Goursats lemma - Goursats lemma - Wikipedia

Goursatovo lemma, pojmenoval podle francouzština matematik Édouard Goursat, je algebraický teorém o podskupiny z přímý produkt ze dvou skupiny.

Obecněji lze uvést v a Goursat odrůda (a následně také platí ve všech Odrůda Maltsev ), ze kterého se získá obecnější verze Lemma motýla Zassenhausa. V této formě Goursatova věta také znamená hadí lemma.

Skupiny

Goursatovo lemma pro skupiny lze konstatovat následovně.

Nechat ${ displaystyle G}$, ${ displaystyle G '}$ být skupinami a nechat ${ displaystyle H}$ být podskupinou ${ displaystyle G krát G '}$ takové, že ti dva projekce ${ displaystyle p_ {1}: H rightarrow G}$ a ${ displaystyle p_ {2}: H rightarrow G '}$ jsou surjektivní (tj., ${ displaystyle H}$ je podřízený produkt z ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle G '}$). Nechat ${ displaystyle N}$ být jádrem ${ displaystyle p_ {2}}$ a ${ displaystyle N '}$ the jádro z ${ displaystyle p_ {1}}$. Lze identifikovat ${ displaystyle N}$ jako normální podskupina z ${ displaystyle G}$, a ${ displaystyle N '}$ jako normální podskupina ${ displaystyle G '}$. Pak obrázek ${ displaystyle H}$ v ${ displaystyle G / N krát G '/ N'}$ je graf z izomorfismus ${ displaystyle G / N přibližně G '/ N'}$.

Okamžitým důsledkem toho je, že produkt subdirect dvou skupin lze popsat jako a vláknitý výrobek a naopak.

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle H}$ je žádný podskupina ${ displaystyle G krát G '}$ (projekce ${ displaystyle p_ {1}: H rightarrow G}$ a ${ displaystyle p_ {2}: H rightarrow G '}$ nemusí být surjektivní), pak projekce z ${ displaystyle H}$ na ${ displaystyle p_ {1} (H)}$ a ${ displaystyle p_ {2} (H)}$ jsou surjektivní. Pak lze použít Goursatovo lemma ${ displaystyle H leq p_ {1} (H) krát p_ {2} (H)}$.

Chcete-li motivovat důkaz, zvažte plátek ${ displaystyle S = {g} krát G '}$ v ${ displaystyle G krát G '}$, pro libovolné ${ displaystyle {g} v G}$. Surjektivitou projekční mapy k ${ displaystyle G}$, toto má netriviální průnik s ${ displaystyle H}$. Pak v podstatě tato křižovatka představuje přesně jednu konkrétní sadu ${ displaystyle N '}$. Ve skutečnosti, kdybychom měli odlišné prvky ${ displaystyle (g, a), (g, b) v S čepici H}$ s ${ displaystyle a v pN ' podmnožina G'}$ a ${ displaystyle b v qN ' podmnožina G'}$ , pak ${ displaystyle H}$ jako skupina to chápeme ${ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) v H}$, a tedy ${ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) v N '}$. Ale to je rozpor, jako ${ displaystyle a, b}$ patří do odlišných kosetů ${ displaystyle N '}$, a tudíž ${ displaystyle ab ^ {- 1} N ' neq N'}$, a tedy prvek ${ displaystyle (e, ab ^ {- 1}) v N '}$ nemůže patřit do jádra ${ displaystyle N '}$ projekční mapy z ${ displaystyle H}$ na ${ displaystyle G}$. Průnik ${ displaystyle H}$ s každým "vodorovným" řezem isomorfním na ${ displaystyle G ' in G krát G'}$ je přesně jeden konkrétní soubor ${ displaystyle N '}$ v ${ displaystyle G '}$Identickým argumentem je průsečík ${ displaystyle H}$ s každým "svislým" řezem isomorfním na ${ displaystyle G v G krát G '}$ je přesně jeden konkrétní soubor ${ displaystyle N}$ v ${ displaystyle G}$.

Všechny kosety z ${ displaystyle G, G '}$ jsou přítomni ve skupině ${ displaystyle H}$Podle výše uvedeného argumentu mezi nimi existuje přesná korespondence 1: 1. Důkaz níže dále ukazuje, že mapa je izomorfismus.

