Obálka (matematika) - Envelope (mathematics)

Konstrukce obálky rodiny křivek.

v geometrie, an obálka rovinného rodina křivek je křivka to je tečna každému členu rodiny v určitém okamžiku, a tyto body tečnosti společně tvoří celou obálku. Klasicky lze bod na obálce považovat za průsečík dvou "nekonečně sousední "křivky, což znamená omezit křižovatek blízkých křivek. Tato myšlenka může být zobecněný na obálku povrchy ve vesmíru atd. do vyšších dimenzí.

Chcete-li mít obálku, je nutné, aby jednotliví členové rodiny křivek byli diferencovatelné křivky protože koncept tečnosti jinak neplatí a musí existovat a hladký přechod probíhá prostřednictvím členů. Tyto podmínky však nejsou dostatečné - daná rodina nemusí mít obálku. Jednoduchý příklad toho je rodina soustředných kruhů s rozšiřujícím se poloměrem.

Obálka rodiny křivek

Nechte každou křivku C_t v rodině se dá jako řešení rovnice F_t(X, y) = 0 (viz implicitní křivka ), kde t je parametr. Psát si F(t, X, y)=F_t(X, y) a předpokládejme F je rozlišitelný.

Obálka rodiny C_t je pak definována jako množina ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ bodů (X,y) pro které současně

${ displaystyle F (t, x, y) = 0 ~~ { mathsf {a}} ~~ { částečné F přes částečné t} (t, x, y) = 0}$

pro určitou hodnotu t,kde ${ displaystyle částečné F / částečné t}$ je parciální derivace z F s ohledem na t.^[1]

Li t a u, t≠u jsou dvě hodnoty parametru, pak průsečík křivek C_t a C_u darováno

${ displaystyle F (t, x, y) = F (u, x, y) = 0 ,}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle F (t, x, y) = 0 ~~ { mathsf {and}} ~~ { frac {F (u, x, y) -F (t, x, y)} {ut}} = 0.}$

Nechat u → t dává definici výše.

Důležitým zvláštním případem je kdy F(t, X, y) je polynom v t. To zahrnuje, tím, že zúčtovací jmenovatelé, případ kde F(t, X, y) je racionální funkce v t. V tomto případě definice činí t být dvojitým kořenem F(t, X, y), takže rovnici obálky lze najít nastavením diskriminující z F na 0 (protože definice vyžaduje F = 0 u nějakého t a první derivace = 0, tj. jeho hodnota 0 a při tom t je min / max).

Například pojďme C_t být řádek, jehož X a y odposlechy jsou t a 11−t, to je ukázáno v animaci výše. Rovnice C_t je

${ displaystyle { frac {x} {t}} + { frac {y} {11-t}} = 1}$

nebo, čištění frakcí,

${ displaystyle x (11-t) + yt-t (11-t) = t ^ {2} + (- x + y-11) t + 11x = 0. ,}$

Rovnice obálky je pak

${ displaystyle (-x + y-11) ^ {2} -44x = (x-y) ^ {2} -22 (x + y) + 121 = 0. ,}$

Často, když F není racionální funkcí parametru, může být v tomto případě redukována vhodnou substitucí. Například pokud je rodina dána C_θ s rovnicí tvaru u(X, y) cosθ +proti(X, y) sinθ =w(X, y), pak uvedení t=E^iθ, cosθ = (t+1/t) / 2, sinθ = (t-1/t)/2i změní rovnici křivky na

${ displaystyle u {1 nad 2} (t + {1 nad t}) + v {1 nad 2i} (t- {1 nad t}) = w}$

nebo

${ displaystyle (u-iv) t ^ {2} -2wt + (u + iv) = 0. ,}$

Rovnice obálky je pak dána nastavením diskriminátoru na 0:

${ displaystyle (u-iv) (u + iv) -w ^ {2} = 0 ,}$

nebo

${ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} = w ^ {2}. ,}$

Alternativní definice

1. Obálka E₁ je limit křižovatek blízkých křivek C_t.
2. Obálka E₂ je křivka tečná ke všem C_t.
3. Obálka E₃ je hranice oblasti vyplněné křivkami C_t.

Pak ${ displaystyle E_ {1} subseteq { mathcal {D}}}$, ${ displaystyle E_ {2} subseteq { mathcal {D}}}$ a ${ displaystyle E_ {3} subseteq { mathcal {D}}}$, kde ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ je sada bodů definovaná na začátku nadřazené sekce této podsekce.

