Genetická algebra - Genetic algebra

V matematické genetice, a genetická algebra je (možná neasociativní ) algebra používaná k modelování dědičnosti v genetice. Některé varianty těchto algeber se nazývají trénovat algebry, speciální vlakové algebry, gametové algebry, Bernsteinovy algebry, kopulární algebry, zygotické algebry, a barické algebry (také zvaný vážená algebra). Studium těchto algeber bylo zahájeno Etherington (1939 ).

V aplikacích na genetiku mají tyto algebry často základ odpovídající geneticky odlišným gamety a strukturní konstanta algebry kódují pravděpodobnosti produkce potomků různých typů. Zákony dědičnosti jsou poté zakódovány jako algebraické vlastnosti algebry.

Pro přehledy genetických algeber viz Bertrand (1966), Wörz-Busekros (1980) a Reed (1997).

Barické algebry

Barické algebry (nebo vážené algebry) byly zavedeny Etherington (1939). Barická algebra nad a pole K. je možná neasociativní algebraK. společně s homomorfismemw, nazývané váha, z algebry naK..^[1]

Bernsteinovy algebry

Bernsteinova algebra založená na díle Sergej Natanovič Bernstein (1923 ) na Hardy – Weinbergův zákon v genetice je (možná neasociativní) barická algebra B přes pole K. s váhovým homomorfismem w z B na K. uspokojující ${ displaystyle (x ^ {2}) ^ {2} = w (x) ^ {2} x ^ {2}}$ . Každá taková algebra má idempotenty E formuláře ${ displaystyle e = a ^ {2}}$ s ${ displaystyle w (a) = 1}$ . The Peirceův rozklad z B souhlasí s E je

{ displaystyle B = Ke oplus U_ {e} oplus Z_ {e}}

kde ${ displaystyle U_ {e} = {a in ker w: ea = a / 2 }}$ a ${ displaystyle Z_ {e} = {a in ker w: ea = 0 }}$ . Ačkoli tyto podprostory závisí na E, jejich rozměry jsou neměnné a tvoří typ z B. An výjimečný Bernsteinova algebra je jedna s ${ displaystyle U_ {e} ^ {2} = 0}$ .^[2]

Kopulární algebry

Kopulární algebry představil Etherington (1939, oddíl 8)

Evoluční algebry

An evoluční algebra nad polem je algebra se základem, na kterém je násobení definováno součinem různých základních výrazů, které jsou nulové a čtverec každého základního prvku je lineární formou v základních prvcích. A nemovitý evoluční algebra je definována nad realitou: je nezáporné pokud jsou všechny konstanty struktury v lineární formě nezáporné.^[3] Evoluční algebra je nutně komutativní a flexibilní ale ne nutně asociativní nebo asociativní k moci.^[4]

Gametické algebry

A gametová algebra je konečná trojrozměrná reálná algebra, pro kterou jsou všechny strukturní konstanty mezi 0 a 1.^[5]

Genetické algebry

Genetické algebry představil Schafer (1949) který ukázal, že speciální vlakové algebry jsou genetické algebry a genetické algebry jsou vlakové algebry.

Speciální vlakové algebry

Speciální vlakové algebry byly představeny Etherington (1939, oddíl 4) jako zvláštní případy barických algeber.

Speciální vlaková algebra je barická algebra, ve které je jádro N funkce hmotnosti je nilpotentní a hlavní síly N jsou ideály.^[1]

Etherington (1941) ukázal, že speciální vlakové algebry jsou vlakové algebry.

Trénujte algebry

Vlakové algebry představil Etherington (1939, oddíl 4) jako zvláštní případy barických algeber.

Nechat ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {n}}$ být prvky pole K. s ${ displaystyle 1 + c_ {1} + cdots + c_ {n} = 0}$ . Formální polynom

{ displaystyle x ^ {n} + c_ {1} w (x) x ^ {n-1} + cdots + c_ {n} w (x) ^ {n}}

je vlakový polynom. Barická algebra B s váhou w je vlaková algebra, pokud

{ displaystyle a ^ {n} + c_ {1} w (a) a ^ {n-1} + cdots + c_ {n} w (a) ^ {n} = 0}

pro všechny prvky ${ displaystyle a v B}$ , s ${ displaystyle a ^ {k}}$ definované jako hlavní pravomoci, ${ displaystyle (a ^ {k-1}) a}$ .^[1]^[6]

Zygotické algebry

Zygotické algebry představil Etherington (1939, oddíl 7)

