Biordered sada - Biordered set - Wikipedia
![]() | Tento článek je tón nebo styl nemusí odrážet encyklopedický tón použitý na Wikipedii.Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
A biordered set („boset“) je a matematický objekt který se vyskytuje v popisu struktura sady idempotents v poloskupina. Koncept a terminologii vyvinul K S S Nambooripad na začátku 70. let.[1][2][3]Definující vlastnosti biologicky vázané sady jsou vyjádřeny ve dvou kvaziordery definovaný na množině, a proto název biologicky objednaná množina. Patrick Jordan, student magisterského studia na univerzitě v Sydney, představil tento termín v roce 2002 boset jako zkratka biologicky objednané sady.[4]
Podle Mohana S. Putcha: „Axiomy definující biologicky vázanou množinu jsou poměrně komplikované. Vzhledem k obecné povaze semigroup je však překvapivé, že taková konečná axiomatizace je dokonce možná.“[5] Od zveřejnění původní definice biologicky upravené sady Nambooripad bylo navrženo několik variací v definici. David Easdown zjednodušil definici a formuloval axiomy ve speciální šipkové notaci, kterou vynalezl.[6]
Sada idempotentů v semigroup je biordered sada a každá biordered sada je sada idempotents nějaké semigroup.[3][7]Běžná biorderovaná sada je biorderovaná sada s další vlastností. Sada idempotentů v a pravidelná poloskupina je běžná biologicky upravená množina a každá běžná biologicky vázaná množina je množinou idempotentů nějaké pravidelné poloskupiny.[3]
Definice
Formální definice biologicky značené sady daná Nambooripadem[3] vyžaduje nějaké přípravné zápasy.
Předkola
Li X a Y být sady a ρ⊆ X × Y, nechť ρ ( y ) = { X ∈ X : X ρ y }.
Nechat E být soubor ve kterém a částečný binární operace, označený juxtapozicí, je definován. Li DE je doména částečné binární operace dne E pak DE je vztah na E a (E,F) je v DE jen a jen v případě, že produkt ef existuje v E. Následující vztahy lze definovat v E:
Li T je jakýkoli prohlášení o E zahrnující částečnou binární operaci a výše uvedené vztahy v E, lze definovat zleva doprava dvojí z T označeno T*. Li DE je symetrický pak T* má smysl kdykoli T je.
Formální definice
Sada E se nazývá biorderovaná sada, pokud jde o následující axiomy a jejich duály platí pro libovolné prvky E, F, Gatd. v E.
- (B1) ωr a ωl jsou reflexní a tranzitivní vztahy na E a DE = (ωr ∪ ω l ) ∪ (ωr ∪ ωl )−1.
- (B21) Pokud F je v ωr( E ) pak f R fe ω E.
- (B22) Pokud G ωl F a pokud F a G jsou v ωr ( E ) pak ge ωl fe.
- (B31) Pokud G ωr F a F ωr E pak gf = ( ge )F.
- (B32) Pokud G ωl F a pokud F a G jsou v ωr ( E ) pak ( fg )E = ( fe )( ge ).
v M ( E, F ) = ωl ( E ) ∩ ωr ( F ) (dále jen M-soubor z E a F v tomto pořadí), definujte vztah podle
- .
Pak sada
se nazývá sendvičová sada z E a F v tomto pořadí.
- (B4) Pokud F a G jsou v ωr ( E ) pak S( F, G )E = S ( fe, ge ).
M- biologické sady a pravidelné biologické sady
Říkáme, že biorderovaná sada E je M- biologická sada -li M ( E, F ) ≠ ∅ pro všechny E a F v E. Taky, E se nazývá a běžná biologická sada -li S ( E, F ) ≠ ∅ pro všechny E a F v E.
V roce 2012 to Roman S. Gigoń jednoduše prokázal M- biologické sady vznikají z E-inverzní poloskupiny.[8][je zapotřebí objasnění ]
Podobjekty a morfismy
Biordered podmnožiny
Podmnožina F biordered sady E je biologicky podmnožina (podmnožina) z E -li F je biologicky objednaná sada v rámci částečné binární operace zděděné z E.
Pro všechny E v E množiny ωr ( E ), ωl ( E ) a ω ( E ) jsou biologicky podmnožiny podmnožiny E.[3]
Bimorfismus
Mapování φ: E → F mezi dvěma biologicky vázanými sadami E a F je biologicky upravený množinový homomorfismus (nazývaný také bimorfismus), pokud pro všechny ( E, F ) v DE my máme ( Eφ) ( Fφ) = ( ef ) φ.
