Křivka pedálu - Pedal curve

Geometrická konstrukce pedálu C s ohledem na P

The křivka pedálu výsledky z ortogonální projekce pevného bodu na tečny dané křivky. Přesněji řečeno, pro rovinná křivka C a daný fixní bod pedálu P, křivka pedálu z C je místo bodů X takže čára PX je kolmá na a tečna T na křivku procházející bodem X. Naopak v každém okamžiku R na křivce C, nechť T být tečna v tomto bodě R; pak je tu jedinečný bod X na tečnu T který se tvoří s bodem pedálu P čára kolmý k tečně T (pro zvláštní případ, kdy pevný bod P leží na tečně T, body X a P shodovat) - křivka pedálu je množina takových bodů X, nazvaný chodidlo kolmice na tečnu T z pevného bodu P, jako variabilní bod R rozsahy přes křivku C.

Křivku pedálu doplňuje jedinečný bod Y na řádku normální až C na R aby PY je kolmá k normálu, takže PXRY je (pravděpodobně zdegenerovaný) obdélník. Místo bodů Y se nazývá kontrapedální křivka.

The ortotomický křivky je její pedál zvětšený o faktor 2, takže centrum podobnosti je P. Toto je místo odrazu P tečnou přímkou T.

Křivka pedálu je první v řadě křivek C₁, C₂, C₃atd., kde C₁ je pedál C, C₂ je pedál C₁, a tak dále. V tomto schématu C₁ je známý jako první kladný pedál z C, C₂ je druhý kladný pedál z C, a tak dále. Jít opačným směrem, C je první negativní pedál z C₁, druhý negativní pedál z C₂, atd.^[1]

Rovnice

Z karteziánské rovnice

Vzít P být původem. Pro křivku danou rovnicí F(X, y) = 0, pokud rovnice tečna na R=(X₀, y₀) je napsán ve formě

${ displaystyle cos alfa x + sin alfa y = p}$

potom je vektor (cos α, sin α) rovnoběžný se segmentem PXa délka PX, což je vzdálenost od tečny k počátku, je p. Tak X je reprezentován polární souřadnice (p, α) a nahrazení (p, α) od (r, θ) vytváří polární rovnici pro pedálovou křivku.^[2]

Křivka pedálu (červená) elipsa (Černá). Tady A= 2 a b= 1, takže rovnice křivky pedálu je 4X²+ y²=(X²+ y²)²

Například,^[3] pro elipsu

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$

tečná čára v R=(X₀, y₀) je

${ displaystyle { frac {x_ {0} x} {a ^ {2}}} + { frac {y_ {0} y} {b ^ {2}}} = 1}$

a psát to ve výše uvedené formě to vyžaduje

${ displaystyle { frac {x_ {0}} {a ^ {2}}} = { frac { cos alpha} {p}}, , { frac {y_ {0}} {b ^ { 2}}} = { frac { sin alpha} {p}}.}$

Rovnici pro elipsu lze použít k eliminaci X₀ a y₀ dávat

${ displaystyle a ^ {2} cos ^ {2} alpha + b ^ {2} sin ^ {2} alpha = p ^ {2}, ,}$

a převod na (r, θ) dává

${ displaystyle a ^ {2} cos ^ {2} theta + b ^ {2} sin ^ {2} theta = r ^ {2}, ,}$

jako polární rovnice pro pedál. To lze snadno převést na kartézskou rovnici jako

${ displaystyle a ^ {2} x ^ {2} + b ^ {2} y ^ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}. ,}$

Z polární rovnice

Pro P původ a C uvedeny v polární souřadnice podle r = F(θ). Nechat R=(r, θ) být bodem na křivce a nechat X=(p, α) být odpovídajícím bodem na křivce pedálu. Nechť ψ označuje úhel mezi tečnou čárou a vektorem poloměru, někdy známý jako polární tangenciální úhel. Je to dáno

