, str. 163–172, ISBN 0-13-181629-2, str. 171

Další čtení

Aliprantis, C.D., Border, K.C .: Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce, 3. vyd., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0. Online doi:10.1007/3-540-29587-9 (podle předplatného)
Bachman, G., Narici, L .: Funkční analýza, Academic Press, 1966. (dotisk Dover Publications)
Banach S. Teorie lineárních operací. Svazek 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, ISBN 0-444-70184-2
Brezis, H.: Analyzujte Fonctionnelle, Dunode ISBN 978-2-10-004314-9 nebo ISBN 978-2-10-049336-4
Conway, J. B.: Kurz funkční analýzy, 2. vydání, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
Dunford, N. a Schwartz, J.T.: Lineární operátoři, obecná teorie, John Wiley & Sonsa další 3 svazky zahrnují vizualizační grafy
Edwards, R. E .: Funkční analýza, teorie a aplikaceHold, Rinehart a Winston, 1965.
Eidelman, Yuli, Vitali Milman a Antonis Tsolomitis: Funkční analýza: Úvod, American Mathematical Society, 2004.
Friedman, A.: Základy moderní analýzy, Dover Publications, brožované vydání, 21. července 2010
Giles, J.R .: Úvod do analýzy normovaných lineárních prostorů, Cambridge University Press, 2000
Hirsch F., Lacombe G. - „Prvky funkční analýzy“, Springer 1999.
Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J .: Aplikace funkční analýzy a teorie operátora, 2. vydání, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
Kantorovitz, S.,Úvod do moderní analýzy, Oxford University Press, 2003, 2. vydání, 2006.
Kolmogorov, A.N. a Fomin, S.V.: Základy teorie funkcí a funkční analýzy, Dover Publications, 1999
Kreyszig, E.: Úvodní funkční analýza s aplikacemiWiley, 1989.
Lax, P.: Funkční analýza, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1
Lebedev, L.P. a Vorovich, I.I .: Funkční analýza v mechaniceSpringer-Verlag, 2002
Michel, Anthony N. a Charles J. Herget: Aplikovaná algebra a funkční analýza, Dover, 1993.
Pietsch, Albrecht: Historie Banachových prostorů a lineárních operátorů, Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6
Reed, M., Simon, B.: "Functional Analysis", Academic Press 1980.
Riesz, F. a Sz.-Nagy, B .: Funkční analýza, Dover Publications, 1990
Rudin, W.: Funkční analýza, McGraw-Hill Science, 1991
Saxe, Karen: Zahájení funkční analýzySpringer, 2001
Schechter, M .: Principy funkční analýzy, AMS, 2. vydání, 2001
Shilov, Georgi E .: Elementární funkční analýza, Dover, 1996.
Sobolev, S.L.: Aplikace funkční analýzy v matematické fyzice, AMS, 1963
Vogt, D., Meise, R .: Úvod do funkční analýzy, Oxford University Press, 1997.
Yosida, K.: Funkční analýza, Springer-Verlag, 6. vydání, 1980

externí odkazy

"Funkční analýza", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Témata v reálné a funkční analýze podle Gerald Teschl, Vídeňská univerzita.
Poznámky k přednášce o funkční analýze Jevgenij Vilensky, New York University.
Přednášková videa o funkční analýze podle Greg Morrow z University of Colorado, Colorado Springs

[1] acsu.buffalo.edu

[2] Dějiny matematických věd ISBN 978-93-86279-16-3 p. 195

[3] Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Funkční analýza (Dover ed.). New York: Dover Publications. str. 195–199. ISBN 978-0-486-66289-3.

[4] Hall, B.C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 147

[rudin-5] A ^b Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5.

[6] Munkres, James (2000), Topologie (2. vyd.), Horní sedlo: Prentice Hall, str. 163–172, ISBN 0-13-181629-2, str. 171

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Matematika (oblasti matematiky )
Nadace	Teorie kategorií Informační teorie Matematická logika Filozofie matematiky Teorie množin
Algebra	Abstraktní Komutativní Základní Skupinová teorie Lineární Multilineární Univerzální
Analýza	Počet Skutečná analýza Složitá analýza Diferenciální rovnice Funkční analýza Harmonická analýza
Oddělený	Kombinatorika Teorie grafů Teorie objednávek Herní teorie
Geometrie	Algebraický Analytický Rozdíl Oddělený Euklidovský Konečný
Teorie čísel	Aritmetický Algebraická teorie čísel Teorie analytických čísel Diophantine geometrie
Topologie	Algebraický Rozdíl Geometrický
Aplikovaný	Teorie řízení Matematická biologie Matematická chemie Matematická ekonomie Matematické finance Matematická fyzika Matematická psychologie Matematická sociologie Matematická statistika Operační výzkum Pravděpodobnost Statistika
Výpočetní	Počítačová věda Teorie výpočtu Numerická analýza Optimalizace Počítačová algebra
související témata	Dějiny matematiky Rekreační matematika Matematika a umění Matematické vzdělávání
Kategorie Portál Commons WikiProject