Produkt Zappa – Szép - Zappa–Szép product
v matematika, zvláště teorie skupin, Produkt Zappa – Szép (také známý jako Produkt Zappa – Rédei – Szép, obecný produkt, pletený výrobek nebo přesná faktorizace) popisuje způsob, jakým a skupina lze sestrojit ze dvou podskupiny. Jedná se o zobecnění Přímo a polopřímé produkty. Je pojmenován po Guido Zappa (1940) a Jenő Szép (1950), ačkoli to bylo nezávisle studováno jinými, včetně B.H. Neumann (1935), G.A. Miller (1935) a J.A. de Séguier (1904).[1]
Interní produkty Zappa – Szép
Nechat G být skupina s prvek identity Ea nechte H a K. být podskupinami G. Následující prohlášení jsou ekvivalentní:
- G = HK a H ∩ K. = {E}
- Pro každého G v Gexistuje jedinečný h v H a jedinečný k v K. takhle g = hk.
Pokud platí některý z těchto příkazů (a tedy oba), pak G se říká, že je interní Produkt Zappa – Szép z H a K..
Příklady
Nechat G = GL(n,C), obecná lineární skupina z invertibilní n × n matice přes komplexní čísla. Pro každou matici A v G, QR rozklad tvrdí, že existuje jedinečný unitární matice Q a jedinečný horní trojúhelníková matice R s pozitivní nemovitý záznamy na hlavní stránce úhlopříčka takhle A = QR. Tím pádem G je produkt společnosti Zappa – Szép společnosti jednotná skupina U(n) a skupina (řekněme) K. horních trojúhelníkových matic s kladnými diagonálními vstupy.
Jedním z nejdůležitějších příkladů toho je Philip Hall Věta z roku 1937 o existenci Systémy Sylow pro rozpustné skupiny. To ukazuje, že každá rozpustná skupina je produktem společnosti Zappa – Szép společnosti Hall p '- podskupina a Sylow p- podskupina, a ve skutečnosti je tato skupina (vícenásobným faktorem) produktem Zappa – Szép určité skupiny zástupců jejích podskupin Sylow.
V roce 1935 George Miller ukázal, že jakákoli nepravidelná přechodná permutační skupina s pravidelnou podskupinou je produktem Zappa – Szép pravidelné podskupiny a bodovým stabilizátorem. Jako příklady uvádí PSL (2,11) a střídavou skupinu 5. stupně a příkladem je samozřejmě každá střídavá skupina prvního stupně. Tato stejná práce uvádí řadu příkladů skupin, které nelze realizovat jako produkty Zappa – Szép příslušných podskupin, jako je kvaternionová skupina a střídavá skupina 6. stupně.
Externí produkty Zappa – Szép
Stejně jako u produktů direct a semidirect existuje i externí verze produktu Zappa – Szép pro skupiny, které nejsou známy a priori být podskupinami dané skupiny. Abychom to motivovali, pojďme G = HK být interním produktem podskupin Zappa – Szép H a K. skupiny G. Pro každého k v K. a každý h v H, existují α (k,h) v H a β (k,h) v K. takhle kh = α (k,h) β (k,h). To definuje mapování α: K. × H → H a β: K. × H → K. které mají následující vlastnosti:
- α (E,h) = h a β (k,E) = k pro všechny h v H a k v K..
- α (k1 k2, h) = α (k1, α (k2, h))
- β (k, h1 h2) = β (β (k, h1), h2)
- α (k, h1 h2) = α (k, h1) α (β (k,h1),h2)
- β (k1 k2, h) = β (k1, α (k2, h)) β (k2, h)
pro všechny h1, h2 v H, k1, k2 v K.. Z toho vyplývá, že
- Pro každého k v K., mapování h ↦ α (k,h) je bijekce z H.
- Pro každého h v H, mapování k ↦ β (k,h) je výrok z K..
