Diferencovatelná křivka - Differentiable curve
Diferenciální geometrie křivek je pobočkou geometrie který se zabývá hladkým křivky v letadlo a Euklidovský prostor metodami rozdíl a integrální počet.
Mnoho specifické křivky byly důkladně vyšetřeny pomocí syntetický přístup. Diferenciální geometrie má jinou cestu: křivky jsou znázorněny v a parametrizovaná forma a jejich geometrické vlastnosti a různé veličiny s nimi spojené, například zakřivení a délka oblouku, jsou vyjádřeny prostřednictvím deriváty a integrály použitím vektorový počet. Jedním z nejdůležitějších nástrojů používaných k analýze křivky je Frenetový rám, pohyblivý rámec, který poskytuje souřadnicový systém v každém bodě křivky, který je „nejlépe přizpůsoben“ křivce poblíž tohoto bodu.
Teorie křivek je mnohem jednodušší a rozsahem užší než teorie povrchů a jeho vyšší dimenzionální zobecnění, protože pravidelná křivka v euklidovském prostoru nemá žádnou vlastní geometrii. Jakákoli pravidelná křivka může být parametrizována délkou oblouku ( přirozená parametrizace). Z pohledu a teoretická bodová částice na křivce, která neví nic o okolním prostoru, by se všechny křivky objevily stejně. Různé prostorové křivky se liší pouze podle toho, jak se ohýbají a kroutí. Kvantitativně se to měří diferenciálně-geometrickými invarianty zvanými zakřivení a kroucení křivky. The základní věta o křivkách tvrdí, že znalost těchto invariantů zcela určuje křivku.
Definice
A parametrické Cr-křivka nebo a Cr-parametrizace je funkce s vektorovou hodnotou
to je r-krát průběžně diferencovatelné (tj. komponentní funkce y jsou průběžně diferencovatelné), kde n ∈ ℕ, r ∈ ℕ ∪ {∞}, a Já být neprázdný interval reálných čísel. The obraz parametrické křivky je y[Já] ⊆ ℝn. Parametrická křivka y a jeho image y[Já] je třeba rozlišovat, protože daná podmnožina ℝn může být obrazem několika odlišných parametrických křivek. Parametr t v y(t) lze považovat za představující čas a y the trajektorie pohybujícího se bodu ve vesmíru. Když Já je uzavřený interval [A,b], y(A) se nazývá výchozí bod a y(b) je koncový bod y. Pokud se počáteční a koncový bod shodují (tj. y(A) = y(b)), pak y je uzavřená křivka nebo a smyčka. Za to, že Cr- smyčka, funkce y musí být r-krát nepřetržitě diferencovatelné a uspokojivé y(k)(A) = y(k)(b) pro 0 ≤ k ≤ r.
Parametrická křivka je jednoduchý -li
je injekční. to je analytický pokud každá komponentní funkce y je analytická funkce, to znamená, že patří do třídy Cω.
Křivka y je pravidelná objednávka m (kde m ≤ r) pokud pro každého t ∈ Já,
je lineárně nezávislé podmnožina ℝn. Zejména parametrický C1-křivka y je pravidelný kdyby a jen kdyby y′(t) ≠ 0 pro všechny t ∈ Já.
Reparametrizace a relace ekvivalence
Vzhledem k obrázku parametrické křivky existuje několik různých parametrizací parametrické křivky. Diferenciální geometrie si klade za cíl popsat vlastnosti parametrických křivek, které jsou při určitých reparametrizacích neměnné. Vhodný vztah ekvivalence na sadě všech parametrických křivek musí být definováno. Diferenciálně geometrické vlastnosti parametrické křivky (například její délka, její Frenetový rám, a jeho zobecněné zakřivení) jsou neměnné pod reparametrizací, a proto vlastnosti třída ekvivalence sám. Třídy ekvivalence se nazývají Cr-křivky a jsou ústředními objekty studovanými v diferenciální geometrii křivek.
