Sedenion - Sedenion

Sedeniony
Symbol	${ displaystyle mathbb {S}}$
Typ	neasociativní algebra
Jednotky	E0...E15
Multiplikativní identita	E0
Hlavní vlastnosti	asociativita síly distribučnost
Společné systémy
${ displaystyle mathbb {N}}$ Přirozená čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ Celá čísla ${ displaystyle mathbb {Q}}$ Racionální čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ Skutečná čísla ${ displaystyle mathbb {C}}$ Složitá čísla ${ displaystyle mathbb {H}}$ Čtveřice Méně běžné systémy Octonions (${ displaystyle mathbb {O}}$) Sedeniony (${ displaystyle mathbb {S}}$)

v abstraktní algebra, sedimenty tvoří 16-dimenzionální nekomutativní a neasociativní algebra přes realita; jsou získány použitím Cayley – Dicksonova konstrukce do octonions, a jako takové jsou octoniony subalgebrou sedenionů. Na rozdíl od octonionů sedimenty nejsou alternativní algebra. Použitím konstrukce Cayley – Dickson na sedimenty se získá 32-dimenzionální algebra, někdy nazývaná 32 iontů nebo trigintaduonions.^[1] Konstrukci Cayley – Dickson je možné na sedimenty použít libovolně mnohokrát.

Termín sedenion se také používá pro další 16rozměrné algebraické struktury, jako je tenzorový součin dvou kopií biquaternions, nebo algebra matic 4 x 4 nad reálemi, nebo ta, kterou studoval Smith (1995).

Aritmetický

Vizualizace 4D rozšíření kubické octonion,^[2] zobrazeno 35 triád jako hyperplanes skrz skutečné ${ displaystyle (e_ {0})}$ vrchol daného příkladu sedenionu. Jedinou výjimkou je trojice ${ displaystyle (e_ {1})}$, ${ displaystyle (e_ {2})}$, ${ displaystyle (e_ {3})}$ netvoří nadrovinu s ${ displaystyle (e_ {0})}$.

Jako octonions, násobení sedenionů není ani jedno komutativní ani asociativní.Na rozdíl od oktonionů však sedimenty nemají ani tu vlastnost, že jsou alternativní Mají však vlastnost asociativita síly, což lze takto uvést pro jakýkoli prvek X z ${ displaystyle mathbb {S}}$, energie ${ displaystyle x ^ {n}}$ je dobře definován. Jsou taky flexibilní.

Každý sedenion je lineární kombinace sedimentů jednotky ${ displaystyle e_ {0}}$, ${ displaystyle e_ {1}}$, ${ displaystyle e_ {2}}$, ${ displaystyle e_ {3}}$, ...,${ displaystyle e_ {15}}$, které tvoří a základ z vektorový prostor sedenionů. Každý sedenion může být reprezentován ve formě

${ displaystyle x = x_ {0} e_ {0} + x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + ldots + x_ {14} e_ {14} + x_ {15} e_ { 15}, ,}$.

Sčítání a odčítání jsou definovány sčítáním a odčítáním odpovídajících koeficientů a násobení je distribuční nad sčítáním.

Stejně jako ostatní algebry založené na Cayley – Dicksonova konstrukce, sedimenty obsahují algebru, ze které byly konstruovány. Takže obsahují oktoniony (generované ${ displaystyle e_ {0}}$ na ${ displaystyle e_ {7}}$ v tabulce níže), a tedy i čtveřice (generované ${ displaystyle e_ {0}}$ na ${ displaystyle e_ {3}}$), komplexní čísla (generovaná ${ displaystyle e_ {0}}$ a ${ displaystyle e_ {1}}$) a reálné (generované ${ displaystyle e_ {0}}$).

Sedimenty mají multiplikativní účinek prvek identity ${ displaystyle e_ {0}}$ a multiplikativní inverze, ale nejsou divize algebra protože mají nulové dělitele. To znamená, že k získání nuly lze znásobit dva nenulové sedimenty: příkladem je (${ displaystyle e_ {3}}$ + ${ displaystyle e_ {10}}$)(${ displaystyle e_ {6}}$ − ${ displaystyle e_ {15}}$). Všechno číslo hyperkomplexu systémy po sedimentech, které jsou založeny na konstrukci Cayley – Dickson, obsahují nulové dělitele.

