Surjection of Fréchet spaces

Věta o surjection z Fréchetové prostory je důležitá věta, kvůli Stefan Banach,^[1] který charakterizuje, když a spojitý lineární operátor mezi Fréchetovými prostory je surjektivní.

Důležitost této věty souvisí s otevřená věta o mapování, který uvádí, že spojitý lineární surjection mezi Fréchetovými prostory je otevřít mapu. V praxi se často ví, že mají souvislou lineární mapu mezi Fréchetovými prostory, a chce ukázat, že je surjektivní, aby bylo možné pomocí věty o otevřeném mapování odvodit, že jde také o otevřené mapování. Tato věta může pomoci dosáhnout tohoto cíle.

Přípravné práce, definice a notace

Nechat ${ displaystyle L: X až Y}$ být spojitá lineární mapa mezi topologickými vektorovými prostory.

Kontinuální duální prostor ${ displaystyle X}$ je označen ${ displaystyle X ^ {*}.}$

The přemístit z L je mapa ${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} až X ^ {*}}$ definován ${ displaystyle L left (y ^ { prime} right): = y ^ { prime} circ L.}$ Li ${ displaystyle L: X až Y}$ je tedy surjektivní ${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} až X ^ {*}}$ bude injekční, ale konverzace není obecně platná.

Slabá topologie zapnuta ${ displaystyle X}$ (resp. ${ displaystyle X ^ {*}}$ ) je označen ${ displaystyle sigma doleva (X, X ^ {*} doprava)}$ (resp. ${ displaystyle sigma doleva (X ^ {*}, X doprava)}$ ). Sada $X$ obdařen touto topologií je označen ${ displaystyle left (X, sigma left (X, X ^ {*} right) right).}$ Topologie ${ displaystyle sigma doleva (X, X ^ {*} doprava)}$ je nejslabší topologie $X$ vytváření všech lineárních funkcionálů v ${ displaystyle X ^ {*}}$ kontinuální.

Li ${ displaystyle S subseteq Y}$ pak polární z $S$ v $Y$ je označen ${ displaystyle S ^ { circ}.}$

Li ${ displaystyle p: X to mathbb {R}}$ je seminář na $X$ , pak ${ displaystyle X_ {p}}$ bude označovat vektorový prostor $X$ obdařen nejslabšími TVS tvorba topologie $p$ kontinuální.^[1] Sousední základ ${ displaystyle X_ {p}}$ na počátku sestává ze sad ${ displaystyle left {x v X: p (x)$ tak jako $r$ se pohybuje nad kladnými reálnými hodnotami. Li $p$ tehdy není normou ${ displaystyle X_ {p}}$ není Hausdorff a ${ displaystyle operatorname {Ker} p: = left {x v X: p (x) = 0 right }}$ je lineární podprostor o $X$ . Li $p$ je spojitá, pak mapa identity ${ displaystyle operatorname {Id}: X až X_ {p}}$ je spojitý, takže můžeme identifikovat spojitý duální prostor ${ displaystyle X_ {p},}$ ${ displaystyle X_ {p} ^ {*},}$ jako podmnožina ${ displaystyle X ^ {*}}$ prostřednictvím transpozice mapy identity ${ displaystyle {} ^ {t} operatorname {Id}: X_ {p} ^ {*} do X ^ {*},}$ který je injekční.

Teorém^[1] (Banach) — Li ${ displaystyle L: X až Y}$ je tedy spojitá lineární mapa mezi dvěma Fréchetovými prostory ${ displaystyle L: X až Y}$ je surjective právě tehdy, když platí obě následující podmínky:

${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} až X ^ {*}}$ je injekční, a
obraz ${ displaystyle {} ^ {t} L,}$ označeno ${ displaystyle operatorname {Im} {} ^ {t} L,}$ je slabě uzavřen ${ displaystyle X ^ {*}}$ (tj. zavřeno, když ${ displaystyle X ^ {*}}$ je obdařen slabou * topologií).

Rozšíření věty

Teorém^[1] — Li ${ displaystyle L: X až Y}$ je spojitá lineární mapa mezi dvěma Fréchetovými prostory, následující jsou ekvivalentní:

${ displaystyle L: X až Y}$ je surjektivní.
Platí následující dvě podmínky:
1. ${ displaystyle {} ^ {t} L: Y ^ {*} až X ^ {*}}$ je injekční;
2. obraz ${ displaystyle {} ^ {t} L,}$ ${ displaystyle operatorname {Im} {} ^ {t} L,}$ je slabě uzavřen ${ displaystyle X ^ {*}.}$
Pro každý nepřetržitý seminář p na X existuje nepřetržitý seminář q na Y takže platí následující:
1. pro každého ${ displaystyle y v Y}$ nějaké existují ${ displaystyle x v X}$ takhle ${ displaystyle q left (L (x) -y right) = 0}$ ;
2. pro každého ${ displaystyle y ^ { prime} v Y,}$ -li ${ displaystyle {} ^ {t} L vlevo (y ^ { prime} vpravo) v X_ {p} ^ {*}}$ pak ${ displaystyle y ^ { prime} v Y_ {q} ^ {*}.}$
Pro každý nepřetržitý seminář p na X existuje lineární podprostor N z Y takže platí následující:
1. pro každého ${ displaystyle y v Y}$ nějaké existují ${ displaystyle x v X}$ takhle ${ displaystyle L (x) -y v N}$ ;
2. pro každého ${ displaystyle y ^ { prime} v Y ^ {*},}$ -li ${ displaystyle {} ^ {t} L vlevo (y ^ { prime} vpravo) v X_ {p} ^ {*}}$ pak ${ displaystyle y ^ { prime} v N ^ { circ}.}$
Tady je nerostoucí sekvence ${ displaystyle N_ {1} supseteq N_ {2} supseteq N_ {3} supseteq cdots}$ ${ displaystyle N_ {1} supseteq N_ {2} supseteq N_ {3} supseteq cdots}$ uzavřených lineárních podprostorů Y jehož průsečík se rovná ${ displaystyle {0 }}$ $\{0\}$ a takové, že platí následující:
1. Pro každého ${ displaystyle y v Y}$ a každé kladné celé číslo $k$ , existují nějaké ${ displaystyle x v X}$ takhle ${ displaystyle L (x) -y v N_ {k}}$ ;
2. Pro každý nepřetržitý seminář $p$ na $X$ existuje celé číslo $k$ takový, že jakýkoli ${ displaystyle x v X}$ to uspokojuje ${ displaystyle L (x) v N_ {k}}$ je limit ve smyslu semináře $p$ sekvence ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots}$ v prvcích $X$ takhle ${ displaystyle L (x_ {i}) = 0}$ pro všechny $i$ .