Příklady

Příklad 1

Tyto definice E₁, E₂, a E₃ obálky mohou být různé sady. Zvažte například křivku y = X³ parametrizováno γ: R → R² kde γ (t) = (t,t³). Jednoparametrická rodina křivek bude dána tečnami k γ.

Nejprve spočítáme diskriminační ${ displaystyle { mathcal {D}}}$. Generující funkce je

${ displaystyle F (t, (x, y)) = 3t ^ {2} x-y-2t ^ {3}.}$

Výpočet parciální derivace F_t = 6t(X – t). Z toho vyplývá, že buď X = t nebo t = 0. Nejprve to předpokládej X = t a t ≠ 0. Dosazení do F: ${ displaystyle F (t, (t, y)) = t ^ {3} -y ,}$a tak, za předpokladu, že t ≠ 0, z toho vyplývá F = F_t = 0 kdyby a jen kdyby (X,y) = (t,t³). Dále za předpokladu, že t = 0 a dosazení do F dává F(0,(X,y)) = −y. Takže za předpokladu t = 0, z toho vyplývá, že F = F_t = 0 kdyby a jen kdyby y = 0. Diskriminantem je tedy původní křivka a její tečna v γ (0):

${ displaystyle { mathcal {D}} = {(x, y) v mathbb {R} ^ {2}: y = x ^ {3} } pohár {(x, y) v mathbb {R} ^ {2}: y = 0 } .}$

Dále počítáme E₁. Jedna křivka je dána vztahem F(t,(X,y)) = 0 a blízká křivka je dána vztahem F(t + ε, (X,y)) kde ε je nějaké velmi malé číslo. Průsečík pochází z pohledu na hranici F(t,(X,y)) = F(t + ε, (X,y)) protože ε má sklon k nule. Všimněte si toho F(t,(X,y)) = F(t + ε, (X,y)) kdyby a jen kdyby

${ displaystyle L: = F (t, (x, y)) - F (t + varepsilon, (x, y)) = 2 varepsilon ^ {3} +6 varepsilon t ^ {2} +6 varepsilon ^ {2} t- (3 varepsilon ^ {2} +6 varepsilon t) x = 0.}$

Li t ≠ 0 pak L má pouze jediný faktor ε. Za předpokladu, že t ≠ 0 pak je průnik dán

${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0} { frac {1} { varepsilon}} L = 6t (t-x) .}$

Od té doby t ≠ 0 z toho vyplývá, že X = t. The y hodnota se vypočítá s vědomím, že tento bod musí ležet na tečné přímce k původní křivce γ: to F(t,(X,y)) = 0. Nahrazování a řešení dává y = t³. Když t = 0, L je dělitelné ε². Za předpokladu, že t = 0 pak je průnik dán

${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0} { frac {1} { varepsilon ^ {2}}} L = 3x .}$

Z toho vyplývá, že X = 0a to věděl F(t,(X,y)) = 0 dává y = 0. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle E_ {1} = {(x, y) v mathbb {R} ^ {2}: y = x ^ {3} } .}$

Dále počítáme E₂. Samotná křivka je křivka, která je tečná ke všem svým vlastním tečným čarám. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle E_ {2} = {(x, y) v mathbb {R} ^ {2}: y = x ^ {3} } .}$

Nakonec vypočítáme E₃. Každý bod v rovině má alespoň jednu tečnu k γ procházející skrz, a tak oblast vyplněná tečnami je celá rovina. Hranice E₃ je tedy prázdná množina. Skutečně zvažte bod v rovině, řekněme (X₀,y₀). Tento bod leží na tečné přímce právě tehdy, když existuje a t takhle

${ displaystyle F (t, (x_ {0}, y_ {0})) = 3t ^ {2} x_ {0} -y_ {0} -2t ^ {3} = 0 .}$

Toto je kubický in t a jako takové má alespoň jedno skutečné řešení. Z toho vyplývá, že alespoň jedna tečna k γ musí projít kterýmkoli daným bodem v rovině. Li y > X³ a y > 0 pak každý bod (X,y) má přesně jednu tečnu k γ procházející skrz. Totéž platí, pokud y < X³ y < 0. Li y < X³ a y > 0 pak každý bod (X,y) má přesně tři odlišné tečny k γ procházející skrz. Totéž platí, pokud y > X³ a y < 0. Li y = X³ a y ≠ 0 pak každý bod (X,y) má přesně dvě tečny k γ procházející skrz (to odpovídá kubiku, který má jeden obyčejný kořen a jeden opakovaný kořen). Totéž platí, pokud y ≠ X³ a y = 0. Li y = X³ a X = 0, tj., X = y = 0, pak tento bod má jedinou tečnu k γ procházející skrz (to odpovídá kubiku, který má jeden skutečný kořen multiplicity 3). Z toho vyplývá, že