Dva parametrické Cr- křivky, y1 : Já1 → ℝn a y2 : Já2 → ℝn, se říká, že jsou ekvivalent jen tehdy, pokud existuje a bijektivní Cr-mapa φ : Já1 → Já2 takhle
a
y2 pak se říká, že je opětovná parametrizace z y1.
Opětovná parametrizace definuje relaci ekvivalence na množině všech parametrických Cr- křivky třídy Cr. Třída ekvivalence tohoto vztahu jednoduše a Cr-křivka.
Sudý jemnější ekvivalenční vztah orientovaných parametrických Cr-krivky lze definovat vyžadováním φ uspokojit φ′(t) > 0.
Ekvivalentní parametrický Cr- křivky mají stejný obrázek a ekvivalentně orientované parametrické hodnoty Cr- křivky dokonce procházejí obrazem ve stejném směru.
Délka a přirozená parametrizace
Délka l parametrického C1-křivka y : [A,b] → ℝn je definován jako
Délka parametrické křivky je při reparametrizaci neměnná a je tedy diferenciálně-geometrickou vlastností parametrické křivky.
Pro každou běžnou parametrickou Cr-křivka y : [A,b] → ℝn, kde r ≥ 1, funkce je definována
Psaní y(s) = y(t(s)), kde t(s) je inverzní funkce s(t). Jedná se o re-parametrizaci y z y který se nazývá parametrizace délky oblouku, přirozená parametrizace, parametrizace jednotkové rychlosti. Parametr s(t) se nazývá přirozený parametr z y.
Tato parametrizace je upřednostňována z důvodu přirozeného parametru s(t) prochází obrazem y při jednotkové rychlosti, takže
V praxi je často velmi obtížné vypočítat přirozenou parametrizaci parametrické křivky, ale je to užitečné pro teoretické argumenty.
Pro danou parametrickou křivku y, přirozená parametrizace je jedinečná až do posunu parametru.
Množství
se někdy nazývá energie nebo akce křivky; tento název je oprávněný, protože geodetické rovnice jsou Euler-Lagrangeovy rovnice pohybu pro tuto akci.
Frenetový rám

Frenetský rám je a pohyblivý referenční rámec z n ortonormální vektory Ei(t) které se používají k lokálnímu popisu křivky v každém bodě y(t). Je to hlavní nástroj v diferenciálním geometrickém zpracování křivek, protože je mnohem jednodušší a přirozenější popsat místní vlastnosti (např. Zakřivení, kroucení) z hlediska místního referenčního systému, než použít globální, jako jsou euklidovské souřadnice.
Vzhledem k tomu, Cn + 1-křivka y v ℝn což je pravidelná objednávka n Frenetův rámec pro křivku je sada ortonormálních vektorů
volala Frenetové vektory. Jsou konstruovány z derivátů y(t) za použití Gram – Schmidtův ortogonalizační algoritmus s
Skutečné funkce χi(t) se nazývají zobecněné zakřivení a jsou definovány jako
Frenetův rámec a zobecněné křivky jsou při reparametrizaci neměnné, a jsou tedy diferenciálními geometrickými vlastnostmi křivky.
Bertrandova křivka
Bertrandova křivka je Frenetova křivka ℝ3 s další vlastností, ve které je druhá křivka ℝ3 takové, že hlavní normální vektory k těmto dvěma křivkám jsou identické v každém odpovídajícím bodě. Jinými slovy, pokud r→1(t) a r→2(t) jsou dvě křivky ℝ3 takový, že pro každého t, N→1 = N→2, pak r→1 a r→2 jsou Bertrandovy křivky. Z tohoto důvodu je běžné hovořit o Bertrandově dvojici křivek (jako r→1 a r→2 v předchozím příkladu). Podle problému 25 v Kühnelových „Křivkách diferenciální geometrie - povrchy - potrubí“ je také pravda, že dvě Bertrandovy křivky, které neleží ve stejné dvourozměrné rovině, jsou charakterizovány existencí lineárního vztahu aκ + bτ = 1 kde A a b jsou skutečné konstanty a A ≠ 0.[1] Dále produkt torze párů Bertrandových křivek jsou konstantní.[2]
Speciální Frenetovy vektory a zobecněné zakřivení
První tři Frenetovy vektory a zobecněné křivky lze vizualizovat v trojrozměrném prostoru. Mají k nim připojena další jména a další sémantické informace.
