Trojitý systém - Triple system
v algebra, a trojitý systém (nebo ternární) je vektorový prostor PROTI přes pole F společně s a F-trilineární mapa
Nejdůležitější příklady jsou Lež trojité systémy a Trojité systémy Jordan. Byli představeni Nathan Jacobson v roce 1949 studovat podprostory asociativní algebry uzavřeno pod trojitými komutátory [[u, proti], w] a trojnásobek antikomutátory {u, {proti, w}}. Zejména jakékoli Lež algebra definuje trojitý systém Lie a jakýkoli Jordan algebra definuje trojitý systém Jordan. Jsou důležité v teoriích symetrické prostory, zejména Hermitovské symetrické prostory a jejich zobecnění (symetrické R-prostory a jejich nekompaktní duály).
Lež trojité systémy
O trojitém systému se říká, že je Lež trojitý systém pokud je trilineární mapa, označena , splňuje následující totožnosti:
První dvě identity abstraktní šikmá symetrie a Jacobi identita pro trojitý komutátor, zatímco třetí identita znamená, že lineární mapa Lu,proti: PROTI → PROTI, definovaný Lu,proti(w) = [u, proti, w], je derivace trojitého produktu. Identita také ukazuje, že prostor k = rozpětí {L.u,proti : u, proti ∈ PROTI} je uzavřen pod závorkou komutátoru, proto leží algebra.
Psaní m namísto PROTI, z toho vyplývá, že
lze udělat z -graded Lie algebra, the standardní vkládání z m, s držákem
Rozklad G je jasně a symetrický rozklad pro tento ležák, a tedy pokud G je propojená Lieova skupina s Lieovou algebrou G a K. je podskupina s Lieovou algebrou k, pak G/K. je symetrický prostor.
Naopak, vzhledem k lže algebře G s takovým symetrickým rozkladem (tj. je to Lieova algebra symetrického prostoru), trojitá závorka [[u, proti], w] dělá m do trojitého systému Lie.
Trojité systémy Jordan
O trojitém systému se říká, že je jordánským trojitým systémem, pokud trilineární mapa označená {.,.,.} Splňuje následující identity:
První identita abstrahuje symetrii trojitého antikomutátoru, zatímco druhá identita znamená, že pokud Lu,proti:PROTI→PROTI je definována Lu,proti(y) = {u, proti, y} pak
aby prostor lineárních map překlenul {Lu,proti:u,proti ∈ PROTI} je uzavřen pod závorkou komutátoru, a proto je Lieova algebra G0.
Jakýkoli trojitý systém Jordan je trojitý systém Lie s ohledem na produkt
Jordánský trojitý systém se říká, že je pozitivní určitý (resp. nedegenerovat) pokud bilineární forma na PROTI definováno stopou Lu,proti je kladně definitivní (resp. nedgenerativní). V obou případech jde o identifikaci PROTI s jeho duálním prostorem a zapnutou odpovídající involucí G0. Vyvolávají involuci
což je v pozitivním určitém případě Cartanova involuce. Korespondence symetrický prostor je symetrický R-prostor. Má nekompaktní dvojí dáno nahrazením Cartanovy involuce jejím složením s involucí rovnou +1 na G0 a -1 zapnuto PROTI a PROTI*. Zvláštní případ této konstrukce nastane, když G0 zachovává složitou strukturu na PROTI. V tomto případě získáme duální Hermitovské symetrické prostory kompaktní a nekompaktní typ (druhý je ohraničené symetrické domény ).
Jordan pár
Jordanův pár je zobecněním trojitého systému Jordan zahrnujícího dva vektorové prostory PROTI+ a PROTI−. Trilineární mapa je poté nahrazena dvojicí trilineárních map
které se často považují za kvadratické mapy PROTI+ → Hom (PROTI−, PROTI+) a PROTI− → Hom (PROTI+, PROTI−). Druhý Jordanův axiom (kromě symetrie) je rovněž nahrazen dvěma axiomy, jedním je
a druhým je analog s vyměněnými indexy + a -.
Stejně jako v případě Jordanových trojitých systémů lze definovat, protože u v PROTI− a proti v PROTI+, lineární mapa
a podobně L−. Jordánské axiomy (kromě symetrie) mohou být poté zapsány
což znamená, že obrazy L+ a L.− jsou uzavřeny pod závorkami komutátoru na konci (PROTI+) a konec(PROTI−). Společně určují lineární mapu
jehož obrazem je Lieova subalgebra a jordánské identity se staly Jacobi identitami pro odstupňovanou Lieovu závorku
takže naopak
je klasifikovaná Lieova algebra, pak dvojice je Jordan pár, s držáky
Trojité systémy Jordan jsou páry Jordan s PROTI+ = PROTI− a stejné trilineární mapy. Další důležitý případ nastane, když PROTI+ a PROTI− jsou vzájemně dvojí, s duálními trilineárními mapami určenými prvkem
Ty vznikají zejména, když výše je polojediný, když forma zabití poskytuje dualitu mezi a .
Viz také
Reference
- Bertram, Wolfgang (2000), Geometrie Jordanových a Lieových strukturPřednášky z matematiky, 1754, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41426-1
- Helgason, Sigurdur (2001), Diferenciální geometrie, Lieovy skupiny a symetrické prostory, Americká matematická společnost (1. vydání: Academic Press, New York, 1978).
- Jacobson, Nathan (1949), „Trojitý systém Lie a Jordan“, American Journal of Mathematics, 71 (1): 149–170, doi:10.2307/2372102, JSTOR 2372102
- Kamiya, Noriaki (2001) [1994], „Lež trojitý systém“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
- Kamiya, Noriaki (2001) [1994], „Jordan triple system“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
- Koecher, M. (1969), Elementární přístup k ohraničeným symetrickým doménám, Přednášky, Rice University
- Loos, Ottmar (1969), Symetrické prostory. Svazek 1: Obecná teorieW. A. Benjamin
- Loos, Ottmar (1969), Symetrické prostory. Svazek 2: Kompaktní prostory a klasifikaceW. A. Benjamin
- Loos, Ottmar (1971), „Jordan triple systems, R-prostory a ohraničené symetrické domény ", Bulletin of the American Mathematical Society, 77: 558–561, doi:10.1090 / s0002-9904-1971-12753-2
- Loos, Ottmar (1975), Jordan páryPřednášky z matematiky, 460, Springer-Verlag
- Loos, Ottmar (1977), Ohraničené symetrické domény a Jordanské páry (PDF)„Matematické přednášky, University of California, Irvine, archivovány od originál (PDF) dne 03.03.2016
- Meyberg, K. (1972), Přednášky o algebrách a trojitých systémech (PDF), University of Virginia
- Rosenfeld, Boris (1997), Geometrie Lieových skupin, Matematika a její aplikace, 393, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, str. 92, ISBN 978-0792343905, Zbl 0867.53002
- Tevelev, E. (2002), „Inverze Moore-Penrose, parabolické podskupiny a páry Jordan“, Journal of Lie Theory, 12: 461–481, arXiv:matematika / 0101107, Bibcode:Matematika 2001 ... 1107T