${ displaystyle E_ {3} = varnothing.}$

Příklad 2

Tento graf udává obálku rodiny linií spojujících body (t,0), (0,k - t), ve kterém k má hodnotu 1.

v strunné umění je běžné křížově spojit dva řádky rovnoměrně rozmístěných kolíků. Jaká křivka se tvoří?

Pro jednoduchost nasaďte kolíky na X- a y-sekery; ne-ortogonální rozložení je a otáčení a škálování pryč. Obecný přímý závit spojuje dva body (0, k−t) a (t, 0), kde k je libovolná konstanta škálování a rodina řádků je generována změnou parametru t. Z jednoduché geometrie je rovnice této přímky y = −(k − t)X/t + k − t. Přeskupení a odlévání ve formě F(X,y,t) = 0 dává:

${ displaystyle F (x, y, t) = - { frac {kx} {t}} - t + x + k-y = 0 ,}$

(1)

Nyní rozlišujte F(X,y,t) s ohledem na t a nastavte výsledek rovný nule, abyste dostali

${ displaystyle { frac { částečné F (x, y, t)} { částečné t}} = { frac {kx} {t ^ {2}}} - 1 = 0 ,}$

(2)

Tyto dvě rovnice společně definují rovnici obálky. Od (2) máme:

${ displaystyle t = { sqrt {kx}} ,}$

Nahrazení této hodnoty t do (1) a zjednodušení dává rovnici pro obálku:

${ displaystyle y = ({ sqrt {x}} - { sqrt {k}}) ^ {2} ,}$

(3)

Nebo přeskupení do elegantnější formy, která ukazuje symetrii mezi x a y:

${ displaystyle { sqrt {x}} + { sqrt {y}} = { sqrt {k}}}$

(4)

Můžeme provést rotaci os, kde b osa je čára y = x orientovaný na severovýchod a A osa je čára y = -x orientovaný na jihovýchod. Tyto nové osy se vztahují k původní x-y osy o x = (b + a) /√2 a y = (b-a) /√2 . Po nahrazení do (4) a rozšíření a zjednodušení získáme

${ displaystyle b = { frac {1} {k { sqrt {2}}}} a ^ {2} + { frac {k} {2 { sqrt {2}}}}}$,

(5)

což je zjevně rovnice pro parabolu s osou podél a = 0nebo y = x.

Příklad 3

Nechat Já ⊂ R být otevřený interval a nechat γ: Já → R² být křivka hladké roviny parametrizovaná pomocí délka oblouku. Uvažujme jednoparametrovou rodinu normálových čar k γ (Já). Přímka je kolmá na γ v γ (t) pokud prochází γ (t) a je kolmá na tečný vektor na γ při γ (t). Nechat T označit jednotkový tečný vektor k γ a nechat N označte jednotku normální vektor. Pomocí tečky označujeme Tečkovaný produkt, generující rodina pro jednoparametrovou rodinu normálních linek je dána vztahem F : Já × R² → R kde

${ displaystyle F (t, { mathbf {x}}) = ({ mathbf {x}} - gamma (t)) cdot { mathbf {T}} (t) .}$

Jasně (X - γ) ·T = 0 právě a jen pokud X - γ je kolmá na T, nebo ekvivalentně, právě když X - γ je paralelní na N, nebo ekvivalentně, pokud a pouze pokud X = γ + λN pro některé λ ∈ R. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle L_ {t_ {0}}: = {{ mathbf {x}} in mathbb {R} ^ {2}: F (t_ {0}, { mathbf {x}}) = 0 }}$

je přesně normální čára k γ v γ (t₀). Najít diskriminační osobu F musíme vypočítat jeho parciální derivaci s ohledem na t:

${ displaystyle { frac { částečné F} { částečné t}} (t, { mathbf {x}}) = kappa (t) ({ mathbf {x}} - gamma (t)) cdot { mathbf {N}} (t) -1 ,}$

kde κ je zakřivení rovinné křivky γ. Bylo to vidět F = 0, pokud a pouze pokud X - γ = λN pro některé λ ∈ R. Za předpokladu, že F = 0 dává

${ displaystyle { frac { částečné F} { částečné t}} = lambda kappa (t) -1 .}$

Za předpokladu, že κ ≠ 0 vyplývá, že λ = 1 / κ a tak dále

${ displaystyle { mathcal {D}} = gamma (t) + { frac {1} { kappa (t)}} { mathbf {N}} (t) .}$

To je přesně to evoluce křivky γ.