Tabulka násobení sedenionu je uvedena níže:

násobilka

násobitel ${ displaystyle e_ {j}}$ ${ displaystyle e_ {i} e_ {j}}$ ${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ multiplikátor ${ displaystyle e_ {i}}$ ${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ −${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {2}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {15}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {13}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ ${ displaystyle e_ {9}}$ −${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {5}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {3}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$ ${ displaystyle e_ {1}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {15}}$ ${ displaystyle e_ {14}}$ −${ displaystyle e_ {13}}$ −${ displaystyle e_ {12}}$ ${ displaystyle e_ {11}}$ ${ displaystyle e_ {10}}$ −${ displaystyle e_ {9}}$ ${ displaystyle e_ {8}}$ −${ displaystyle e_ {7}}$ ${ displaystyle e_ {6}}$ −${ displaystyle e_ {5}}$ −${ displaystyle e_ {4}}$ ${ displaystyle e_ {3}}$ ${ displaystyle e_ {2}}$ −${ displaystyle e_ {1}}$ −${ displaystyle e_ {0}}$

Vlastnosti sedenionu

Z výše uvedené tabulky vidíme, že:

${ displaystyle e_ {0} e_ {i} = e_ {i} e_ {0} = e_ {i} , { text {pro všechny}} i,}$

${ displaystyle e_ {i} e_ {i} = - e_ {0} , , { text {pro}} , , i neq 0,}$

${ displaystyle e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i} , , { text {pro}} , , i neq j , , { text {a} } , , i, j neq 0.}$

Anti-asociativní

Sedimenty nejsou zcela anti-asociativní. Vyberte libovolné čtyři generátory, ${ displaystyle i, j, k}$ a ${ displaystyle l}$. Následující 5-cyklus ukazuje, že alespoň jeden z těchto vztahů se musí přidružit.

${ displaystyle (ij) (kl) = - ((ij) k) l = (i (jk)) l = -i ((jk) l) = i (j (kl)) = - (ij) (kl ) = 0}$

Zejména v tabulce výše pomocí ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {4}}$ a ${ displaystyle e_ {8}}$ poslední výraz se přidruží.${ displaystyle (e_ {1} e_ {2}) e_ {12} = e_ {1} (e_ {2} e_ {12}) = - e_ {15}}$

Kvartérní subalgebry

35 triád, které tvoří tuto specifickou sedimentační multiplikační tabulku se 7 triádami octonions používá se při vytváření sedimentu skrz Cayley – Dicksonova konstrukce zobrazeno tučně:

Binární reprezentace indexů těchto trojic x nebo 0.

{​{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7},
{3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10}​}

Seznam 84 sad nulových dělitelů {${ displaystyle e_ {a}}$, ${ displaystyle e_ {b}}$, ${ displaystyle e_ {c}}$, ${ displaystyle e_ {d}}$}, kde (${ displaystyle e_ {a}}$ + ${ displaystyle e_ {b}}$)${ displaystyle circ}$(${ displaystyle e_ {c}}$ + ${ displaystyle e_ {d}}$)=0:

Aplikace

Moreno (1998) ukázal, že prostor párů sedimentů norm-one, které se množí na nulu, je homeomorfní do kompaktní podoby výjimečného Lež skupina G₂. (Všimněte si, že v jeho příspěvku „nulový dělitel“ znamená a pár prvků, které se množí na nulu.)

Neuronové sítě Sedenion poskytují prostředky efektivního a kompaktního vyjádření v aplikacích strojového učení a byly použity při řešení problémů s předpovědí několika časových řad.^[3]

Viz také

• Šestnáct čtvercová identita Pfistera
• Číslo hyperkomplexu
• Split-komplexní číslo

Poznámky

Reference

• Imaeda, K .; Imaeda, M. (2000), „Sedenions: algebra and analysis“, Aplikovaná matematika a výpočet, 115 (2): 77–88, doi:10.1016 / S0096-3003 (99) 00140-X, PAN  1786945
• Baez, John C. (2002). "Octonions". Bulletin of the American Mathematical Society. Nová řada. 39 (2): 145–205. arXiv:matematika / 0105155. doi:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. PAN  1886087.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Biss, Daniel K .; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). „Velké anihilátory v Cayley-Dicksonově algebře II“. Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 3: 269–292. arXiv:matematika / 0702075.
• Kinyon, M. K.; Phillips, J.D .; Vojtěchovský, P. (2007). "C-smyčky: Rozšíření a konstrukce". Journal of Algebra and its Applications. 6 (1): 1–20. arXiv:matematika / 0412390. CiteSeerX  10.1.1.240.6208. doi:10.1142 / S0219498807001990.
• Kivunge, Benard M .; Smith, Jonathan D. H (2004). „Subloops of sedenions“ (PDF). Komentář. Matematika. Univ. Carolinae. 45 (2): 295–302.
• Moreno, Guillermo (1998), „Nulové dělitele Cayley – Dicksonových algeber nad skutečnými čísly“, Bol. Soc. Rohož. Mexicana, Řada 3, 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg / 9710013, Bibcode:1997q.alg .... 10013G, PAN  1625585
• Smith, Jonathan D. H. (1995), „Levá smyčka na 15 sférách“, Journal of Algebra, 176 (1): 128–138, doi:10.1006 / jabr.1995.1237, PAN  1345298
• L. S. Saoud a H. Al-Marzouqi, „Metacognitive Sedenion-Valued Neural Network and its Learning Algorithm,“ v IEEE Access, sv. 8, str. 144823-144838, 2020, doi: 10.1109 / ACCESS.2020.3014690.