Důkaz

Před pokračováním v důkaz, ${ displaystyle N}$ a ${ displaystyle N '}$ jsou zobrazeny jako normální v ${ displaystyle G times {e '}}$ a ${ displaystyle {e } krát G '}$, resp. Je to v tomto smyslu ${ displaystyle N}$ a ${ displaystyle N '}$ lze identifikovat jako normální v G a G', resp.

Od té doby ${ displaystyle p_ {2}}$ je homomorfismus, jeho jádro N je normální v H. Navíc vzhledem k tomu ${ displaystyle g v G}$, tady existuje ${ displaystyle h = (g, g ') v H}$, od té doby ${ displaystyle p_ {1}}$ je surjektivní. Proto, ${ displaystyle p_ {1} (N)}$ je normální v G, viz:

${ displaystyle gp_ {1} (N) = p_ {1} (h) p_ {1} (N) = p_ {1} (hN) = p_ {1} (Nh) = p_ {1} (N) g }$.

Z toho vyplývá, že ${ displaystyle N}$ je normální v ${ displaystyle G times {e '}}$ od té doby

${ displaystyle (g, e ') N = (g, e') (p_ {1} (N) krát {e '}) = gp_ {1} (N) krát {e' } = p_ {1} (N) g times {e '} = (p_ {1} (N) times {e' }) (g, e ') = N (g, e')}$.

Důkaz toho ${ displaystyle N '}$ je normální v ${ displaystyle {e } krát G '}$ postupuje obdobným způsobem.

Vzhledem k identifikaci ${ displaystyle G}$ s ${ displaystyle G times {e '}}$, můžeme psát ${ displaystyle G / N}$ a ${ displaystyle gN}$ namísto ${ displaystyle (G times {e '}) / N}$ a ${ displaystyle (g, e ') N}$, ${ displaystyle g v G}$. Podobně můžeme psát ${ displaystyle G '/ N'}$ a ${ displaystyle g'N '}$, ${ displaystyle g ' v G'}$.

Na důkaz. Zvažte mapu ${ displaystyle H rightarrow G / N krát G '/ N'}$ definován ${ displaystyle (g, g ') mapsto (gN, g'N')}$. Obrázek uživatele ${ displaystyle H}$ pod touto mapou je ${ displaystyle {(gN, g'N ') | (g, g') v H }}$. Od té doby ${ displaystyle H rightarrow G / N}$ je surjective, toto vztah je graf a dobře definované funkce ${ displaystyle G / N rightarrow G '/ N'}$ pokud ${ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N Rightarrow g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$ pro každého ${ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') v H}$, v zásadě aplikace test svislé čáry.

Od té doby ${ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N}$ (přesněji, ${ displaystyle (g_ {1}, e ') N = (g_ {2}, e') N}$), my máme ${ displaystyle (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e ') v N podmnožině H}$. Tím pádem ${ displaystyle (e, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') = (g_ {2}, g_ {2} ') ^ {- 1} (g_ {1}, g_ {1} ') (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e') ^ {- 1} v H}$, odkud ${ displaystyle (e, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') v N '}$, to znamená, ${ displaystyle g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$.

Navíc pro každého ${ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') v H}$ my máme ${ displaystyle (g_ {1} g_ {2}, g_ {1} 'g_ {2}') v H}$. Z toho vyplývá, že tato funkce je skupinovým homomorfismem.

Symetrií, ${ displaystyle {(g'N ', gN) | (g, g') v H }}$ je graf dobře definovaného homomorfismu ${ displaystyle G '/ N' rightarrow G / N}$. Tyto dva homomorfismy jsou navzájem jasně inverzní, a tedy skutečně jde o izomorfismy.

Goursat odrůdy

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Dubna 2015)

V důsledku Goursatovy věty lze odvodit velmi obecnou verzi na Jordan – Hölder –Schreierova věta v odrůdách Goursat.

Reference

• Édouard Goursat, „Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), ročník: 6, strany 9–102
• J. Lambek (1996). „Motýl a had“. In Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Logika a algebra. CRC Press. 161–180. ISBN  978-0-8247-9606-8.
• Kenneth A. Ribet (Podzim 1976), "Galois Akce na divizních bodech Abelianské odrůdy se skutečným násobením ", American Journal of Mathematics, Sv. 98, č. 3, 751–804.