Hamiltonovská teorie pole - Hamiltonian field theory - Wikipedia

v teoretická fyzika, Hamiltonovská teorie pole je polní teoretická analogie klasické Hamiltoniánská mechanika. Jedná se o formalismus v klasická teorie pole vedle Lagrangeova teorie pole. Má také aplikace v kvantová teorie pole.

Definice

The Hamiltonian protože systém diskrétních částic je funkcí jejich zobecněné souřadnice a konjugovat hybnost a případně čas. Pro kontinua a pole je Hamiltonova mechanika nevhodná, ale lze ji rozšířit zvážením velkého počtu hmotností bodů a využitím kontinuální meze, tj. Nekonečně mnoha částic tvořících kontinuum nebo pole. Protože každá bodová hmota má jednu nebo více stupně svobody, polní formulace má nekonečně mnoho stupňů volnosti.

Jedno skalární pole

Hamiltonovská hustota je spojitý analog pro pole; je to funkce polí, konjugovaných polí „hybnosti“ a případně samotných souřadnic prostoru a času. Pro jednoho skalární pole $φ (X, t)$ , Hamiltoniánská hustota je definována z Lagrangeova hustota podle^{[poznámka 1]}

{ displaystyle { mathcal {H}} ( phi, pi, mathbf {x}, t) = { dot { phi}} pi - { mathcal {L}} ( phi, nabla phi, částečné phi / částečné t, mathbf {x}, t) ,.}

s $\nabla$ the operátor „del“ nebo „nabla“, $X$ je vektor polohy nějakého bodu ve vesmíru a $t$ je čas. Lagrangeova hustota je funkcí polí v systému, jejich prostorových a časových derivací a případně samotných prostorových a časových souřadnic. Je to pole analogické Lagrangeově funkci pro systém diskrétních částic popsaných zobecněnými souřadnicemi.

Stejně jako v Hamiltonovské mechanice, kde každá zobecněná souřadnice má odpovídající zobecněnou hybnost, pole $φ (X, t)$ má konjugovat hybné pole $π (X, t)$ , definovaný jako parciální derivace Lagrangeovy hustoty vzhledem k časové derivaci pole,

{ displaystyle pi = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot { phi}}}}} ,, quad { dot { phi}} ekviv { frac { částečné phi} { částečné t}} ,,}

ve kterém overdot^{[pozn. 2]} označuje a částečný časová derivace $\partial/\partial t$ , ne a celkový časová derivace $d / dt$ .

Mnoho skalárních polí

Pro mnoho polí $φ i (X, t)$ a jejich konjugáty $π i (X, t)$ Hamiltoniánská hustota je funkcí všech:

{ displaystyle { mathcal {H}} ( phi _ {1}, phi _ {2}, ldots, pi _ {1}, pi _ {2}, ldots, mathbf {x} , t) = sum _ {i} { dot { phi _ {i}}} pi _ {i} - { mathcal {L}} ( phi _ {1}, phi _ {2} , ldots nabla phi _ {1}, nabla phi _ {2}, ldots, částečné phi _ {1} / částečné t, částečné phi _ {2} / částečné t, ldots, mathbf {x}, t) ,.}

kde každé konjugované pole je definováno s ohledem na jeho pole,

{ displaystyle pi _ {i} ( mathbf {x}, t) = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot { phi}} _ {i}}} ,.}

Obecně platí, že pro libovolný počet polí je objemový integrál Hamiltoniánské hustoty dává Hamiltonián ve třech prostorových rozměrech:

{ displaystyle H = int { mathcal {H}} d ^ {3} x ,.}

Hamiltoniánská hustota je Hamiltonián na jednotku prostorového objemu. Korespondence dimenze je [energie] [délka]⁻³, v SI jednotky Joulů na metr krychlový, J m⁻³.

Tenzorová a spinorová pole

Výše uvedené rovnice a definice lze rozšířit na vektorová pole a obecněji tenzorová pole a spinorová pole. Ve fyzice popisují tenzorová pole bosony a spinorová pole popisují fermiony.

Pohybové rovnice

The pohybové rovnice protože pole jsou podobná Hamiltonovským rovnicím pro diskrétní částice. Pro libovolný počet polí:

Hamiltonovské rovnice pole

${ displaystyle { dot { phi}} _ {i} = + { frac { delta { mathcal {H}}} { delta pi _ {i}}} ,, quad { dot { pi}} _ {i} = - { frac { delta { mathcal {H}}} { delta phi _ {i}}} ,,}$

kde opět overdots jsou deriváty částečného času, variační derivát s ohledem na pole

{ displaystyle { frac { delta} { delta phi _ {i}}} = { frac { částečné} { částečné phi _ {i}}} - nabla cdot { frac { částečné} { částečné ( nabla phi _ {i})}} - { frac { částečné} { částečné t}} { frac { částečné} { částečné ( částečné phi _ {i} / částečné t)}} ,,}

s · Tečkovaný produkt, musí být použit místo jednoduše částečné derivace. v notace tenzorového indexu (včetně konvence součtu ) tohle je

{ displaystyle { frac { delta} { delta phi _ {i}}} = { frac { částečné} { částečné phi _ {i}}} - částečné _ { mu} { frac { částečné} { částečné ( částečné _ { mu} phi _ {i})}}}

kde $\partial μ$ je čtyři přechody.

