GF (2) - GF(2)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „GF (2)“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

GF (2) (taky F₂, Z/2Z nebo Z₂) je Galois Fpole dvou prvků. Je to nejmenší pole.

Definice

Tyto dva prvky se téměř vždy nazývají 0 a 1, což je přísada a multiplikativní identity, resp.

Operace přidání pole je dána níže uvedenou tabulkou, která odpovídá logický XOR úkon.

Operace násobení pole odpovídá logické AND úkon.

Lze také definovat GF (2) jako kvocientový kroužek z kruh celých čísel Z podle ideál 2Z ze všech sudá čísla: GF (2) = Z/2Z.

Vlastnosti

Protože GF (2) je pole, mnoho známých vlastností číselných systémů, jako je racionální čísla a reálná čísla jsou zachovány:

• doplněk má prvek identity (0) a inverzní pro každý prvek;
• multiplikace má prvek identity (1) a inverzi pro každý prvek kromě 0;
• sčítání a násobení jsou komutativní a asociativní;
• násobení je distribuční nad sčítáním.

Mezi vlastnosti, které nejsou známé z reálných čísel, patří:

• každý prvek X GF (2) vyhovuje X + X = 0 a tedy -X = X; to znamená, že charakteristický GF (2) je 2;
• každý prvek X GF (2) vyhovuje X² = X (tj. je idempotentní s ohledem na množení); toto je instance Fermatova malá věta. GF (2) je pouze pole s touto vlastností (Důkaz: pokud ${displaystyle x ^ {2} = x}$, pak buď ${displaystyle x = 0}$ nebo ${displaystyle xeq 0}$. V druhém případě X musí mít multiplikativní inverzi, v takovém případě dělí obě strany o X dává ${displaystyle x = 1}$. Všechna větší pole obsahují prvky jiné než 0 a 1 a tyto prvky nemohou tuto vlastnost splnit).

Aplikace

Vzhledem k výše uvedeným algebraickým vlastnostem funguje mnoho známých a výkonných matematických nástrojů v GF (2) stejně dobře jako v jiných oborech. Například maticové operace, včetně inverze matice, lze použít na matice s prvky v GF (2) (vidět maticový prsten ).

Žádný skupina PROTI s majetkem proti + proti = 0 pro každého proti v PROTI (tj. každý prvek je involuce ) je nutně abelian a lze z něj udělat vektorový prostor nad GF (2) přirozeným způsobem, definováním 0proti = 0 a 1proti = proti. Tento vektorový prostor bude mít a základ, což znamená, že počet prvků PROTI musí být síla 2 (nebo nekonečná).

V moderní počítače, data jsou reprezentována bitové řetězce pevné délky, tzv strojová slova. Ty jsou obdařeny strukturou a vektorový prostor nad GF (2). Přidáním tohoto vektorového prostoru je bitový provoz volala XOR (exkluzivní nebo). The bitové AND je další operace v tomto vektorovém prostoru, což z něj dělá Booleova algebra, struktura, která je základem všech počítačová věda. Tyto prostory lze také rozšířit o operaci násobení, která z nich dělá pole GF (2ⁿ), ale operace násobení nemůže být bitová operace. Když n je sama o sobě síla dvou, operace násobení může být nim-násobení; alternativně pro všechny n, lze použít násobení polynomů přes GF (2) modulo a primitivní polynom.

Viz také

• Pole s jedním prvkem

Reference

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Konečná pole. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 20 (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.