Kladná reálná čísla - Positive real numbers - Wikipedia

v matematika, soubor kladná reálná čísla, ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0} = vlevo {x v mathbb {R} uprostřed x> 0 vpravo }}$, je jejich podmnožinou reálná čísla které jsou větší než nula. The nezáporná reálná čísla, ${ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0} = vlevo {x v mathbb {R} uprostřed x geq 0 vpravo }}$, také zahrnout nulu. Ačkoli symboly ${ displaystyle mathbb {R} _ {+}}$ a ${ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$ jsou nejednoznačně použity pro jeden z nich, notaci ${ displaystyle mathbb {R} _ {+}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$ pro ${ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x geq 0 right }}$ a ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {R} _ {*} ^ {+}}$ pro ${ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x> 0 right }}$ byl také široce používán, je v souladu s praxí algebry označující vyloučení nulového prvku hvězdou a měl by být srozumitelný většině praktikujících matematiků.^[1][2]

V složité letadlo, ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$ je identifikován s pozitivní skutečná osa, a je obvykle nakreslena jako vodorovná paprsek. Tento paprsek se používá jako reference v polární forma komplexního čísla. Skutečná kladná osa odpovídá komplexní čísla ${ displaystyle z = | z | mathrm {e} ^ { mathrm {i} varphi}}$, s argument ${ displaystyle varphi = 0}$.

Vlastnosti

Sada ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$ je Zavřeno pod sčítáním, násobením a dělením. Zdědí a topologie z skutečná linie a má tedy strukturu multiplikátu topologická skupina nebo přísady topologická poloskupina.

Pro dané kladné reálné číslo ${ displaystyle x}$, sekvence ${ displaystyle {x ^ {n} }}$ jeho integrálních sil má tři různé osudy: Kdy ${ displaystyle x v (0,1)}$, omezit je nula; když ${ displaystyle x = 1}$posloupnost je konstantní; a kdy ${ displaystyle x> 1}$, sekvence je neomezený.

${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0} = (0,1) pohár {1 } pohár (1, infty)}$ a multiplikativní inverzní funkce vyměňuje intervaly. Funkce podlaha, ${ displaystyle operatorname {floor}: [1, infty) to mathbb {N}, , x mapsto lfloor x rfloor}$, a přebytek, ${ displaystyle operatorname {nadbytek}: [1, infty) až (0,1), , x mapsto x- lfloor x rfloor}$, byly použity k popisu prvku ${ displaystyle x in mathbb {R} _ {> 0}}$ jako pokračující zlomek ${ displaystyle [n_ {0}; n_ {1}, n_ {2}, ldots]}$, což je posloupnost celých čísel získaných z funkce floor po přeplacení přebytku. Za racionální ${ displaystyle x}$, sekvence končí přesným zlomkovým vyjádřením ${ displaystyle x}$, a pro kvadratická iracionální ${ displaystyle x}$, sekvence se stává a periodická pokračující frakce.

Objednaná sada (${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$,>) tvoří a celková objednávka ale je ne A dobře uspořádaná sada. The dvojnásobně nekonečný geometrický průběh 10ⁿ, kde n je celé číslo, leží zcela v (${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$,>) a slouží k jeho rozdělení do sekce. ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$ tvoří a poměrová stupnice, nejvyšší úroveň měření. Mohou být zapsány prvky věděcký zápis tak jako A × 10ⁿ, kde 1 ≤ A <10 a b je celé číslo v dvojnásobně nekonečné posloupnosti a nazývá se desetiletí. Ve studiu fyzikálních veličin poskytuje řád desetiletí kladné a záporné řadové číslovky odkazující na řadovou stupnici implicitní v poměrové stupnici.

Ve studii o klasické skupiny, pro každého ${ displaystyle n in mathbb {N}}$, určující dává mapu z ${ displaystyle n krát n}$ matice nad reálemi na reálná čísla: ${ displaystyle mathrm {M} (n, mathbf {R}) do mathbf {R}.}$ Omezení na invertibilní matice dává mapu z obecná lineární skupina na nenulová reálná čísla: ${ displaystyle mathrm {GL} (n, mathbf {R}) do mathbf {R} ^ { times}}$. Omezení na matice s kladným determinantem dává mapu ${ displaystyle mathrm {GL} ^ {+} (n, mathbf {R}) do mathbf {R} _ {> 0}}$; interpretace obrazu jako kvocientová skupina podle normální podskupina vztah SL (n, ℝ) ◁ GL⁺(n, ℝ) vyjadřuje pozitivní realitu jako a Lež skupina.

Logaritmická míra

Li ${ displaystyle [a, b] subseteq mathbb {R} _ {> 0}}$ je interval, pak ${ displaystyle mu ([a, b]) = log (b / a) = log b- log a}$ určuje a opatření na určité podskupiny ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$, což odpovídá zarazit obvyklého Lebesgueovo opatření na reálných číslech pod logaritmem: je to délka na logaritmická stupnice. Ve skutečnosti je to invariantní míra s ohledem na násobení ${ displaystyle [a, b] až [az, bz]}$ podle a ${ displaystyle z in mathbb {R} _ {> 0}}$, stejně jako Lebesgueova míra je při přidání neměnná. V kontextu topologických skupin je toto opatření příkladem a Haarovo opatření.

Užitečnost tohoto opatření je uvedena v jeho použití pro popis hvězdné veličiny a hladiny hluku v decibely, mimo jiné aplikace logaritmická stupnice. Pro účely mezinárodních standardů ISO 80000-3, bezrozměrné veličiny se označují jako úrovně.

Aplikace

Nezáporné reality slouží jako rozsah pro metriky, normy, a opatření v matematice.

Včetně sady 0 ${ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0}}$ má semiring struktura (0 je aditivní identita ), známý jako pravděpodobnostní semiring; logaritmy (s výběrem základny dávající a logaritmická jednotka ) dává izomorfismus s semiring logů (s 0 odpovídající −∞) a její jednotky (konečná čísla, kromě −∞) odpovídají kladným reálným číslům.

Náměstí

Nechat ${ displaystyle Q = mathbb {R} _ {> 0} krát mathbb {R} _ {> 0},}$ první kvadrant karteziánské roviny. Samotný kvadrant je linií rozdělen na čtyři části ${ displaystyle L = {(x, y): x = y }}$ a standardní hyperbola ${ displaystyle H = {(x, y): xy = 1 }.}$

The L ∪ H tvoří trojzubec L ∩ H = (1,1) je centrální bod. Je to prvek identity dvou jednoparametrické skupiny které se tam protínají:

${ displaystyle { {(e ^ {a}, e ^ {a}): a v R }, krát }}$ na L a ${ displaystyle { {(e ^ {a}, e ^ {- a}): a v R }, krát }}$ na H.

Od té doby ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}$ je skupina, Q je přímý součin skupin. Podskupiny s jedním parametrem L a H v Q - profilovat aktivitu v produktu a - L × H je řešení typů skupinové akce.

Sféry podnikání a vědy jsou v poměrech hojné a jakákoli jejich změna přitahuje pozornost. Studie se týká hyperbolické souřadnice v Q. Návrh proti L osa označuje změnu v geometrický průměr √ (xy), zatímco se mění H označuje nový hyperbolický úhel.

Viz také

Reference

Bibliografie

• Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). Msgstr "Aditivní poloskupiny kladných reálných čísel". Mathematische Annalen. 188 (3): 214–218. doi:10.1007 / BF01350237.