Thompsonův vzorec objednávky - Thompson order formula - Wikipedia

V matematice konečný teorie skupin, Thompsonův vzorec objednávky, představil John Griggs Thompson (Koná se v roce 1969, str. 279), dává vzorec pro objednat konečné skupiny, pokud jde o centralizátory involucí, rozšiřující výsledky Brauer & Fowler (1955).

Prohlášení

Pokud je konečná skupina G má přesně dvě třídy konjugace involucí se zástupci t a z, pak vzorec objednávky Thompson (Aschbacher 2000, 45.6) (Suzuki 1986, 5.1.7) uvádí

${ displaystyle | G | = | C_ {g} (z) | a (t) + | C_ {g} (t) | a (z)}$

Tady A(X) je počet párů (u,proti) s u konjugovat s t, proti konjugovat s z, a X v podskupině generované uživatelem uv.

Harris (1972, 3.10) uvádí následující složitější verzi vzorce Thompsonova řádu pro případ, kdy G má více než dvě třídy konjugace involuce.

${ displaystyle | G | = C_ {G} (t) C_ {G} (z) součet _ {x} { frac {a (x)} {C_ {G} (x)}}}$

kde t a z jsou nekonjugované involuce, součet přesahuje množinu zástupců X pro třídy konjugace involucí a A(X) je počet uspořádaných párů involucí u,proti takhle u je konjugován s t, proti je konjugován s z, a X je involuce v podskupině generovaná tz.

Důkaz

Thompsonův vzorec objednávky lze přepsat jako

${ displaystyle { frac {| G |} {C_ {G} (z)}} { frac {| G |} {C_ {G} (t)}} = součet _ {x} a (x) { frac {| G |} {C_ {G} (x)}}}$

kde stejně jako dříve je součet nad množinou zástupců X pro třídy involucí. Levá strana je počet párů v involucích (u,proti) s u konjugovat s t, proti konjugovat s z. Pravá strana počítá tyto páry ve třídách v závislosti na třídě involuce v cyklické skupině generované uv. Klíčovým bodem je to uv má sudý řád (jako by tehdy měl zvláštní pořadí u a proti by byla konjugovaná), a tak skupina, kterou generuje, obsahuje jedinečnou involuci X.

Reference

• Aschbacher, Michael (2000), Teorie konečných grup, Cambridge studia pokročilé matematiky, 10 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-78675-1, PAN  1777008
• Brauer, R.; Fowler, K. A. (1955), „O skupinách sudého řádu“, Annals of Mathematics, Druhá série, 62: 565–583, doi:10.2307/1970080, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970080, PAN  0074414
• Harris, Morton E. (1972), „Charakterizace rozšíření lichých objednávek konečných projektivních symplektických skupin PSp (4, q)“, Transakce Americké matematické společnosti, 163: 311–327, doi:10.2307/1995724, ISSN  0002-9947, JSTOR  1995724, PAN  0286897
• Held, Dieter (1969), „The simple groups related to M₂₄“, Journal of Algebra, 13: 253–296, doi:10.1016 / 0021-8693 (69) 90074-X, ISSN  0021-8693, 0249500
• Suzuki, Michio (1986), Skupinová teorie. IIGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 248, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-10916-9, PAN  0815926