Biordered sada - Biordered set - Wikipedia

Tento článek je tón nebo styl nemusí odrážet encyklopedický tón použitý na Wikipedii. Viz Wikipedia průvodce psaním lepších článků pro návrhy. (Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

A biordered set („boset“) je a matematický objekt který se vyskytuje v popisu struktura sady idempotents v poloskupina. Koncept a terminologii vyvinul K S S Nambooripad na začátku 70. let.^[1][2][3]Definující vlastnosti biologicky vázané sady jsou vyjádřeny ve dvou kvaziordery definovaný na množině, a proto název biologicky objednaná množina. Patrick Jordan, student magisterského studia na univerzitě v Sydney, představil tento termín v roce 2002 boset jako zkratka biologicky objednané sady.^[4]

Podle Mohana S. Putcha: „Axiomy definující biologicky vázanou množinu jsou poměrně komplikované. Vzhledem k obecné povaze semigroup je však překvapivé, že taková konečná axiomatizace je dokonce možná.“^[5] Od zveřejnění původní definice biologicky upravené sady Nambooripad bylo navrženo několik variací v definici. David Easdown zjednodušil definici a formuloval axiomy ve speciální šipkové notaci, kterou vynalezl.^[6]

Sada idempotentů v semigroup je biordered sada a každá biordered sada je sada idempotents nějaké semigroup.^[3][7]Běžná biorderovaná sada je biorderovaná sada s další vlastností. Sada idempotentů v a pravidelná poloskupina je běžná biologicky upravená množina a každá běžná biologicky vázaná množina je množinou idempotentů nějaké pravidelné poloskupiny.^[3]

Definice

Formální definice biologicky značené sady daná Nambooripadem^[3] vyžaduje nějaké přípravné zápasy.

Předkola

Li X a Y být sady a ρ⊆ X × Y, nechť ρ ( y ) = { X ∈ X : X ρ y }.

Nechat E být soubor ve kterém a částečný binární operace, označený juxtapozicí, je definován. Li D_E je doména částečné binární operace dne E pak D_E je vztah na E a (E,F) je v D_E jen a jen v případě, že produkt ef existuje v E. Následující vztahy lze definovat v E:

${ displaystyle omega ^ {r} = {(e, f) ,: , fe = e }}$

${ displaystyle omega ^ {l} = {(e, f) ,: , ef = e }}$

${ displaystyle R = omega ^ {r} , cap , ( omega ^ {r}) ^ {- 1}}$

${ displaystyle L = omega ^ {l} , cap , ( omega ^ {l}) ^ {- 1}}$

${ displaystyle omega = omega ^ {r} , cap , omega ^ {l}}$

Li T je jakýkoli prohlášení o E zahrnující částečnou binární operaci a výše uvedené vztahy v E, lze definovat zleva doprava dvojí z T označeno T*. Li D_E je symetrický pak T* má smysl kdykoli T je.

Formální definice

Sada E se nazývá biorderovaná sada, pokud jde o následující axiomy a jejich duály platí pro libovolné prvky E, F, Gatd. v E.

(B1) ω^r a ω^l jsou reflexní a tranzitivní vztahy na E a D_E = (ω^r ∪ ω ^l ) ∪ (ω^r ∪ ω^l )⁻¹.

(B21) Pokud F je v ω^r( E ) pak f R fe ω E.

(B22) Pokud G ω^l F a pokud F a G jsou v ω^r ( E ) pak ge ω^l fe.

(B31) Pokud G ω^r F a F ω^r E pak gf = ( ge )F.

(B32) Pokud G ω^l F a pokud F a G jsou v ω^r ( E ) pak ( fg )E = ( fe )( ge ).

v M ( E, F ) = ω^l ( E ) ∩ ω^r ( F ) (dále jen M-soubor z E a F v tomto pořadí), definujte vztah ${ displaystyle prec}$ podle

${ Displaystyle g prec h quad Longleftrightarrow quad např. , , omega ^ {r} , , eh ,, , , , gf , , omega ^ {l} , , hf}$.

Pak sada

${ displaystyle S (e, f) = {h v M (e, f): g prec h { text {pro všechny}} g v M (e, f) }}$

se nazývá sendvičová sada z E a F v tomto pořadí.

(B4) Pokud F a G jsou v ω^r ( E ) pak S( F, G )E = S ( fe, ge ).

M- biologické sady a pravidelné biologické sady

Říkáme, že biorderovaná sada E je M- biologická sada -li M ( E, F ) ≠ ∅ pro všechny E a F v E. Taky, E se nazývá a běžná biologická sada -li S ( E, F ) ≠ ∅ pro všechny E a F v E.

V roce 2012 to Roman S. Gigoń jednoduše prokázal M- biologické sady vznikají z E-inverzní poloskupiny.^{[8][je zapotřebí objasnění ]}

Podobjekty a morfismy

Biordered podmnožiny

Podmnožina F biordered sady E je biologicky podmnožina (podmnožina) z E -li F je biologicky objednaná sada v rámci částečné binární operace zděděné z E.

Pro všechny E v E množiny ω^r ( E ), ω^l ( E ) a ω ( E ) jsou biologicky podmnožiny podmnožiny E.^[3]

Bimorfismus

Mapování φ: E → F mezi dvěma biologicky vázanými sadami E a F je biologicky upravený množinový homomorfismus (nazývaný také bimorfismus), pokud pro všechny ( E, F ) v D_E my máme ( Eφ) ( Fφ) = ( ef ) φ.

Ilustrativní příklady

Příklad vektorového prostoru

Nechat PROTI být vektorový prostor a

E = { ( A, B ) | PROTI = A ⊕ B }

kde PROTI = A ⊕ B znamená, že A a B jsou podprostory z PROTI a PROTI je interní přímý součet z A a B. Částečná binární operace ⋆ na E definovaná

( A, B ) ⋆ ( C, D ) = ( A + ( B ∩ C ), ( B + C ) ∩ D )

dělá E biologicky objednaná sada. Kvaziordery dovnitř E jsou charakterizovány takto:

( A, B ) ω^r ( C, D ) ⇔ A ⊇ C

( A, B ) ω^l ( C, D ) ⇔ B ⊆ D

Biordered sada poloskupiny

Sada E idempotentů v poloskupině S se stane biorderovanou sadou, pokud je v ní definována částečná binární operace E jak následuje: ef je definována v E kdyby a jen kdyby ef = E nebo ef= F nebo fe = E nebo fe = F drží se S. Li S je tedy běžná poloskupina E je běžná biologicky vázaná sada.

Jako konkrétní příklad pojďme S být poloskupinou všech mapování X = {1, 2, 3} do sebe. Symbol (abc) označuje mapu, pro kterou 1 → A, 2 → ba 3 → C. Sada E idempotentů v S obsahuje následující prvky:

(111), (222), (333) (konstantní mapy)

(122), (133), (121), (323), (113), (223)

(123) (mapa identity)

Následující tabulka (přebírá složení mapování v pořadí diagramů) popisuje částečnou binární operaci v E. An X v buňce označuje, že odpovídající násobení není definováno.

Reference