Reference

^ ^A ^b ^C González, S .; Martínez, C. (2001), „About Bernstein algebras“, Granja, Ángel (ed.), Kruhová teorie a algebraická geometrie. Sborník z 5. mezinárodní konference o algebře a algebraické geometrii, SAGA V, León, Španělsko, Přednáška. Poznámky Pure Appl. Matematika., 221, New York, NY: Marcel Dekker, s. 223–239, Zbl 1005.17021
^ Catalan, A. (2000). "E-ideály v Bernsteinových algebrách". V Costa, Roberto (ed.). Asociační algebra a její aplikace. Sborník ze čtvrté mezinárodní konference, São Paulo, Brazílie. Přednáška Poznámky Pure Appl. Matematika. 211. New York, NY: Marcel Dekker. str. 35–42. Zbl 0968.17013.
^ Tian (2008), s. 18
^ Tian (2008), s. 20
^ Cohn, Paul M. (2000). Úvod do teorie prstenů. Springerova vysokoškolská matematická série. Springer-Verlag. p. 56. ISBN 1852332069. ISSN 1615-2085.
^ Catalán S., Abdón (1994). "E-ideály v barických algeberách “. Rohož. Kontemp. 6: 7–12. Zbl 0868.17023.

Bernstein, S. N. (1923), „Principe de stationarité et généralisation de la loi de Mendel“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 177: 581–584.
Bertrand, Monique (1966), Algèbres non associatives et algèbres génétiques, Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 162, Gauthier-Villars Éditeur, Paříž, PAN 0215885
Etherington, I. M. H. (1939), "Genetické algebry" (PDF), Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 59: 242–258, PAN 0000597, Zbl 0027.29402, archivovány z originál (PDF) dne 06.07.2011
Etherington, I. M. H. (1941), „Speciální vlakové algebry“, Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Druhá série, 12: 1–8, doi:10.1093 / qmath / os-12.1.1, ISSN 0033-5606, JFM 67.0093.04, PAN 0005111, Zbl 0027.29401
Lyubich, Yu.I. (2001) [1994], „Bernsteinův problém v matematické genetice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Micali, A. (2001) [1994], „Barická algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Micali, A. (2001) [1994], „Bernsteinova algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Reed, Mary Lynn (1997), „Algebraická struktura genetické dědičnosti“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 34 (2): 107–130, doi:10.1090 / S0273-0979-97-00712-X, ISSN 0002-9904, PAN 1414973, Zbl 0876.17040
Schafer, Richard D. (1949), "Struktura genetických algeber", American Journal of Mathematics, 71: 121–135, doi:10.2307/2372100, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372100, PAN 0027751
Tian, Jianjun Paul (2008), Evoluční algebry a jejich aplikacePřednášky z matematiky, 1921, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-74283-8, Zbl 1136.17001
Wörz-Busekros, Angelika (1980), Algebry v geneticePřednášky z biomatematiky, 36, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-09978-1, PAN 0599179
Wörz-Busekros, A. (2001) [1994], "Genetická algebra", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

Další čtení

Lyubich, Yu.I. (1983), Matematické struktury v populační genetice. (Matematicheskie struktury v populyatsionnoj genetike) (v ruštině), Kyjev: Naukova Dumka, Zbl 0593.92011

[GM2001-1] A ^b ^C González, S .; Martínez, C. (2001), „About Bernstein algebras“, Granja, Ángel (ed.), Kruhová teorie a algebraická geometrie. Sborník z 5. mezinárodní konference o algebře a algebraické geometrii, SAGA V, León, Španělsko, Přednáška. Poznámky Pure Appl. Matematika., 221, New York, NY: Marcel Dekker, s. 223–239, Zbl 1005.17021

[2] Catalan, A. (2000). "E-ideály v Bernsteinových algebrách". V Costa, Roberto (ed.). Asociační algebra a její aplikace. Sborník ze čtvrté mezinárodní konference, São Paulo, Brazílie. Přednáška Poznámky Pure Appl. Matematika. 211. New York, NY: Marcel Dekker. str. 35–42. Zbl 0968.17013.

[Tian18-3] Tian (2008), s. 18

[Tian20-4] Tian (2008), s. 20

[Cohn-5] Cohn, Paul M. (2000). Úvod do teorie prstenů. Springerova vysokoškolská matematická série. Springer-Verlag. p. 56. ISBN 1852332069. ISSN 1615-2085.

[6] Catalán S., Abdón (1994). "E-ideály v barických algeberách “. Rohož. Kontemp. 6: 7–12. Zbl 0868.17023.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]