Fázový prostor

Pole $φ i$ a konjugáty $π i$ tvoří nekonečnou dimenzionální fázový prostor, protože pole mají nekonečný počet stupňů volnosti.

Poissonova závorka

Pro dvě funkce, které závisí na polích $φ i$ a $π i$ , jejich prostorové derivace a prostorové a časové souřadnice,

{ displaystyle A = int d ^ {3} x { mathcal {A}} left ( phi _ {1}, phi _ {2}, ldots, pi _ {1}, pi _ {2}, ldots, nabla phi _ {1}, nabla phi _ {2}, ldots, nabla pi _ {1}, nabla pi _ {2}, ldots, mathbf {x}, t right) ,,}

{ displaystyle B = int d ^ {3} x { mathcal {B}} left ( phi _ {1}, phi _ {2}, ldots, pi _ {1}, pi _ {2}, ldots, nabla phi _ {1}, nabla phi _ {2}, ldots, nabla pi _ {1}, nabla pi _ {2}, ldots, mathbf {x}, t right) ,,}

a pole jsou nulová na hranici objemu jsou převzaty integrály, pole teoretické Poissonova závorka je definován jako (nezaměňovat s komutátor z kvantové mechaniky).^[1]

{ displaystyle [A, B] _ { phi, pi} = int d ^ {3} x součet _ {i} vlevo ({ frac { delta { mathcal {A}}} { delta phi _ {i}}} { frac { delta { mathcal {B}}} { delta pi _ {i}}} - { frac { delta { mathcal {B}}} { delta phi _ {i}}} { frac { delta { mathcal {A}}} { delta pi _ {i}}} vpravo) ,,}

kde ${ displaystyle delta { mathcal {F}} / delta f}$ je variační derivát

{ displaystyle { frac { delta { mathcal {F}}} { delta f}} = { frac { částečný { mathcal {F}}} { částečný f}} - součet _ {i } nabla _ {i} { frac { částečné { mathcal {F}}} { částečné ( nabla _ {i} f)}} ,.}

Za stejných podmínek mizejících polí na povrchu platí následující vývoj času $A$ (podobně pro $B$ ):

{ displaystyle { frac {dA} {dt}} = [A, H] + { frac { částečné A} { částečné t}}}

který lze najít z celkové časové derivace $A$ , integrace po částech a pomocí výše uvedené Poissonovy závorky.

Výslovná časová nezávislost

Následující výsledky jsou pravdivé, pokud jsou Lagrangeovy a Hamiltonovské hustoty výslovně nezávislé na čase (stále mohou mít implicitní časovou závislost prostřednictvím polí a jejich derivátů),

Kinetické a potenciální hustoty energie

Hamiltoniánská hustota je celková hustota energie, součet hustoty kinetické energie ( ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ ) a potenciální hustota energie ( ${ displaystyle { mathcal {V}}}$ ),

{ displaystyle { mathcal {H}} = { mathcal {T}} + { mathcal {V}} ,.}

Rovnice spojitosti

Vezmeme-li parciální časovou derivaci definice výše uvedené hamiltonovské hustoty a použijeme řetězové pravidlo pro implicitní diferenciace a definice pole konjugované hybnosti dává rovnice spojitosti:

{ displaystyle { frac { částečné { mathcal {H}}} { částečné t}} + nabla cdot mathbf {S} = 0}

ve kterém Hamiltonian hustota může být interpretována jako hustota energie, a

{ displaystyle mathbf {S} = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( nabla phi)}} { frac { částečné phi} { částečné t}}}

energetický tok nebo tok energie za jednotku času na jednotku povrchu.

Relativistická teorie pole

Kovariantní Hamiltonovská teorie pole je relativistické formulace Hamiltonovské teorie pole.

Hamiltonovská teorie pole obvykle znamená symplektik Hamiltonovský formalizmus při aplikaci na klasická teorie pole, který má podobu okamžitého hamiltonovského formalizmu na nekonečně dimenzionálním fázový prostor, a kde kanonické souřadnice jsou polní funkce v určitém okamžiku.^[2] Tento hamiltonovský formalizmus je aplikován kvantování polí např. kvantově teorie měřidel. V Covariant Hamiltonian teorie pole, kanonický moment p^μ_i odpovídá derivacím polí s ohledem na všechny světové souřadnice X^μ.^[3] Kvariantní Hamiltonovy rovnice jsou ekvivalentní k Euler-Lagrangeovy rovnice v případě hyperregulárního Lagrangians. Covariantní Hamiltonovská teorie pole je vyvinuta v Hamilton – De Donder,^[4] polysymplectic,^[5] multisymplektický^[6] a k-symplektický^[7] varianty. Fázový prostor kovariantní hamiltonovské teorie pole je konečně-dimenzionální polysymplectic nebo multisymplektický potrubí.