Lemmas

Následující lemata slouží k prokázání vět o surjektivitě Fréchetových prostorů. Jsou užitečné i samy o sobě.

Teorém^[1] — Nechat $X$ být Fréchetovým prostorem a $Z$ být lineárním podprostorem ${ displaystyle X ^ {*}.}$ Následující jsou ekvivalentní:

Z je slabě uzavřen ${ displaystyle X ^ {*}}$ ;
Existuje základ ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ čtvrtí původu $X$ tak, že pro každého ${ displaystyle B v { mathcal {B}},}$ ${ displaystyle B ^ { circ} čepice Z}$ je slabě uzavřený;
Křižovatka $Z$ s každou ekvivalentní podmnožinou $E$ z ${ displaystyle X ^ {*}}$ je relativně uzavřený $E$ (kde ${ displaystyle X ^ {*}}$ je dána slabá topologie vyvolaná $X$ a $E$ je dána topologie podprostoru vyvolaná ${ displaystyle X ^ {*}}$ ).

Teorém^[1] — Na dvojí ${ displaystyle X ^ {*}}$ prostoru Fréchet $X$ , topologie uniformní konvergence na kompaktních konvexních podmnožinách souboru $X$ je totožný s topologií jednotné konvergence na kompaktních podmnožinách souboru $X$ .

Teorém^[1] — Nechat ${ displaystyle L: X až Y}$ být lineární mapa mezi Hausdorff lokálně konvexní TVS, s $X$ také měřitelné. Pokud na mapě ${ displaystyle L: left (X, sigma left (X, X ^ {*} right) right) to left (Y, sigma left (Y, Y ^ {*} right) že jo)}$ je tedy spojitý ${ displaystyle L: X až Y}$ je spojitý (kde $X$ a $Y$ nést jejich původní topologie).

Aplikace

Borelův teorém o expanzích výkonových řad

Teorém^[2] (E. Borel) — Opravte kladné celé číslo $n$ . Li $P$ je libovolná formální mocenská řada v $n$ neurčité s komplexními koeficienty pak existuje a ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}}$ funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {C}}$ jehož Taylorova expanze v počátku je totožná s $P$ .

To znamená, předpokládejme, že pro každého $n$ -tuple nezáporných celých čísel ${ displaystyle p = left (p_ {1}, ldots, p_ {n} right)}$ dostáváme komplexní číslo ${ displaystyle a_ {p}}$ (bez omezení). Pak existuje a ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}}$ funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {C}}$ takhle ${ displaystyle a_ {p} = { frac { částečné f} { částečné x}} { Bigg vert} _ {x = 0}}$ pro každého $n$ -tuple $p$ nezáporných celých čísel.

Lineární parciální diferenciální operátory

Teorém^[3] — Nechat $D$ být lineární parciální diferenciální operátor s ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}}$ koeficienty v otevřené podmnožině ${ displaystyle U subseteq mathbb {R} ^ {n}.}$ Následující jsou ekvivalentní:

Pro každého ${ displaystyle f in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}$ nějaké existují ${ displaystyle u in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}$ takhle ${ displaystyle Du = f.}$
$U$ je $D$ -konvexní a $D$ je semiglobálně řešitelný.

$D$ být semiglobálně řešitelný v $U$ znamená to pro každého relativně kompaktní otevřená podmnožina $PROTI$ z $U$ , platí následující podmínka:

každému

{ displaystyle f in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}

některé jsou

{ displaystyle g in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}

takhle

{ displaystyle Dg = f}

v

PROTI

.

$U$ bytost D-konvexní znamená, že pro každou kompaktní podmnožinu ${ displaystyle K subseteq U}$ a každé celé číslo ${ displaystyle n geq 0,}$ existuje kompaktní podmnožina ${ displaystyle C_ {n}}$ z $U$ tak, že pro každého rozdělení $d$ s kompaktní podporou v $U$ , platí následující podmínka:

-li

{ displaystyle {} ^ {t} Dd}

je v pořádku

{ displaystyle leq n}

a pokud

{ displaystyle operatorname {supp} {} ^ {t} Dd subseteq K,}

pak

{ displaystyle operatorname {supp} d subseteq C_ {n}.}

Viz také

Věta o otevřeném mapování (funkční analýza) - Věta poskytující podmínky pro to, aby spojitá lineární mapa byla otevřenou mapou
Epimorfismus

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Trèves 2006, str. 378-384.
^ Trèves 2006, str. 390.
^ Trèves 2006, str. 392.

Bibliografie

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

[FOOTNOTETrèves2006378-384-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Trèves 2006, str. 378-384.

[FOOTNOTETrèves2006390-2] Trèves 2006, str. 390.

[FOOTNOTETrèves2006392-3] Trèves 2006, str. 392.

[1]

[2]

[3]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki