Reesova faktorová poloskupina - Rees factor semigroup

v matematika, v teorie poloskupin, a Reesova faktorová poloskupina (také zvaný Reesova kvocientová poloskupina nebo prostě Reesův faktor), pojmenoval podle David Rees, je jisté poloskupina konstruovány pomocí poloskupiny a ideál poloskupiny.

Nechat S být poloskupina a Já být ideálem S. Použitím S a Já lze vytvořit novou poloskupinu sbalením Já do jednoho prvku, zatímco prvky S mimo Já zachovat jejich identitu. Nová takto získaná poloskupina se nazývá Reesova poloskupina z S modulo Já a je označen S/Já.

Koncept Reesovy faktorové poloskupiny představil David Rees v roce 1940.^[1][2]

Formální definice

A podmnožina ${ displaystyle I}$ poloskupiny ${ displaystyle S}$ se nazývá ideál z ${ displaystyle S}$ pokud obojí ${ displaystyle SI}$ a ${ displaystyle JE}$ jsou podmnožiny ${ displaystyle I}$ (kde ${ displaystyle SI = {sx mid s v S { text {a}} x v I }}$, a podobně pro ${ displaystyle JE}$). Nechat ${ displaystyle I}$ být ideálem poloskupiny ${ displaystyle S}$. Vztah ${ displaystyle rho}$ v ${ displaystyle S}$ definován

X ρ y ⇔ buď X = y nebo oboje X a y jsou v Já

je vztah ekvivalence v ${ displaystyle S}$. Třídy rovnocennosti pod ${ displaystyle rho}$ jsou singletonové sady ${ displaystyle {x }}$ s ${ displaystyle x}$ ne v ${ displaystyle I}$ a sada ${ displaystyle I}$. Od té doby ${ displaystyle I}$ je ideál ${ displaystyle S}$vztah ${ displaystyle rho}$ je shoda na ${ displaystyle S}$.^[3] The kvocientová poloskupina ${ displaystyle S / { rho}}$ je, podle definice, Reesova faktorová poloskupina z ${ displaystyle S}$ modulo${ displaystyle I}$. Pro větší pohodlí semigroup ${ Displaystyle S / rho}$ je také označován jako ${ displaystyle S / I}$. Skupina Reesových faktorů^[4] má podkladovou sadu ${ displaystyle (S setminus I) pohár {0 }}$, kde ${ displaystyle 0}$ je nový prvek a produkt (zde označeno ${ displaystyle *}$) je definován

${ displaystyle s * t = { begin {cases} st & { text {if}} s, t, st in S setminus I 0 & { text {jinak}}. end {cases}}}$

Shoda ${ displaystyle rho}$ na ${ displaystyle S}$ jak je definováno výše, nazývá se Reesova shoda na ${ displaystyle S}$ modulo ${ displaystyle I}$.

Příklad

Zvažte poloskupinu S = { A, b, C, d, E } s binární operací definovanou následující tabulkou Cayley:

Nechat Já = { A, d } což je podmnožina S. Od té doby

SI = { aa, ba, ca., da, ea, inzerát, bd, CD, dd, vyd } = { A, d } ⊆ Já

JE = { aa, da, ab, db, ac, DC, inzerát, dd, ae, de } = { A, d } ⊆ Já

sada Já je ideál S. Pologrupa Reesova faktoru z S modulo Já je sada S /Já = { b, C, E, Já } s binární operací definovanou následující tabulkou Cayley:

Ideální rozšíření

Poloskupina S se nazývá ideální rozšíření poloskupiny A poloskupinou B -li A je ideál S a Reesova faktorová poloskupina S /A je izomorfní s B. ^[5]

Některé z případů, které byly rozsáhle studovány, zahrnují: ideální rozšíření zcela jednoduché poloskupiny, a skupina podle a zcela 0-jednoduchá poloskupina, a komutativní poloskupina s zrušení skupinou s přidanou nulou. Obecně je problém s popisem všech ideálních rozšíření poloskupiny stále otevřený.^[6]

Reference

• Lawson, M.V. (1998). Inverzní poloskupiny: teorie parciálních symetrií. World Scientific. ISBN  978-981-02-3316-7.

Tento článek obsahuje materiál od Reesova faktoru PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.