${ displaystyle r = { frac {dr} {d theta}} tan psi.}$

Pak

${ displaystyle p = r sin psi}$

a

${ displaystyle alpha = theta + psi - { frac { pi} {2}}.}$

Tyto rovnice lze použít k vytvoření rovnice v p a α, které po překladu do r a θ dává polární rovnici pro pedálovou křivku.^[4]

Například,^[5] nechť křivka je kruh daný r = A cos θ. Pak

${ displaystyle a cos theta = -a sin theta tan psi}$

tak

${ displaystyle tan psi = - cot theta, , psi = { frac { pi} {2}} + theta, alpha = 2 theta.}$

Taky

${ displaystyle p = r sin psi = r cos theta = a cos ^ {2} theta = a cos ^ {2} { alfa nad 2}.}$

Polární rovnice pedálu tedy je

${ displaystyle r = a cos ^ {2} { theta nad 2}.}$

Z rovnice pedálu

The pedálové rovnice křivky a její pedál spolu úzce souvisí. Li P je považován za bod pedálu a počátek, pak lze ukázat, že úhel ψ mezi křivkou a poloměrem vektoru v bodě R se rovná odpovídajícímu úhlu pro křivku pedálu v bodě X. Li p je délka kolmice nakreslené z P k tečně křivky (tj. PX) a q je délka odpovídající kolmice nakreslené z P k dotyčnici k pedálu, poté podobnými trojúhelníky

${ displaystyle { frac {p} {r}} = { frac {q} {p}}.}$

Z toho okamžitě vyplývá, že pokud je rovnice křivky pedálu F(p,r) = 0, pak je rovnice pedálu pro křivku pedálu^[6]

${ displaystyle f (r, { frac {r ^ {2}} {p}}) = 0}$

Z toho lze snadno vypočítat všechny kladné a záporné pedály, pokud je známa rovnice pedálu křivky.

Z parametrických rovnic

Contrapedal stejné elipsy

Pedál evoluce elipsy: stejný jako kontrapedál původní elipsy

Nechat${ displaystyle { vec {v}} = P-R}$být vektorem pro R na P a piš

${ displaystyle { vec {v}} = { vec {v}} _ { paralelní} + { vec {v}} _ { perp}}$,

the tangenciální a normální součásti z ${ displaystyle { vec {v}}}$ s ohledem na křivku ${ displaystyle { vec {v}} _ { paralelní}}$ je vektor z R na X ze kterého je pozice X lze vypočítat.

Konkrétně pokud C je parametrizace křivky

${ displaystyle t mapsto c (t) + {c '(t) cdot (P-c (t)) over | c' (t) | ^ {2}} c '(t)}$

parametrizuje křivku pedálu (bez ohledu na to, kde C' je nula nebo nedefinováno).

U parametricky definované křivky je její pedálová křivka s bodem pedálu (0; 0) definována jako

${ displaystyle X [x, y] = { frac {(xy'-yx ') y'} {x '^ {2} + y' ^ {2}}}}$

${ displaystyle Y [x, y] = { frac {(yx'-xy ') x'} {x '^ {2} + y' ^ {2}}}.}$

Kontrapedální křivka je dána vztahem:

${ displaystyle t mapsto P- {c '(t) cdot (P-c (t)) nad | c' (t) | ^ {2}} c '(t)}$

Se stejným bodem pedálu je kontrapedální křivka pedálovou křivkou evoluce dané křivky.

Geometrické vlastnosti

Vezměte v úvahu pravý úhel, který se pohybuje pevně tak, aby jedna noha zůstala v bodě P a druhá noha je tečná ke křivce. Pak je vrchol tohoto úhlu X a sleduje křivku pedálu. Jak se úhel pohybuje, jeho směr pohybu je P je paralelní s PX a jeho směr pohybu v R je rovnoběžná s tečnou T = RX. Proto okamžitý střed otáčení je průsečík přímky kolmé na PX na P a kolmo na RX na R, a tento bod je Y. Pokud následuje, že tečna k pedálu v X je kolmá na XY.

