Ruleta (křivka) - Roulette (curve)

V diferenciální geometrie křivek, a ruleta je druh křivka zobecňující cykloidy, epicykloidy, hypocykloidy, trochoidy, epitrochoidy, hypotrochoidy, a evoluce.

Definice

Neformální definice

Konstrukce rulety: konkrétně a cissoid Diocles.

Zhruba řečeno, ruleta je křivka popsaná bodem (tzv generátor nebo pól) připojené k dané křivce, když se křivka valí bez sklouznutí, podél druhé dané křivky, která je pevná. Přesněji řečeno, vzhledem k tomu, že křivka je připojena k rovině, která se pohybuje tak, že se křivka valí, aniž by sklouzla, po dané křivce připojené k pevné rovině zabírající stejný prostor, pak bod připojený k pohyblivé rovině popisuje křivku v pevné letadlo zvané ruleta.

Na obrázku je pevná křivka (modrá) a parabola, klouzavá křivka (zelená) je stejná parabola a generátor je vrchol klouzavé paraboly, který popisuje ruletu (červená). V tomto případě je ruleta cissoid Diocles.^[1]

Zvláštní případy a související pojmy

V případě, že válcovací křivka je a čára a generátor je bod na přímce, ruletě se říká an evolventní pevné křivky. Pokud je válcovací křivka kruh a pevná křivka je čára, pak je ruleta a trochoid. Pokud v tomto případě bod leží na kružnici, pak je ruleta a cykloidní.

Souvisejícím konceptem je a glissette, křivka popsaná bodem připojeným k dané křivce, když se posouvá podél dvou (nebo více) daných křivek.

Formální definice

Formálně vzato, křivky musí být rozlišitelný křivky v Euklidovské letadlo. The pevná křivka je neměnný; the válcovací křivka je vystaven a kontinuální shoda transformace taková, že křivky jsou vždy tečna v bodě dotyku, který se pohybuje stejnou rychlostí, když je veden podél kterékoli z křivek (dalším způsobem, jak vyjádřit toto omezení, je to, že bodem dotyku obou křivek je okamžitý střed otáčení transformace kongruence). Výsledná ruleta je tvořena místo generátoru podrobeného stejné sadě transformací kongruence.

Modelování původních křivek jako křivek v složité letadlo, nechť ${ displaystyle r, f: mathbb {R} do mathbb {C}}$ být ti dva přirozené parametrizace válcování (${ displaystyle r}$) a pevné (${ displaystyle f}$) křivky, takové, že ${ displaystyle r (0) = f (0)}$, ${ displaystyle r ^ { prime} (0) = f ^ { prime} (0)}$, a ${ displaystyle | r ^ { prime} (t) | = | f ^ { prime} (t) | neq 0}$ pro všechny ${ displaystyle t}$. Ruleta generátoru ${ displaystyle p in mathbb {C}}$ tak jako ${ displaystyle r}$ je navinut ${ displaystyle f}$ je pak dáno mapováním:

${ Displaystyle t mapsto f (t) + (p-r (t)) {f '(t) nad r' (t)}.}$

Zobecnění

Pokud je namísto jediného bodu připojeného k válcovací křivce provedena další daná křivka podél pohybující se roviny, je vytvořena rodina shodných křivek. Obálka této rodiny může být také nazývána ruleta.

Rulety ve vyšších prostorech si lze určitě představit, ale je třeba sladit více než jen tečny.

Příklad

Pokud je pevná křivka a řetězovka a valivá křivka je a čára, my máme:

${ Displaystyle f (t) = t + já ( cosh (t) -1) qquad r (t) = sinh (t)}$

${ Displaystyle f '(t) = 1 + i sinh (t) qquad r' (t) = cosh (t).}$

Parametrizace linky je zvolena tak, aby

${ displaystyle | f '(t) | ,}$ ${ displaystyle = { sqrt {1 ^ {2} + sinh ^ {2} (t)}}}$ ${ displaystyle = { sqrt { cosh ^ {2} (t)}}}$ ${ displaystyle = | r '(t) |. ,}$

Použitím výše uvedeného vzorce získáme:

${ Displaystyle f (t) + (pr (t)) {f '(t) nad r' (t)} = t-i + {p- sinh (t) + i (1 + p sinh (t )) over cosh (t)} = t-i + (p + i) {1 + i sinh (t) over cosh (t)}.}$

Li p = −i výraz má konstantní imaginární část (jmenovitě -i) a ruleta je vodorovná čára. Zajímavou aplikací je, že a čtvercové kolo mohl se sklouznout, aniž by se odrazil na silnici, která je uzavřenou sérií řetězových oblouků.

Seznam rulet

Viz také

• Válcování
• Ozubené kolo
• Princip superpozice
• Spirograf
• Tusi pár
• Rosetta (oběžná dráha)

Poznámky

Reference

• W. H. Besant (1890) Poznámky k ruletám a glissetám z Cornell University Historické matematické monografie, původně vydané společností Deighton, Bell & Co.
• Weisstein, Eric W. "Ruleta". MathWorld.

Další čtení

• Ruleta na 2dcurves.com
• Base, rulet et et rulety d'un mouvement plan sur plan (francouzsky)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (v němčině)