Čebyševovy uzly - Chebyshev nodes

Čebyševovy uzly jsou ekvivalentní k X souřadnice n stejně rozmístěné body na půlkruhu jednotky (zde n=10).^[1]

v numerická analýza, Čebyševovy uzly jsou konkrétní nemovitý algebraická čísla, jmenovitě kořeny Čebyševovy polynomy prvního druhu. Často se používají jako uzly v polynomiální interpolace protože výsledný interpolační polynom minimalizuje účinek Rungeův fenomén.^[2]

Definice

Nuly prvních 50 Čebyševových polynomů prvního druhu

Pro dané kladné celé číslo n the Čebyševovy uzly v intervalu (-1, 1) jsou

${ displaystyle x_ {k} = cos left ({ frac {2k-1} {2n}} pi right), quad k = 1, ldots, n.}$

To jsou kořeny Čebyševův polynom prvního druhu stupně n. Pro uzly v libovolném intervalu [A, b] an afinní transformace může být použito:

${ displaystyle x_ {k} = { frac {1} {2}} (a + b) + { frac {1} {2}} (ba) cos left ({ frac {2k-1} {2n}} pi right), quad k = 1, ldots, n.}$

Přiblížení

Čebyševovy uzly jsou důležité v teorie aproximace protože tvoří zvlášť dobrou sadu uzlů pro polynomiální interpolace. Je dána funkce ƒ na intervalu ${ displaystyle [-1, + 1]}$ a ${ displaystyle n}$ bodů ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n},}$ v tomto intervalu je interpolační polynom ten jedinečný polynom ${ displaystyle P_ {n-1}}$ stupně nanejvýš ${ displaystyle n-1}$ který má hodnotu ${ displaystyle f (x_ {i})}$ v každém bodě ${ displaystyle x_ {i}}$. Chyba interpolace v ${ displaystyle x}$ je

${ displaystyle f (x) -P_ {n-1} (x) = { frac {f ^ {(n)} ( xi)} {n!}} prod _ {i = 1} ^ {n } (x-x_ {i})}$

pro některé ${ displaystyle xi}$ (v závislosti na x) v [−1, 1].^[3] Je tedy logické snažit se minimalizovat

${ displaystyle max _ {x v [-1,1]} vlevo | prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i}) vpravo |.}$

Tento produkt je monic polynom stupně n. Je možné ukázat, že maximální absolutní hodnota (maximální norma) každého takového polynomu je omezena zdola číslem 2¹⁻ⁿ. Této vazby je dosaženo škálovanými Čebyševovými polynomy 2¹⁻ⁿ T_n, které jsou také monické. (Připomeňme si to |T_n(X) | ≤ 1 pro X ∈ [−1, 1].^[4]) Proto, když interpolační uzly X_i jsou kořeny T_n, chyba vyhovuje

${ displaystyle left | f (x) -P_ {n-1} (x) right | leq { frac {1} {2 ^ {n-1} n!}} max _ { xi v [-1,1]} vlevo | f ^ {(n)} ( xi) vpravo |.}$

Pro libovolný interval [A, b] změna proměnné to ukazuje

${ displaystyle left | f (x) -P_ {n-1} (x) right | leq { frac {1} {2 ^ {n-1} n!}} left ({ frac { ba} {2}} right) ^ {n} max _ { xi in [a, b]} left | f ^ {(n)} ( xi) right |.}$

Poznámky

Reference

• Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN  978-0-89871-362-6.

Další čtení

• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerická analýza, 8. vydání, strany 503–512, ISBN  0-534-39200-8.