Nakreslete kruh s průměrem PR, pak to ohraničuje obdélník PXRY a XY je jiný průměr. Kruh a pedál jsou oba kolmé XY takže jsou tečny v X. Proto je pedál obálka kruhů s průměry PR kde R leží na křivce.

Linie YR je normální ke křivce a obálka takových normálů je jeho evoluce. Proto, YR je tečna k evoluci a bodu Y je noha kolmice od P jinými slovy k této tečně Y je na pedálu evoluce. Z toho vyplývá, že kontrapedál křivky je pedálem jeho evoluce.

Nechat C' být křivka získaná zmenšením C o faktor 2 směrem k P. Pak bod R ' souhlasí s R je střed obdélníku PXRYa tečna k C' na R ' půlí tento obdélník rovnoběžně s PY a XR. Paprsek světla vycházející z P a odráží se C' na R ' pak projde Y. Odražený paprsek, když je vysunut, je čára XY který je kolmý k pedálu C. Obálka čar kolmých na pedál je pak obálkou odražených paprsků nebo katakustický z C'. To dokazuje, že katakustika křivky je evolucí její ortotomické.

Jak již bylo uvedeno dříve, kruh s průměrem PR je tečna k pedálu. Střed tohoto kruhu je R ' který sleduje křivku C'.

Nechat D ′ být křivka shodná s C' a nechte D ′ rolovat bez sklouznutí, jako v definici a ruleta, na C' aby D ′ je vždy odrazem C' vzhledem k přímce, ke které se navzájem dotýkají. Když se pak křivky dotknou R ' bod odpovídající P v pohybující se rovině je XRuleta je tedy křivka pedálu. Ekvivalentně je ortotomická křivka ruleta křivky na jejím zrcadlovém obrazu.

Příklad

Limaçon - křivka pedálu a kruh

Když C je kruh z výše uvedené diskuse ukazuje, že následující definice a Limaçon jsou ekvivalentní:

• Je to pedál kruhu.
• Je to obálka kruhů, jejichž průměry mají jeden koncový bod na pevném bodě a druhý koncový bod, který následuje po kružnici.
• Je to obálka kruhů procházejícím pevným bodem, jehož středy sledují kruh.
• To je ruleta tvořený kruhem, který se valí kolem kruhu se stejným poloměrem.

Ukázali jsme také, že katakustika kruhu je evolucí limaçonu.

Pedály konkrétních křivek

Pedály některých konkrétních křivek jsou:^[7]

Křivka	Rovnice	Bod pedálu	Křivka pedálu
Kruh		Bod na obvodu	Kardioidní
Kruh		Jakýkoli bod	Limaçon
Parabola		Soustředit se	Tečná čára na vrcholu
Parabola		Vrchol	Cissoid of Diocles
Deltoidní		Centrum	Trifolium
Centrální kuželovitý tvar		Soustředit se	Pomocný kruh
Centrální kuželovitý tvar	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} pm { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	Centrum	${ displaystyle {a ^ {2}} cos ^ {2} theta pm {b ^ {2}} sin ^ {2} theta = r ^ {2}}$ (A hroch )
Obdélníková hyperbola		Centrum	Lemniscate z Bernoulli
Logaritmická spirála		Pól	Logaritmická spirála
Sinusová spirála	${ displaystyle r ^ {n} = a ^ {n} cos n theta}$	Pól	${ displaystyle r ^ { tfrac {n} {n + 1}} = a ^ { tfrac {n} {n + 1}} cos { tfrac {n} {n + 1}} theta}$ (další sinusová spirála)

Viz také

• Seznam křivek

Reference

Poznámky

Zdroje

Další čtení

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Křivka pedálu". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Contrapedal Curve“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Ortotomický". MathWorld.