Hamiltoniánská neautonomní mechanika je formulován jako kovarianční Hamiltonovská teorie pole na svazky vláken přes časovou osu, tj skutečná linie ℝ.

Viz také

Poznámky

^ Standardním zneužitím notace je zkrácení všech derivací a souřadnic v Lagrangeově hustotě následovně:
${ displaystyle { mathcal {L}} ( phi, částečné _ { mu} phi, x _ { mu})}$
The $μ$ je index, který nabývá hodnot 0 (pro časovou souřadnici) a 1, 2, 3 (pro prostorové souřadnice), takže by byl přítomen pouze jeden derivát nebo souřadnice. Obecně se všechny prostorové a časové derivace objeví v Lagrangeově hustotě, například v kartézských souřadnicích, Lagrangeova hustota má plný tvar:
${ displaystyle { mathcal {L}} vlevo ( phi, { frac { částečné phi} { částečné x}}, { frac { částečné phi} { částečné y}}, { frac { částečné phi} { částečné z}}, { frac { částečné phi} { částečné t}}, x, y, z, t pravé)}$
Zde píšeme totéž, ale pomocí ∇ zkracujeme všechny prostorové derivace jako vektor.
^ V tomto kontextu jde o standardní notaci, většina literatury výslovně nezmiňuje, že jde o parciální derivaci. Obecně totální a částečné časové derivace funkce nejsou stejné.

Citace

^ Greiner & Reinhardt 1996, Kapitola 2
^ Gotay, M., Multisymplektický rámec pro klasickou teorii pole a variační počet. II. Rozklad prostor + čas, „Mechanika, analýza a geometrie: 200 let po Lagrangeovi“ (North Holland, 1991).
^ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. „Advanced Classical Field Theory“, World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.
^ Krupková, O., Hamiltonovská teorie pole, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
^ Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Kovariantské Hamiltonovské rovnice pro teorii pole, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv:hep-th / 9904062.
^ Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometrie multisymplektických hamiltonovských polních teorií prvního řádu, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
^ Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Guntherův formalismus (k-symplektický formalismus) v klasické teorii pole: Skinner-Ruskův přístup a evoluční operátor, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

Reference

Badin, G .; Crisciani, F. (2018). Variační formulace tekutin a geofyzikální dynamika tekutin - mechanika, symetrie a zákony zachování -. Springer. p. 218. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
Goldstein, Herbert (1980). „Kapitola 12: Spojité systémy a pole“. Klasická mechanika (2. vyd.). San Francisco, Kalifornie: Addison Wesley. 562–565. ISBN 0201029189.
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Kvantování poleSpringer, ISBN 3-540-59179-6
Fetter, A. L .; Walecka, J. D. (1980). Teoretická mechanika částic a kontinua. Doveru. str. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8.

[1] Standardním zneužitím notace je zkrácení všech derivací a souřadnic v Lagrangeově hustotě následovně:
${ displaystyle { mathcal {L}} ( phi, částečné _ { mu} phi, x _ { mu})}$
The $μ$ je index, který nabývá hodnot 0 (pro časovou souřadnici) a 1, 2, 3 (pro prostorové souřadnice), takže by byl přítomen pouze jeden derivát nebo souřadnice. Obecně se všechny prostorové a časové derivace objeví v Lagrangeově hustotě, například v kartézských souřadnicích, Lagrangeova hustota má plný tvar:
${ displaystyle { mathcal {L}} vlevo ( phi, { frac { částečné phi} { částečné x}}, { frac { částečné phi} { částečné y}}, { frac { částečné phi} { částečné z}}, { frac { částečné phi} { částečné t}}, x, y, z, t pravé)}$
Zde píšeme totéž, ale pomocí ∇ zkracujeme všechny prostorové derivace jako vektor.

[2] V tomto kontextu jde o standardní notaci, většina literatury výslovně nezmiňuje, že jde o parciální derivaci. Obecně totální a částečné časové derivace funkce nejsou stejné.

[3] Greiner & Reinhardt 1996, Kapitola 2

[4] Gotay, M., Multisymplektický rámec pro klasickou teorii pole a variační počet. II. Rozklad prostor + čas, „Mechanika, analýza a geometrie: 200 let po Lagrangeovi“ (North Holland, 1991).

[5] Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. „Advanced Classical Field Theory“, World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.

[6] Krupková, O., Hamiltonovská teorie pole, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.

[7] Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Kovariantské Hamiltonovské rovnice pro teorii pole, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv:hep-th / 9904062.

[8] Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometrie multisymplektických hamiltonovských polních teorií prvního řádu, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.

[9] Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Guntherův formalismus (k-symplektický formalismus) v klasické teorii pole: Skinner-Ruskův přístup a evoluční operátor, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

[poznámka 1]

[pozn. 2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]