Monogenní poloskupina - Monogenic semigroup

Monogenní poloskupina řádu 9 a periody 6. Čísla jsou exponenty generátoru A; šipky označují násobení A.

v matematika, a monogenní poloskupina je poloskupina generované jediným prvkem.^[1] Monogenní poloskupiny se také nazývají cyklické poloskupiny.^[2]

Struktura

Monogenní poloskupina generovaná singletonová sada {A} je označen ${ displaystyle langle a rangle}$. Sada prvků ${ displaystyle langle a rangle}$ je {A, A², A³, ...}. Existují dvě možnosti pro monogenní poloskupinu ${ displaystyle langle a rangle}$:

• A ^m = A ⁿ ⇒ m = n.
• Existují m ≠ n takhle A ^m = A ⁿ.

V prvním případě ${ displaystyle langle a rangle}$ je izomorfní do poloskupiny ({1, 2, ...}, +) z přirozená čísla pod přidání. V takovém případě, ${ displaystyle langle a rangle}$ je nekonečná monogenní poloskupina a prvek A se říká, že má nekonečný řád. Někdy se tomu říká volná monogenní poloskupina protože to je také bezplatná poloskupina s jedním generátorem.

V druhém případě nechte m být nejmenší kladné celé číslo takové, že A ^m = A ^X pro nějaké kladné celé číslo X ≠ ma nechte r být nejmenší kladné celé číslo takové, že A ^m = A ^{m + r}. Kladné celé číslo m se označuje jako index a kladné celé číslo r jako doba monogenní poloskupiny ${ displaystyle langle a rangle}$. The objednat z A je definován jako m+r-1. Období a index splňují následující vlastnosti:

• A ^m = A ^{m + r}
• A ^{m + X} = A ^{m + y} kdyby a jen kdyby m + X ≡ m + y (mod r )
• ${ displaystyle langle a rangle}$ = {A, A², ... , A ^{m + r − 1}}
• K._A = {A^m, A ^{m + 1}, ... , A ^{m + r − 1}} je cyklický podskupina a také ideál z ${ displaystyle langle a rangle}$. Říká se tomu jádro z A a to je minimální ideální monogenní poloskupiny ${ displaystyle langle a rangle}$.^[3][4]

Dvojice ( m, r ) kladných celých čísel určují struktura monogenních poloskupin. Pro každý pár ( m, r ) kladných celých čísel, existuje monogenní poloskupina s indexem m a období r. Monogenní poloskupina s indexem m a období r je označen M ( m, r ). Monogenní poloskupina M ( 1, r ) je cyklická skupina řádu r.

Výsledky v této části vlastně držet pro jakýkoli prvek A libovolné poloskupiny a monogenní podskupiny ${ displaystyle langle a rangle}$ generuje.

Související pojmy

Příbuzný pojem je periodická poloskupina (také zvaný torzní poloskupina), ve kterém má každý prvek konečné pořadí (nebo ekvivalentní, ve kterém je každá mongenní podskupina konečná). Obecnější třída je třída kvazi-periodických semigroupů (alias skupinově vázaných semigroup nebo epigroup ) ve kterém má každý prvek poloskupiny sílu, která leží v podskupině.^[5][6]

An neperiodická poloskupina je takový, ve kterém má každá monogenní podskupina období 1.

Viz také

• Detekce cyklu, problém nalezení parametrů konečné monogenní poloskupiny s využitím omezeného množství úložného prostoru
• Speciální třídy poloskupin

Reference