Ilustrativní příklady
Příklad vektorového prostoru
Nechat PROTI být vektorový prostor a
- E = { ( A, B ) | PROTI = A ⊕ B }
kde PROTI = A ⊕ B znamená, že A a B jsou podprostory z PROTI a PROTI je interní přímý součet z A a B. Částečná binární operace ⋆ na E definovaná
- ( A, B ) ⋆ ( C, D ) = ( A + ( B ∩ C ), ( B + C ) ∩ D )
dělá E biologicky objednaná sada. Kvaziordery dovnitř E jsou charakterizovány takto:
- ( A, B ) ωr ( C, D ) ⇔ A ⊇ C
- ( A, B ) ωl ( C, D ) ⇔ B ⊆ D
Biordered sada poloskupiny
Sada E idempotentů v poloskupině S se stane biorderovanou sadou, pokud je v ní definována částečná binární operace E jak následuje: ef je definována v E kdyby a jen kdyby ef = E nebo ef= F nebo fe = E nebo fe = F drží se S. Li S je tedy běžná poloskupina E je běžná biologicky vázaná sada.
Jako konkrétní příklad pojďme S být poloskupinou všech mapování X = {1, 2, 3} do sebe. Symbol (abc) označuje mapu, pro kterou 1 → A, 2 → ba 3 → C. Sada E idempotentů v S obsahuje následující prvky:
- (111), (222), (333) (konstantní mapy)
- (122), (133), (121), (323), (113), (223)
- (123) (mapa identity)
Následující tabulka (přebírá složení mapování v pořadí diagramů) popisuje částečnou binární operaci v E. An X v buňce označuje, že odpovídající násobení není definováno.
∗ | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | (121) | (323) | (113) | (223) | (123) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(111) | (111) | (222) | (333) | (111) | (111) | (111) | (333) | (111) | (222) | (111) |
(222) | (111) | (222) | (333) | (222) | (333) | (222) | (222) | (111) | (222) | (222) |
(333) | (111) | (222) | (333) | (222) | (333) | (111) | (333) | (333) | (333) | (333) |
(122) | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | (122) | X | X | X | (122) |
(133) | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | X | X | (133) | X | (133) |
(121) | (111) | (222) | (333) | (121) | X | (121) | (323) | X | X | (121) |
(323) | (111) | (222) | (333) | X | X | (121) | (323) | X | (323) | (323) |
(113) | (111) | (222) | (333) | X | (113) | X | X | (113) | (223) | (113) |
(223) | (111) | (222) | (333) | X | X | X | (223) | (113) | (223) | (223) |
(123) | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | (121) | (323) | (113) | (223) | (123) |
Reference
- ^ Nambooripad, KS S (1973). Struktura pravidelných poloskupin. University of Kerala, Thiruvananthapuram, Indie. ISBN 0-8218-2224-1.
- ^ Nambooripad, KS SS (1975). "Struktura pravidelných poloskupin I. Základní pravidelné poloskupiny". Semigroup Forum. 9 (4): 354–363. doi:10.1007 / BF02194864.
- ^ A b C d E Nambooripad, KS SS (1979). Struktura pravidelných poloskupin - I. Monografie Americké matematické společnosti. 224. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-2224-1.
- ^ Patrick K. Jordan. Na biologicky upravených množinách, včetně alternativního přístupu k základním pravidelným poloskupinám. Diplomová práce, University of Sydney, 2002.
- ^ Putcha, Mohan S (1988). Lineární algebraické monoidy. Série přednášek London Mathematical Society. 133. Cambridge University Press. s. 121–122. ISBN 978-0-521-35809-5.
- ^ Easdown, David (1984). "Biordered sady jsou biordered podmnožiny idempotentů semigroup". Journal of the Australian Mathematical Society, Series A. 32 (2): 258–268.
- ^ Easdown, David (1985). "Biordered sady pocházejí z poloskupin". Journal of Algebra. 96 (2): 581–91. doi:10.1016/0021-8693(85)90028-6.
- ^ Gigoń, Roman (2012). "Některé výsledky na E-inverzivní poloskupiny ". Kvazoskupiny a související systémy." 20: 53-60.