Socle (matematika) - Socle (mathematics)

v matematika, termín sokl má několik souvisejících významů.

Socio skupiny

V kontextu teorie skupin, sokl a skupina G, označeno soc (G), je podskupina generované minimální normální podskupiny z G. Může se stát, že skupina nemá žádnou minimální netriviální normální podskupinu (to znamená, že každá netriviální normální podskupina správně obsahuje další takovou podskupinu) a v takovém případě je sokl definován jako podskupina generovaná identitou. Sokl je přímým produktem minimálních normálních podskupin.^[1]

Jako příklad zvažte cyklická skupina Z₁₂ s generátor u, který má dvě minimální normální podskupiny, jednu generuje u⁴ (což dává normální podskupinu se 3 prvky) a druhou pomocí u⁶ (což dává normální podskupinu se 2 prvky). Tak sokl z Z₁₂ je skupina generovaná uživatelem u⁴ a u⁶, což je pouze skupina generovaná u².

Sokl je a charakteristická podskupina, a tedy normální podskupina. Není to nutně přechodně normální, nicméně.

Pokud skupina G je konečný řešitelná skupina, potom může být sokl vyjádřen jako produkt elementární abelian p-skupiny. V tomto případě tedy jde pouze o produkt kopií Z/pZ pro různé p, kde stejné p se může v produktu vyskytnout několikrát.

Socul modulu

V kontextu teorie modulů a teorie prstenů the sokl a modul M přes prsten R je definován jako součet minimálních nenulových submodulů M. Lze jej považovat za dvojí představa k tomu z radikál modulu. V množinové notaci

${displaystyle mathrm {soc} (M) = sum {Nmid N {ext {je jednoduchý submodul}} M}.}$

Ekvivalentně

${displaystyle mathrm {soc} (M) = igcap {Emid E {ext {je základní submodul}} M}.}$

The sokl prstenu R může odkazovat na jednu ze dvou sad v kruhu. S ohledem na R jako právo R modul, soc (R_R) je definován a zvažován R jako levice R modul, soc (_RR) je definováno. Oba tyto sokly jsou zvonit ideály a je známo, že si nemusí být rovni.

• Li M je Artinian modul, soc (M) je sám o sobě základní submodul z M.
• Modul je polojednoduchý právě když soc (M) = M. Prsteny, pro které soc (M) = M pro všechny M jsou přesně polojednoduché kroužky.
• soc (soc (M)) = soc (M).
• M je konečně kogenerovaný modul právě když soc (M) je definitivně generován a soc (M) je základní submodul z M.
• Vzhledem k tomu, že součet polojednodušých modulů je polojednodušý, mohl by být soket modulu definován také jako jedinečný maximální polojednodušý submodul.
• Z definice rad (R), je snadné vidět ten rad (R) ničí soc (R). Li R je konečně-dimenzionální jednota algebra a M konečně vygenerovaný R-modul pak sokl sestává přesně z prvků zničených Jacobson radikální z R.^[2]

Socio of the Lie algebra

V kontextu Lež algebry, a sokl a symetrická Lieova algebra je vlastní prostor jeho strukturální automorfismus který odpovídá vlastnímu číslu „1“. (Symetrická Lieova algebra se rozloží na přímý součet jeho soklu a cosocle.)^[3]

Viz také

• Injekční trup
• Radikál modulu
• Cosocle

Reference

• Alperin, J.L.; Bell, Rowen B. (1995). Skupiny a zastoupení. Springer-Verlag. str.136. ISBN  0-387-94526-1.
• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Kroužky a kategorie modulů. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97845-1.
• Robinson, Derek J. S. (1996), Kurz teorie skupin, Postgraduální texty z matematiky, 80 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. xviii + 499, doi:10.1007/978-1-4419-8594-1, ISBN  0-387-94461-3, PAN  1357169

Rejstřík článků spojených se stejným názvem Tento článek obsahuje seznam souvisejících položek, které mají stejný název (nebo podobné názvy). Pokud interní odkaz nesprávně vás sem přivedl, možná budete chtít změnit odkaz tak, aby odkazoval přímo na zamýšlený článek.