Tečný vektor
Pokud křivka y představuje cestu částice, pak okamžitou rychlost částice v daném bodě P je vyjádřeno a vektor, nazvaný tečný vektor ke křivce v P. Matematicky vzhledem k parametrizaci C1 křivka y = y(t), pro každou hodnotu t = t0 parametru, vektoru
je tečný vektor v bodě P = y(t0). Obecně řečeno, tečný vektor může být nula. Velikost tečného vektoru
je rychlost v té době t0.
První Frenetův vektor E1(t) je jednotkový tečný vektor ve stejném směru, definovaný v každém pravidelném bodě y:
Li t = s je přirozený parametr, potom má tečný vektor délku jednotky. Vzorec zjednodušuje:
- .
Vektor tečny jednotky určuje orientaci křivky nebo směr dopředu, odpovídající zvyšujícím se hodnotám parametru. Vektor tečny jednotky vzatý jako křivka sleduje sférický obraz původní křivky.
Normální nebo zakřivený vektor
Normální vektor, někdy nazývaný vektor zakřivení, označuje odchylku křivky od přímky.
Je definován jako
Jeho normalizovaná forma, jednotkový normální vektor, je druhým Frenetovým vektorem E2(t) a je definován jako
Tečna a normální vektor v bodě t definovat oscilační rovina v bodě t.
To lze ukázat E2(t) ∝ E′1(t). Proto,
Zakřivení
První zobecněné zakřivení χ1(t) se nazývá zakřivení a měří odchylku y z přímky vzhledem k oscilační rovině. Je definován jako
a nazývá se zakřivení z y v bodě t. To lze ukázat
The reciproční zakřivení
se nazývá poloměr zakřivení.
Kruh s poloměrem r má konstantní zakřivení
zatímco čára má zakřivení 0.
Binormální vektor
Jednotkový binormální vektor je třetí Frenetův vektor E3(t). Je vždy kolmý k jednotkovému tangensu a normálním vektorům v t. Je definován jako
V trojrozměrném prostoru se rovnice zjednodušuje na
nebo do
To, že se může vyskytnout kterékoli znamení, ilustrují příklady šroubovice pro praváky a šroubovice pro leváky.
Kroucení
Druhé zobecněné zakřivení χ2(t) je nazýván kroucení a měří odchylku y být rovinnou křivkou. Jinými slovy, pokud je torze nulová, křivka leží zcela ve stejné oscilační rovině (pro každý bod existuje pouze jedna oscilační rovina t). Je definován jako
a nazývá se kroucení z y v bodě t.
Hlavní teorém teorie křivek
Dáno n − 1 funkce:
pak existuje jedinečný (až do transformací pomocí Euklidovská skupina ) Cn + 1-křivka y což je pravidelná objednávka n a má následující vlastnosti:
kde je soubor
je Frenetův rámec pro křivku.
Dodatečným poskytnutím startu t0 v Já, výchozí bod p0 v ℝn a počáteční pozitivní ortonormální Frenetův rámec {E1, …, En − 1} s
euklidovské transformace jsou eliminovány, aby se získala jedinečná křivka y.
Frenet-Serretovy vzorce
Frenet-Serretovy vzorce jsou sada obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu. Řešením je sada Frenetových vektorů popisujících křivku specifikovanou zobecněnými křivkovými funkcemi χi.
2 rozměry
3 rozměry
n rozměry (obecný vzorec)
Viz také
Reference
- ^ Kühnel, Wolfgang (2005). Diferenciální geometrie: křivky, povrchy, rozdělovače. Prozřetelnost: AMS. p. 53. ISBN 0-8218-3988-8.
- ^ http://mathworld.wolfram.com/BertrandCurves.html
Další čtení
- Kreyszig, Erwin (1991). Diferenciální geometrie. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9. Kapitola II je klasickým zpracováním Teorie křivek ve 3-dimenzích.