Příklad 4

An astroid jako obálka rodiny linií spojujících body (s,0), (0,t) s s² + t² = 1

Následující příklad ukazuje, že v některých případech lze obálku rodiny křivek považovat za topologickou hranici sjednocení množin, jejíž hranice jsou křivky obálky. Pro ${ displaystyle s> 0}$ a ${ displaystyle t> 0}$ uvažujme (otevřený) pravý trojúhelník v kartézské rovině s vrcholy ${ displaystyle (0,0)}$, ${ displaystyle (s, 0)}$ a ${ displaystyle (0, t)}$

${ displaystyle T_ {s, t}: = left {(x, y) in mathbb {R} _ {+} ^ {2}: { frac {x} {s}} + { frac {y} {t}} <1 vpravo }.}$

Opravte exponent ${ displaystyle alpha> 0}$, a zvažte spojení všech trojúhelníků ${ displaystyle T_ {s, t}}$ podléhá omezením ${ displaystyle textstyle s ^ { alpha} + t ^ { alpha} = 1}$, to je otevřená množina

${ displaystyle Delta _ { alpha}: = bigcup _ {s ^ { alpha} + t ^ { alpha} = 1} T_ {s, t}.}$

Chcete-li napsat kartézskou reprezentaci pro ${ displaystyle textstyle Delta _ { alpha}}$, začněte s jakýmkoli ${ displaystyle textstyle s> 0}$, ${ displaystyle textstyle t> 0}$ uspokojující ${ displaystyle textstyle s ^ { alpha} + t ^ { alpha} = 1}$ a jakékoli ${ displaystyle textstyle (x, y) v mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$. The Hölderova nerovnost v ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ s ohledem na konjugované exponenty ${ displaystyle p: = 1 + { frac {1} { alpha}}}$ a ${ displaystyle textstyle q: = {1+ alpha}}$ dává:

${ displaystyle x ^ { frac { alpha} { alpha +1}} + y ^ { frac { alpha} { alpha +1}} leq left ({ frac {x} {s} } + { frac {y} {t}} vpravo) ^ { frac { alpha} { alpha +1}} { Big (} s ^ { alpha} + t ^ { alpha} { Velký)} ^ { frac {1} { alpha +1}} = left ({ frac {x} {s}} + { frac {y} {t}} right) ^ { frac { alpha} { alpha +1}}}$,

s rovností právě tehdy ${ displaystyle textstyle s: , t = x ^ { frac {1} {1+ alpha}}: , y ^ { frac {1} {1+ alpha}}}$Pokud jde o spojení množin, druhá nerovnost zní: bod ${ displaystyle (x, y) v mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$ patří do sady ${ displaystyle textstyle Delta _ { alpha}}$, to znamená, že k některým patří ${ displaystyle textstyle T_ {s, t}}$ s ${ displaystyle textstyle s ^ { alpha} + t ^ { alpha} = 1}$pouze tehdy, pokud to vyhovuje

${ displaystyle x ^ { frac { alpha} { alpha +1}} + y ^ { frac { alpha} { alpha +1}} <1.}$

Navíc hranice v ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$ sady ${ displaystyle textstyle Delta _ { alpha}}$ je obálka odpovídající rodiny úseček

${ displaystyle left {(x, y) in mathbb {R} _ {+} ^ {2}: { frac {x} {s}} + { frac {y} {t}} = 1 right } , qquad s ^ { alpha} + t ^ { alpha} = 1}$

(tj. přepony trojúhelníků) a má kartézskou rovnici

${ displaystyle x ^ { frac { alpha} { alpha +1}} + y ^ { frac { alpha} { alpha +1}} = 1.}$

Všimněte si, že zejména hodnota ${ displaystyle alpha = 1}$ dává oblouk paraboly z příkladu 1 a hodnotu ${ displaystyle alpha = 2}$ (což znamená, že všechny přepony jsou segmenty o jednotkové délce) dává astroid.

Příklad 5

Obálka drah projektilů (s konstantní počáteční rychlostí) je konkávní parabola. Počáteční rychlost je 10 m / s. Bereme G = 10 m / s².

