Poloskupina se dvěma prvky - Semigroup with two elements - Wikipedia

v matematika, a poloskupina se dvěma prvky je poloskupina pro které mohutnost z základní sada jsou dva. Je jich přesně pět odlišný neizomorfní poloskupiny mající dva prvky:

Ó₂, nulová poloskupina řádu dva,
HLE₂ a RO₂, levá nulová poloskupina řádu dva a pravá nulová poloskupina objednávky dva, v uvedeném pořadí
({0,1}, ∧) (kde „∧“ je logické pojivo "a "), nebo ekvivalentně množina {0,1} v násobení: jediná semilattice se dvěma prvky a jedinou nenulovou poloskupinou s nula objednávky dva, také a monoidní a nakonec dvouprvková booleovská algebra,
(Z₂, +₂) (kde Z₂ = {0,1} a "+₂„is“ addition modulo 2 “) nebo ekvivalentně ({0,1}, ⊕) (kde„ ⊕ “je logická spojka“xor "), nebo ekvivalentně množina {−1,1} v násobení: jediná skupina objednávky dva.

Poloskupiny LO₂ a RO₂ jsou antiisomorphic. Ó₂, ({0,1}, ∧) a (Z₂, +₂) jsou komutativní a LO₂ a RO₂ jsou nekomutativní. HLE₂, RO₂ a ({0,1}, ∧) jsou kapel a také inverzní poloskupiny.

Stanovení poloskupin se dvěma prvky

Výběr sady A = { 1, 2 } jako podkladová sada mající dva prvky, šestnáct binární operace lze definovat v A. Tyto operace jsou uvedeny v tabulce níže. V tabulce, a matice formuláře

X	y
z	t

označuje binární operaci zapnutou A s následujícími Cayleyho stůl.

	1	2
1	X	y
2	z	t

Seznam binárních operací v {1, 2}

1	1
1	1

1	1
1	2

1	1
2	1

1	1
2	2

Nulová poloskupina O₂

≡ Poloskupina ({0,1}, ${ displaystyle klín}$ )

2·(1·2) = 2, (2·1)·2 = 1

Levá nulová poloskupina LO₂

1	2
1	1

1	2
1	2

1	2
2	1

1	2
2	2

2·(1·2) = 1, (2·1)·2 = 2

Pravá nulová poloskupina RO₂

≡ Skupina (Z₂, +₂)

≡ Poloskupina ({0,1}, ${ displaystyle klín}$ )

2	1
1	1

2	1
1	2

2	1
2	1

2	1
2	2

1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1

≡ Skupina (Z₂, +₂)

1·(1·1) = 1, (1·1)·1 = 2

1·(2·1) = 1, (1·2)·1 = 2

2	2
1	1

2	2
1	2

2	2
2	1

2	2
2	2

1·(1·1) = 2, (1·1)·1 = 1

1·(2·1) = 2, (1·2)·1 = 1

1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1

Nulová poloskupina O₂

V této tabulce:

Poloskupina ({0,1}, ${ displaystyle klín}$ ) označuje dvouprvkovou poloskupinu obsahující nulový prvek 0 a jednotkový prvek 1. Dvě binární operace definované maticemi na zeleném pozadí jsou asociativní a spárují se buď s A vytvoří poloskupinu isomorfní s poloskupinou ({0,1}, ${ displaystyle klín}$ ). Každý prvek je idempotentní v této poloskupině, takže to je kapela. Dále je komutativní (abelian) a tedy a semilattice. The pořadí vyvolané je lineární pořadí, a tak je to ve skutečnosti a mříž a je to také a distribuční a doplněná mříž, tj. je to vlastně dvouprvková booleovská algebra.
Dvě binární operace definované maticemi na modrém pozadí jsou asociativní a spárují se s A vytvoří poloskupinu isomorfní s nulová poloskupina Ó₂ se dvěma prvky.
Binární operace definovaná maticí na oranžovém pozadí je asociativní a spáruje se s ní A vytvoří poloskupinu. To je levá nulová poloskupina HLE₂. Není to komutativní.
Binární operace definovaná maticí na fialovém pozadí je asociativní a spáruje se s ní A vytvoří poloskupinu. To je pravá nulová poloskupina RO₂. Není to také komutativní.
Dvě binární operace definované maticemi na červeném pozadí jsou asociativní a spárují se s A vytvoří poloskupinu isomorfní s skupina (Z₂, +₂).
Zbývajících osm binární operace definované maticemi na bílém pozadí nejsou asociativní a proto žádný z nich nevytvoří poloskupinu, když je spárován s A.