(Opravdu předpokládejme α (k,h1) = α (k,h2). Pak h1= α (k−1k,h1) = α (k−1, α (k,h1)) = α (k−1, α (k,h2))=h2. Tím se stanoví injektivita a pro surjektivitu použití h= α (k, α (k−1,h)).)
Stručněji, první tři vlastnosti výše prosazují mapování α: K. × H → H je levá akce z K. na H a to β: K. × H → K. je správná akce z H na K.. Označíme-li levou akci h → kh a správná akce k → kh, pak poslední dvě vlastnosti činí k(h1h2) = kh1 kh1h2 a (k1k2)h = k1k2hk2h.
Pokud to otočíme, předpokládejme H a K. jsou skupiny (a nech E označte prvek identity každé skupiny) a předpokládejme, že existují mapování α: K. × H → H a β: K. × H → K. splňující výše uvedené vlastnosti. Na kartézský součin H × K., definujte násobení a inverzní mapování pomocí
- (h1, k1) (h2, k2) = (h.)1 α (k1, h2), β (k1, h2) k2)
- (h, k)− 1 = (α (k− 1, h− 1), β (k− 1, h− 1))
Pak H × K. je skupina zvaná externí Produkt Zappa – Szép skupin H a K.. The podmnožiny H × {E} a {E} × K. jsou podskupiny izomorfní na H a K., respektive, a H × K. je ve skutečnosti interním produktem společnosti Zappa – Szép H × {E} a {E} × K..
Vztah k polopřímým a přímým produktům
Nechat G = HK být interním produktem podskupin Zappa – Szép H a K.. Li H je normální v G, pak jsou zobrazení α a β dána vztahem α (k,h) = k h k− 1 a β (k, h) = k. To je snadné vidět, protože a protože normálností , . V tomto případě, G je interní polopřímý produkt H a K..
Pokud navíc K. je normální v G, pak α (k,h) = h. V tomto případě, G je interní přímý produkt společnosti H a K..
Reference
- ^ Martin W. Liebeck; Cheryl E. Praeger; Jan Saxl (2010). Pravidelné podskupiny primitivních permutačních skupin. American Mathematical Soc. s. 1–2. ISBN 978-0-8218-4654-4.
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (v němčině), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03825-2, PAN 0224703, OCLC 527050, Kap. VI, §4.
- Michor, P. W. (1989), „Knit products of graded Lie algebras and groups“, Proceedings of the Winter School on Geometry and Physics, Srni, Suppl. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, Ser. II, 22: 171–175, arXiv:matematika / 9204220, Bibcode:1992math ...... 4220M.
- Miller, G. A. (1935), „Skupiny, které jsou produkty dvou permutovatelných správných podskupin“, Sborník Národní akademie věd, 21 (7): 469–472, Bibcode:1935PNAS ... 21..469M, doi:10.1073 / pnas.21.7.469, PMC 1076628, PMID 16588002
- Szép, J. (1950), „O struktuře skupin, které lze reprezentovat jako produkt dvou podskupin“, Acta Sci. Matematika. Segedín, 12: 57–61.
- Takeuchi, M. (1981), „Odpovídající páry skupin a bismashové produkty Hopfových algeber“, Comm. Algebra, 9 (8): 841–882, doi:10.1080/00927878108822621.
- Zappa, G. (1940), „Sulla costruzione dei gruppi prodotto di due dati sottogruppi permutabili traloro“, Atti Secondo Congresso Un. Rohož. Ital., Bologna; Edizioni Cremonense, Řím, (1942) 119–125.
- Agore, A.L .; Chirvasitu, A .; Ion, B .; Militaru, G. (2007), Faktorizační problémy pro konečné skupiny, arXiv:matematika / 0703471, Bibcode:Matematika 2007 ...... 3471A, doi:10.1007 / s10468-009-9145-6.
- Brin, M. G. (2005). „Na produktu Zappa-Szép“. Komunikace v algebře. 33 (2): 393–424. arXiv:matematika / 0406044. doi:10.1081 / AGB-200047404.