Zvažujeme následující příklad obálky v pohybu. Předpokládejme, že při počáteční výšce 0 vrhá a projektil do vzduchu s konstantní počáteční rychlostí proti ale různé elevační úhly θ. Nechat X být vodorovná osa v pohybové ploše a nechat y označte svislou osu. Potom pohyb dává následující rozdíl dynamický systém:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = - g, ; { frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = 0, }$

který uspokojí čtyři počáteční podmínky:

${ displaystyle { frac {dx} {dt}} { bigg |} _ {t = 0} = v cos theta, ; { frac {dy} {dt}} { bigg |} _ { t = 0} = v sin theta, ; x { bigg |} _ {t = 0} = y { bigg |} _ {t = 0} = 0.}$

Tady t označuje čas pohybu, θ je elevační úhel, G označuje gravitační zrychlení, a proti je konstantní počáteční rychlost (ne rychlost ). Řešení výše uvedeného systému může trvat implicitní forma:

${ displaystyle F (x, y, theta) = x tan theta - { frac {gx ^ {2}} {2v ^ {2} cos ^ {2} theta}} - y = 0. }$

Chcete-li najít rovnici obálky, můžete vypočítat požadovanou derivaci:

${ displaystyle { frac { částečné F} { částečné theta}} = { frac {x} { cos ^ {2} theta}} - { frac {gx ^ {2} tan theta } {v ^ {2} cos ^ {2} theta}} = 0.}$

Vyloučením θ lze dosáhnout následující rovnice obálky:

${ displaystyle y = { frac {v ^ {2}} {2g}} - { frac {g} {2v ^ {2}}} x ^ {2}.}$

Je zřejmé, že výsledná obálka je také a konkávní parabola.

Obálka rodiny povrchů

A jednoparametrická rodina povrchů v trojrozměrném euklidovském prostoru je dána množinou rovnic

${ displaystyle F (x, y, z, a) = 0}$

v závislosti na skutečném parametru A.^[2] Například tečná rovina k povrchu podél křivky v ploše tvoří takovou rodinu.

Dva povrchy odpovídající různým hodnotám A a A' protínají ve společné křivce definované

${ displaystyle F (x, y, z, a) = 0, , , {F (x, y, z, a ^ { prime}) - F (x, y, z, a) nad a ^ { prime} -a} = 0.}$

V limitu jako A' přístupy A, má tato křivka sklon ke křivce obsažené v povrchu v A

${ displaystyle F (x, y, z, a) = 0, , , { částečné F nad částečné a} (x, y, z, a) = 0.}$

Tato křivka se nazývá charakteristický rodiny v A. Tak jako A mění místo těchto charakteristických křivek definuje povrch zvaný obálka rodiny povrchů.

Obálka rodiny povrchů je tečná ke každému povrchu v rodině podél charakteristické křivky na tomto povrchu.

Zobecnění

Myšlenka na obálku rodiny hladkých podmanifoldů následuje přirozeně. Obecně platí, že pokud máme rodinu podmanifoldů s codimension C pak musíme mít alespoň a C-parametrická rodina těchto dílčích potrubí. Například: jednoparametrická rodina křivek ve třech mezerách (C = 2) obecně nemá obálku.

Aplikace

Obyčejné diferenciální rovnice

Obálky jsou spojeny se studiem obyčejné diferenciální rovnice (ODR), a zejména singulární řešení ODR.^[3] Zvažte například jednoparametrovou rodinu tečných linií k parabole y = X². Ty jsou dány generující rodinou F(t,(X,y)) = t² – 2tx + y. Nastavena nulová úroveň F(t₀,(X,y)) = 0 dává rovnici tečny k parabole v bodě (t₀,t₀²). Rovnice t² – 2tx + y = 0 lze vždy vyřešit y jako funkce X a tak zvažte

${ displaystyle t ^ {2} -2tx + y (x) = 0. }$

Střídání

${ displaystyle t = left ({ frac {dy} {dx}} right) / 2}$

dává ODR

${ displaystyle left ({ frac {dy} {dx}} right) ^ {2} ! ! - 4x { frac {dy} {dx}} + 4y = 0.}$

Nepřekvapivě y = 2tx − t² jsou všechna řešení této ODE. Obálka této jednoparametrické rodiny linek, kterou je parabola y = X², je také řešením této ODE. Další slavný příklad je Clairautova rovnice.