Dvouprvková poloskupina ({0,1}, ∧)

The Cayleyho stůl pro poloskupinu ({0,1}, ${ displaystyle klín}$ ) je uveden níže:

${ displaystyle klín}$	0	1
0	0	0
1	0	1

Toto je nejjednodušší netriviální příklad poloskupiny, která není skupinou. Tato poloskupina má prvek identity 1, což z ní činí monoidní. Je to také komutativní. Není to skupina, protože prvek 0 nemá inverzní funkci, a není to ani zrušovací poloskupina, protože nemůžeme zrušit 0 v rovnici 1 · 0 = 0 · 0.

Tato poloskupina vzniká v různých kontextech. Například pokud zvolíme 1 jako pravdivostní hodnota "skutečný "a 0 bude pravdivostní hodnota "Nepravdivé "a operace bude logické pojivo "a ", získáváme tuto poloskupinu v logika. Je isomorfní s monoidem {0,1} při násobení. Je také izomorfní s poloskupinou

{ displaystyle S = left {{ begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}, { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} right }}

pod násobení matic.^[1]

Dvouprvková poloskupina (Z₂,+₂)

The Cayleyho stůl pro poloskupinu (Z₂,+₂) je uveden níže:

+₂	0	1
0	0	1
1	1	0

Tato skupina je isomorfní s cyklická skupina Z₂ a symetrická skupina S₂.

Poloskupiny řádu 3

Nechat A být tříprvková množina {1, 2, 3}. Celkem celkem 3⁹ = 19683 lze definovat různé binární operace A. 113 z binárních operací z roku 19683 určuje 24 neisomorfních poloskupin nebo 18 neekvivalentních poloskupin (přičemž ekvivalencí je izomorfismus nebo antiizomorfismus). ^[2] S výjimkou skupina se třemi prvky, každá z nich má jednu (nebo více) z výše uvedených dvouprvkových poloskupin jako podskupin.^[3] Například množina {−1,0,1} v rámci násobení je poloskupinou řádu 3 a obsahuje {0,1} i {−1,1} jako podskupiny.

Konečné poloskupiny vyšších objednávek

Byly vyvinuty algoritmy a počítačové programy pro určování neizomorfních konečných semigroup daného řádu. Ty byly použity k určení neizomorfních semigroup malého řádu.^[3]^[4]^[5] Počet neizomorfních poloskupin s n prvky, pro n nezáporné celé číslo, je uvedeno pod OEIS: A027851 v On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. OEIS: A001423 uvádí počet neekvivalentních poloskupin a OEIS: A023814 počet asociativních binárních operací z celkového počtu n^n², určení poloskupiny.

Viz také

Reference

^ "Poloskupina se dvěma prvky". PlanetMath.
^ Friðrik Diego; Kristín Halla Jónsdóttir (červenec 2008). „Asociativní operace na tříprvkové sadě“ (PDF). Montana Mathematics Enthusiast. 5 (2 & 3): 257–268. Citováno 6. února 2014.
^ ^A ^b Andreas Distler, Klasifikace a výčet konečných poloskupin Archivováno 2. dubna 2015 v Wayback Machine, Disertační práce, University of St. Andrews
^ Siniša Crvenkovič; Ivan Stojmenovic. "Algoritmus pro Cayleyovy tabulky algeber". 23 (2). Univ. u Novom Sadu, Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. Recenze výzkumu, Přírodovědecká fakulta: 221–231. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc) [1] (Přístup 9. května 2009)
^ John A Hildebrant (2001). Příručka programů konečných poloskupin. (Předtisk).[2]

[1] "Poloskupina se dvěma prvky". PlanetMath.

[2] Friðrik Diego; Kristín Halla Jónsdóttir (červenec 2008). „Asociativní operace na tříprvkové sadě“ (PDF). Montana Mathematics Enthusiast. 5 (2 & 3): 257–268. Citováno 6. února 2014.

[distler-3] A ^b Andreas Distler, Klasifikace a výčet konečných poloskupin Archivováno 2. dubna 2015 v Wayback Machine, Disertační práce, University of St. Andrews

[4] Siniša Crvenkovič; Ivan Stojmenovic. "Algoritmus pro Cayleyovy tabulky algeber". 23 (2). Univ. u Novom Sadu, Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. Recenze výzkumu, Přírodovědecká fakulta: 221–231. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc) [1] (Přístup 9. května 2009)

[5] John A Hildebrant (2001). Příručka programů konečných poloskupin. (Předtisk).[2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]