Věta Herbrand – Ribet - Herbrand–Ribet theorem

v matematika, Věta Herbrand – Ribet je výsledek na skupina tříd jisté počet polí. Jedná se o posílení Ernst Kummer Věta v tom smyslu, že hlavní p rozděluje číslo třídy z cyklotomické pole z p-th kořeny jednoty kdyby a jen kdyby p rozdělí čitatele n-th Bernoulliho číslo B_n pro některé n, 0 < n < p - 1. Věta Herbrand – Ribet specifikuje, co konkrétně znamená kdy p rozděluje takový B_n.

Prohlášení

The Galoisova skupina Δ z cyklotomické pole z pth kořeny jednoty pro zvláštní prime p, Q(ζ) s ζ^p = 1, skládá se z p - 1 skupina prvků σ_A, kde ${ displaystyle sigma _ {a} ( zeta) = zeta ^ {a}}$. Jako důsledek Fermatova malá věta, v kruhu p-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ my máme p - 1 kořeny jednoty, z nichž každý je shodný mod p na nějaké číslo v rozsahu od 1 do p - 1; můžeme tedy definovat a Dirichletova postava ω (znak Teichmüller) s hodnotami v ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ požadováním toho pro n relativně prime to p, ω (n) být shodný s n modulo p. The p součástí třídní skupiny je a ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$-modul (protože to je p-primary), tedy modul nad skupinové vyzvánění ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p} [ Delta]}$. Nyní definujeme idempotentní prvky skupinového kruhu pro každého n od 1 do p - 1, as

${ displaystyle epsilon _ {n} = { frac {1} {p-1}} sum _ {a = 1} ^ {p-1} omega (a) ^ {n} sigma _ {a } ^ {- 1}.}$

Je snadné to vidět ${ displaystyle sum epsilon _ {n} = 1}$ a ${ displaystyle epsilon _ {i} epsilon _ {j} = delta _ {ij} epsilon _ {i}}$ kde ${ displaystyle delta _ {ij}}$ je Kroneckerova delta. To nám umožňuje rozbít p součástí ideální třídy G z Q(ζ) prostřednictvím idempotentů; -li G je tedy ideální třídní skupina G_n = ε_n(G), my máme ${ displaystyle G = oplus G_ {n}}$.

Věta Herbrand – Ribet říká, že pro liché n, G_n je netriviální právě tehdy p rozdělí Bernoulliho číslo B_p−n.^[1]

Věta nečiní žádné tvrzení o sudých hodnotách n, ale není známo p pro který G_n je netriviální pro všechny sudé n: trivialita pro všechny p bude důsledkem Vandiverova domněnka.^[2]

Důkazy

Část říká p rozděluje B_p−n -li G_n není triviální je způsobeno Jacques Herbrand.^[3] Obráceně, že pokud p rozděluje B_p−n pak G_n není triviální je způsobeno Kenneth Ribet, a je podstatně obtížnější. Podle teorie pole, to může být pravda, pouze pokud existuje unramified rozšíření pole pkořeny jednoty cyklickým rozšiřováním stupně p který se chová specifikovaným způsobem při akci Σ; Ribet to dokazuje skutečnou konstrukcí takového rozšíření pomocí metod v teorii modulární formy. Elementárnější důkaz Ribetovy konverzace k Herbrandově teorému, důsledek teorie Eulerovy systémy, lze najít ve Washingtonově knize.^[4]

Zobecnění

Ribetovy metody byly posunuty dále Barry Mazur a Andrew Wiles za účelem prokázání hlavní domněnka Iwasawa teorie,^[5] důsledkem je posílení věty Herbrand-Ribet: síla p dělení B_p−n je přesně síla p dělení pořadí G_n.

Viz také

• Teorie Iwasawa

Poznámky