Maximální podskupina - Maximal subgroup

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Maximální podskupina“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, termín maximální podskupina se používá k označení mírně odlišných věcí v různých oblastech algebra.

v teorie skupin, a maximální podskupina H a skupina G je správná podskupina, takže žádná správná podskupina K. obsahuje H přísně. Jinými slovy, H je maximální prvek z částečně objednaná sada správných podskupin G. Zajímavé jsou maximální podskupiny kvůli jejich přímému spojení s primitivní permutační reprezentace z G. Jsou také hodně studovány pro účely teorie konečných grup: viz například Frattini podskupina, průnik maximálních podskupin.

v teorie poloskupin, a maximální podskupina poloskupiny S je podskupina (tj. podskupina, která tvoří skupinu v rámci operace poloskupiny) S který není správně obsažen v jiné podskupině S. Všimněte si, že zde není požadavek, aby byla maximální podskupina správná, takže pokud S je ve skutečnosti skupina, pak její jedinečná maximální podskupina (jako poloskupina) je S sám. Zvažování podskupin, a zejména maximálních podskupin, poloskupin často umožňuje aplikovat v teorii poloskupin techniky skupiny-teoretické.^{[Citace je zapotřebí ]} Existuje vzájemná korespondence idempotentní prvky poloskupiny a maximálních podskupin poloskupiny: každý idempotentní prvek je prvek identity jedinečné maximální podskupiny.

Existence maximální podskupiny

Jakákoli správná podskupina konečné skupiny je obsažena v nějaké maximální podskupině, protože vlastní podskupiny tvoří konečnou částečně objednaná sada v zařazení. Existují však nekonečné abelianské skupiny které neobsahují žádné maximální podskupiny, například Skupina Prüfer.^[1]

Maximální normální podskupina

Podobně, a normální podskupina N z G se říká, že je maximální normální podskupina (nebo maximální správná normální podskupina) o G -li N < G a neexistuje žádná normální podskupina K. z G takhle N < K. < G. Máme následující větu:

Teorém: Normální podskupina N skupiny G je maximální normální podskupina právě tehdy, když kvocient G/N je jednoduchý.

Hasse diagramy

Tyto Hasse diagramy ukaž mřížky podskupin S₄, Dih₄ a Z₂³.
Maximální podskupiny jsou spojeny se samotnou skupinou (v horní části Hasseho diagramu) hranou Hasseho diagramu.

Symetrická skupina S4 Maximální podskupiny jsou A4, tři Dih4 a čtyři S.3 (Srovnej: Podskupiny S4 )

Vzepětí skupina Dih4 Maximální podskupiny jsou Z4 a dva Z22

Z23 Maximálních podskupin je sedm Z22

Reference