Žíravina (matematika) - Caustic (mathematics) - Wikipedia

Reflexní žíravina generovaná z a kruh a paralelní paprsky

v diferenciální geometrie, a žíravý je obálka z paprsky buď odráží nebo lomený podle a potrubí. Souvisí to s konceptem žíravost v geometrická optika. Zdrojem paprsku může být bod (nazývaný zářivý) nebo rovnoběžné paprsky z bodu v nekonečnu, v takovém případě je třeba určit směrový vektor paprsků.

Obecněji, zejména při aplikaci na symplektická geometrie a teorie singularity, žíravina je nastavena kritická hodnota a Lagrangian mapování (π ○ i) : L ↪ M ↠ B; kde i : L ↪ M je Lagrangeovo ponoření a Lagrangian submanifold L do symplektické potrubí M, a π : M ↠ B je Lagrangeova fibrace symplektického potrubí M. Žíravina je a podmnožina Lagrangeovy fibrace je základní prostor B.^[1]

Katakustika

A katakustický je reflexní případ.

S radiantem je to evoluce z ortotomický zářiče.

Případ rovinných paprsků paralelních zdrojů: předpokládejme, že směrový vektor je ${ displaystyle (a, b)}$ a zrcadlová křivka je parametrizována jako ${ displaystyle (u (t), v (t))}$. Normální vektor v bodě je ${ displaystyle (-v '(t), u' (t))}$; odraz směrového vektoru je (normální vyžaduje speciální normalizaci)

${ displaystyle 2 { mbox {proj}} _ {n} dd = { frac {2n} { sqrt {n cdot n}}} { frac {n cdot d} { sqrt {n cdot n}}} - d = 2n { frac {n cdot d} {n cdot n}} - d = { frac {(av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2} , bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2})} {v '^ {2} + u' ^ {2}}}}$

Mít komponenty nalezeného odraženého vektoru s ním zacházet jako s tečnou

${ displaystyle (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) = (yv) (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) .}$

Používání nejjednodušších obálka formulář

${ displaystyle F (x, y, t) = (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - (yv) (av '^ {2} -2bu'v '-au' ^ {2})}$

${ displaystyle = x (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - y (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) + b ( uv '^ {2} -uu' ^ {2} -2vu'v ') + a (-vu' ^ {2} + vv '^ {2} + 2uu'v')}$

${ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = 2x (bu'u '' - a (u'v '' + u''v ') - bv'v' ') - 2y (av'v '-b (u''v' + u'v '') - au'u '')}$

${ displaystyle + b (u'v '^ {2} + 2uv'v' '- u' ^ {3} -2uu'u '' - 2u'v '^ {2} -2u''vv'-2u 'vv') + a (-v'u '^ {2} -2vu'u' '+ v' ^ {3} + 2vv'v '' + 2v'u '^ {2} + 2v''uu '+ 2v'uu' ')}$

což může být neestetické, ale ${ displaystyle F = F_ {t} = 0}$ dává lineární systém v ${ displaystyle (x, y)}$ a tak je základní získat parametrizaci katakustiky. Cramerovo pravidlo bude sloužit.

Příklad

Nechť směrový vektor je (0,1) a zrcadlo ${ displaystyle (t, t ^ {2}).}$Pak

${ displaystyle u '= 1}$   ${ displaystyle u '' = 0}$   ${ displaystyle v '= 2t}$   ${ displaystyle v '' = 2}$   ${ displaystyle a = 0}$   ${ displaystyle b = 1}$

${ displaystyle F (x, y, t) = (x-t) (1-4t ^ {2}) + 4t (y-t ^ {2}) = x (1-4t ^ {2}) + 4ty-t}$

${ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = - 8tx + 4y-1}$

a ${ displaystyle F = F_ {t} = 0}$ má řešení ${ displaystyle (0,1 / 4)}$; tj., světlo vstupující do a parabolický zrcadlo rovnoběžné s jeho osou se odráží ohniskem.

Reference

Viz také

• Cut locus (Riemannian manifold)
• Poslední geometrický výrok Jacobiho
• Nefroidní žíravina

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Žíravý". MathWorld.