v geometrie, a strophoid je křivka generovaná z dané křivky C a body A (dále jen pevný bod) a Ó (dále jen pól) takto: Let L být proměnná linie procházející skrz Ó a protínající se C na K.. Teď nech P1 a P2 být dva body na L jejichž vzdálenost od K. je stejná jako vzdálenost od A na K.. The místo takových bodů P1 a P2 je pak strophoid C vzhledem k pólu Ó a pevný bod A. Všimněte si, že AP1 a AP2 jsou v této konstrukci v pravém úhlu.
Ve zvláštním případě, kdy C je čára, A leží na C, a Ó není zapnuto C, pak se křivka nazývá an šikmý strophoid. Pokud navíc OA je kolmá na C pak se křivka nazývá a pravý strophoid, nebo jednoduše strophoid od některých autorů. Pravý strophoid se také nazývá logocyklická křivka nebo listovitý.
Nechte křivku C být dán , kde se má brát původ Ó. Nechat A být bodem (A, b). Li je bod na křivce, ve které je vzdálenost K. na A je
.
Body na řádku OK mít polární úhel a body ve vzdálenosti d z K. na tomto řádku jsou vzdálenost od původu. Proto je rovnice strophoidu dána vztahem
Kartézské souřadnice
Nechat C být parametricky dán (X(t), y(t)). Nechat A být bod (a, b) a nechat Ó být bodem (str, q). Potom přímou aplikací polárního vzorce je strophoid parametricky dán:
,
kde
.
Alternativní polární vzorec
Složitost výše uvedených vzorců omezuje jejich užitečnost v konkrétních případech. Existuje alternativní forma, jejíž použití je někdy jednodušší. To je zvláště užitečné, když C je sectrix of Maclaurin s póly Ó a A.
Nechat Ó být původem a A být bodem (A, 0). Nechat K. být bodem na křivce, úhel mezi OK a osa x a úhel mezi AK a osa x. Předpokládat lze zadat jako funkci , řekněme . Nechat být úhel v K. tak . Můžeme určit r ve smyslu l pomocí sinusového zákona. Od té doby
.
Nechat P1 a P2 být body na OK to je vzdálenost AK z K., číslování tak a . je rovnoramenný s úhlem vrcholu , takže zbývající úhly, a , jsou . Úhel mezi AP1 a osa x je pak
.
Podobným argumentem nebo pouhým využitím skutečnosti, že AP1 a AP2 jsou v pravém úhlu, úhel mezi AP2 a osa x je pak
.
Polární rovnici pro strophoid lze nyní odvodit z l1 a l2 z výše uvedeného vzorce:
C je sekta Maclaurin s póly Ó a A když l je ve formě , v tom případě l1 a l2 bude mít stejnou formu, takže strophoid je buď další sectrix Maclaurin nebo pár takových křivek. V tomto případě existuje také jednoduchá polární rovnice pro polární rovnici, pokud je počátek posunut doprava o A.
Specifické případy
Šikmé strophoidy
Nechat C být linií A. Poté, ve výše uvedené notaci, kde je konstanta. Pak a . Polární rovnice výsledného strophoidu, nazývaného šikmý strphoid, s počátkem v Ó jsou tedy
a
.
Je snadné zkontrolovat, zda tyto rovnice popisují stejnou křivku.
Přesunutí původu na A (opět viz Sectrix of Maclaurin ) a nahrazení -A s A vyrábí
,
a otáčí se o zase produkuje
.
V pravoúhlých souřadnicích, se změnou konstantních parametrů, to je
.
Jedná se o kubickou křivku a výrazem v polárních souřadnicích je racionální. Má to crunode na (0, 0) a řádek y=b je asymptot.
Pravý strophoid
Pravý strophoid
Uvedení v
dává
.
Tomu se říká pravý strophoid a odpovídá případu, kdy C je y-osa, A je původ a Ó je bod (A,0).
Křivka se podobá Folium Descartes[1] a čára X = −A je asymptota do dvou větví. Křivka má další dva asymptoty, v rovině se složitými souřadnicemi, dané
.
Kruhy
Nechat C být kruhem Ó a A, kde Ó je původ a A je bod (A, 0). Poté ve výše uvedené notaci kde je konstanta. Pak a . Polární rovnice výsledného strophoidu, nazývaného šikmý strophoid, s počátkem v Ó jsou tedy
a
.
Jedná se o rovnice dvou kruhů, které také procházejí Ó a A a tvoří úhly s C v těchto bodech.