Objednejte jednotku - Order unit - Wikipedia

An objednat jednotku je prvek uspořádaný vektorový prostor kterým lze svázat všechny prvky shora.^[1] Tímto způsobem (jak je vidět na prvním příklad níže) objednávková jednotka zobecňuje element jednotky v realitách.

Podle H. H. Schaefer „většina uspořádaných vektorových prostorů vyskytujících se v analýze nemá jednotky pořadí.“^[2]

Definice

Pro objednací kužel ${ displaystyle K subseteq X}$ v vektorový prostor ${ displaystyle X}$prvek ${ displaystyle e v K}$ je objednávková jednotka (přesněji ${ displaystyle K}$-objednávková jednotka) pokud pro každou ${ displaystyle x v X}$ existuje a ${ displaystyle lambda _ {x}> 0}$ takhle ${ displaystyle lambda _ {x} e-x v K}$ (tj. ${ displaystyle x leq _ {K} lambda _ {x} e}$).^[3]

Ekvivalentní definice

Objednávkové jednotky objednávacího kuželu ${ displaystyle K subseteq X}$ jsou tyto prvky v algebraický interiér z ${ displaystyle K}$, tj. dané ${ displaystyle operatorname {jádro} (K)}$.^[3]

Příklady

Nechat ${ displaystyle X = mathbb {R}}$ být skutečná čísla a ${ displaystyle K = mathbb {R} _ {+} = {x v mathbb {R}: x geq 0 }}$, pak prvek jednotky ${ displaystyle 1}$ je objednat jednotku.

Nechat ${ displaystyle X = mathbb {R} ^ {n}}$ a ${ displaystyle K = mathbb {R} _ {+} ^ {n} = {x in mathbb {R}: forall i = 1, ldots, n: x_ {i} geq 0 } }$, pak prvek jednotky ${ displaystyle { vec {1}} = (1, ldots, 1)}$ je objednat jednotku.

Každý vnitřní bod kladného kužele objednal TVS je objednávková jednotka.^[2]

Vlastnosti

Každá objednávková jednotka objednaného TVS je uvnitř kladného kuželu pro topologii objednávky.^[2]

Pokud (X, ≤) je předobjednaný vektorový prostor nad reálemi s objednávkovou jednotkou u, pak mapa ${ displaystyle p (x): = inf left {t in mathbb {R}: x leq tu right }}$ je sublearní funkční.^[4]

Norma objednávky jednotky

Předpokládejme (X, ≤) je uspořádaný vektorový prostor nad reálemi s objednávkovou jednotkou u jehož pořadí je Archimedean a nechte U = [-u, u]. Pak Minkowski funkční p_U z U (definován ${ displaystyle p_ {U} (x): = vlevo {r> 0: x v r [-u, u] vpravo }}$) je norma zvaná objednávková jednotka norm. To uspokojuje p_U(u) = 1 a uzavřená jednotková koule určena p_U je rovný [-u, u] (tj. [-u, u] = \{ X v X : p_U(X) ≤ 1 \}.^[4]

Reference

Bibliografie

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.