Jádro (teorie množin) - Kernel (set theory)
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v teorie množin, jádro a funkce F (nebo ekvivalenční jádro[1]) lze považovat za buď
- the vztah ekvivalence na funkci doména který zhruba vyjadřuje myšlenku „ekvivalentu, pokud jde o funkci F moct říci",[2] nebo
- korespondence rozdělit domény.
Definice
Pro formální definici pojďme X a Y být sady a nechte F být funkcí od X na Y.Elementy X1 a X2 z X jsou ekvivalent -li F(X1) a F(X2) jsou rovnat se, tj. jsou stejným prvkem Y.Jádro F je takto definovaný vztah ekvivalence.[2]
Kvocienty
Jako každý vztah ekvivalence může být jádro vyřazen vytvořit a množina kvocientu a množina kvocientů je oddíl:
Tento kvocient je nastaven X /=F se nazývá coimage funkce Fa označil coim F (nebo variace) přirozeně izomorfní (v množinově-teoretickém smyslu a bijekce ) do obraz, im F; konkrétně třída ekvivalence z X v X (což je prvek coim F) odpovídá F(X) v Y (což je prvek im F).
Jako podmnožina náměstí
Jako každý binární relace, jádro funkce lze považovat za podmnožina z kartézský součin X × XV této podobě může být jádro označeno ker F (nebo variace) a mohou být definovány symbolicky jako
- .[2]
Studium vlastností této podskupiny může osvětlit F.
V algebraických strukturách
Li X a Y jsou algebraické struktury nějakého pevného typu (např skupiny, prsteny nebo vektorové prostory ), a pokud je funkce F z X na Y je homomorfismus, pak ker F je kongruenční vztah (to je vztah ekvivalence , který je kompatibilní s algebraickou strukturou), a coimage F je kvocient z X.[2]Bijekce mezi coimage a obrazem F je izomorfismus v algebraickém smyslu; toto je nejobecnější forma první věta o izomorfismu. Viz také Jádro (algebra).
V topologických prostorech
Li X a Y jsou topologické prostory a F je spojitá funkce mezi nimi, pak topologické vlastnosti ker F může osvětlit prostory X a YNapříklad pokud Y je Hausdorffův prostor, pak ker F musí být uzavřená sada Naopak, pokud X je Hausdorffův prostor a ker F je uzavřená množina, pak coimage F, pokud je uveden kvocientový prostor topologie, musí to být také Hausdorffův prostor.
Reference
- ^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra, Nakladatelská společnost Chelsea, str. 33, ISBN 0821816462.
- ^ A b C d Bergman, Clifford (2011), Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics Čistá a aplikovaná matematika, 301, CRC Press, s. 14–16, ISBN 9781439851296.
Zdroje
- Awodey, Steve (2010) [2006]. Teorie kategorie. Oxford Logic Guides. 49 (2. vyd.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.