Operátor násobení - Multiplication operator

v teorie operátorů, a operátor násobení je operátor $T F$ na některých definováno vektorový prostor funkcí a jehož hodnota u funkce $φ$ je dáno násobením pevnou funkcí $F$ . To znamená,

{ displaystyle T_ {f} varphi (x) = f (x) varphi (x) quad}

pro všechny $φ$ v doména z $T F$ , a všechno $X$ v doméně $φ$ (což je stejná doména jako $F$ ).

Tento typ operátorů je často v kontrastu s operátory složení. Multiplikační operátoři zobecňují pojem operátor daný a diagonální matice. Přesněji řečeno, jeden z výsledků teorie operátorů je spektrální věta, který uvádí, že každý operátor s vlastním nastavením na Hilbertův prostor je jednotně ekvivalentní operátorovi násobení na L² prostor.

Příklad

Zvažte Hilbertův prostor $X = L 2 [-1, 3]$ z komplex -hodnota čtvercový integrovatelný funkce na interval $[-1, 3]$ . S $F (X) = X 2$ , definujte operátora

{ displaystyle T_ {f} varphi (x) = x ^ {2} varphi (x) quad}

pro jakoukoli funkci $φ$ v $X$ . Toto bude samoadjung ohraničený lineární operátor, s doménou všechny $X = L 2 [-1, 3]$ s norma $9$ . Své spektrum bude interval $[0, 9]$ (dále jen rozsah funkce $X \to X 2$ definováno dne $[-1, 3])$ . Ve skutečnosti pro jakékoli komplexní číslo $λ$ , operátor $T F - λ$ je dána

{ displaystyle (T_ {f} - lambda) ( varphi) (x) = (x ^ {2} - lambda) varphi (x). quad}

to je invertibilní kdyby a jen kdyby $λ$ není v $[0, 9]$ , a pak je jeho inverzní

{ displaystyle (T_ {f} - lambda) ^ {- 1} ( varphi) (x) = { frac {1} {x ^ {2} - lambda}} varphi (x) quad}

což je další operátor násobení.

To lze snadno zobecnit na charakterizaci normy a spektra operátoru násobení na libovolném LP prostor.

Viz také

Poznámky

Reference

Conway, J. B. (1990). Kurz funkční analýzy. Postgraduální texty z matematiky. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)