Parciální diferenciální rovnice

Obálky lze použít ke konstrukci složitějších řešení prvního řádu parciální diferenciální rovnice (PDE) od jednodušších.^[4] Nechat F(X,u, Du) = 0 je PDE prvního řádu, kde X je proměnná s hodnotami v otevřené množině Ω ⊂Rⁿ, u je neznámá funkce se skutečnou hodnotou, Du je spád z u, a F je spojitě diferencovatelná funkce, která je v D běžnáu. Předpokládejme to u(X;A) je m-parametrická rodina řešení: to znamená pro každou fixní A ∈ A ⊂ R^m, u(X;A) je řešením diferenciální rovnice. Nové řešení diferenciální rovnice lze sestrojit nejprve řešením (pokud je to možné)

${ displaystyle D_ {a} u (x; a) = 0 ,}$

pro A = φ (X) jako funkce X. Obálka rodiny funkcí {u(·,A)}_A∈A je definováno

${ displaystyle v (x) = u (x; varphi (x)), quad x v Omega,}$

a také řeší diferenciální rovnici (za předpokladu, že existuje jako spojitě diferencovatelná funkce).

Geometricky, graf proti(X) je všude tečna ke grafu nějakého člena rodiny u(X;A). Protože diferenciální rovnice je prvního řádu, staví podmínku pouze na tečnou rovinu grafu, takže jakákoli funkce, která je tečnou k řešení, musí být také řešením. Stejná myšlenka je základem řešení rovnice prvního řádu jako integrálu Monge kužel.^[5] Mongeův kužel je kuželové pole v Rⁿ⁺¹ z (X,u) proměnné vystřižené obálkou tečných mezer k PDE prvního řádu v každém bodě. Řešením PDE je pak obálka kuželového pole.

v Riemannova geometrie, pokud je hladká rodina geodetika skrz bod P v Riemannovo potrubí má tedy obálku P má konjugovaný bod kde jakákoli geodetika rodiny protíná obálku. Totéž platí obecněji v EU variační počet: je-li rodina extrémů funkčním prostřednictvím daného bodu P má obálku, pak bod, kde extrémní protíná obálku, je konjugovaný bod P.

Kaustika

Reflexní žíravina generovaná z a kruh a paralelní paprsky

v geometrická optika, a žíravý je obálka rodiny světelné paprsky. Na tomto obrázku je oblouk kruhu. Světelné paprsky (zobrazené modře) vycházejí ze zdroje v nekonečnu, a tak dorazit paralelně. Když zasáhnou kruhový oblouk, paprsky světla jsou rozptýleny v různých směrech podle zákon odrazu. Když světelný paprsek zasáhne oblouk v určitém bodě, světlo se odráží, jako by se odrazilo od oblouku tečna v tom bodě. Paprsky odraženého světla dávají jednoparametrovou rodinu čar v rovině. Obálkou těchto řádků je reflexní žíravina. Reflexní žíravina bude obecně sestávat z hladký body a obyčejný hrot bodů.

Z hlediska variačního počtu, Fermatův princip (ve své moderní podobě) znamená, že světelné paprsky jsou extrémy délky funkční

${ displaystyle L [ gamma] = int _ {a} ^ {b} | gamma '(t) | , dt}$

mezi hladkými křivkami γ na [A,b] s pevnými koncovými body γ (A) a γ (b). Žíravost určená daným bodem P (na obrázku je bod v nekonečnu) je množina konjugovaných bodů P.^[6]

Huygensův princip

Světlo může procházet anizotropními nehomogenními médii různými rychlostmi v závislosti na směru a výchozí poloze světelného paprsku. Hranice množiny bodů, ke kterým může světlo cestovat z daného bodu q po čase t je známý jako vlna vpředu po čase t, zde označeno Φ_q(t). Skládá se přesně z bodů, ze kterých lze dosáhnout q včas t cestováním rychlostí světla. Huygensův princip tvrdí, že čelní vlna je nastavena Φ_q0(s + t) je obálka rodiny vlnových front Φ_q(s) pro q ∈ Φ_q0(t). Obecněji řečeno q₀ lze nahradit jakoukoli křivkou, povrchem nebo uzavřenou množinou v prostoru.^[7]

Viz také

• Vládl povrch
• Žíravina (matematika)

Reference

externí odkazy

• Obálka (matematika) na Encyklopedie Britannica
• Weisstein, Eric W. "Obálka". MathWorld.
• „Obálka rodiny rovinných křivek“ v MathCurve.