Pravidelná poloskupina - Regular semigroup

V matematice, a pravidelná poloskupina je poloskupina S ve kterém je každý prvek pravidelný, tj. pro každý prvek A, existuje prvek X takhle axa = A.^[1] Pravidelné poloskupiny jsou jednou z nejvíce studovaných tříd poloskupin a jejich struktura je obzvláště vhodná pro studium prostřednictvím Greenovy vztahy.^[2]

Dějiny

Pravidelné poloskupiny představil J. A. Green ve svém vlivném příspěvku z roku 1951 „O struktuře poloskupin“; to byl také papír, ve kterém Greenovy vztahy byly zavedeny. Koncept pravidelnost v poloskupině byl upraven z analogického stavu pro prsteny, již zvažuje John von Neumann.^[3] Právě Greenova studie pravidelných poloskupin ho vedla k tomu, aby definoval své slavné vztahy. Podle poznámky pod čarou v Green 1951, návrh, aby byl použit pojem pravidelnosti poloskupiny byl poprvé vyroben uživatelem David Rees.

Termín inverzní poloskupina (Francouzsky: demi-groupe inversif) byl historicky používán jako synonymum v novinách Gabriel Thierrin (student Paul Dubreil ) v padesátých letech^[4]^[5] a stále se občas používá.^[6]

Základy

Existují dva ekvivalentní způsoby, jak definovat běžnou poloskupinu S:

(1) pro každého A v S, tady je X v S, který se nazývá a pseudoinverze,^[7] s axa = A;

(2) každý prvek A má alespoň jeden inverzní b, V tom smyslu, že aba = A a bab = b.

Chcete-li vidět rovnocennost těchto definic, nejprve předpokládejme, že S je definován (2). Pak b slouží jako požadovaná X v 1). Naopak, pokud S je tedy definováno (1) xax je inverzní pro A, od té doby A(xax)A = axa(xa) = axa = A a (xax)A(xax) = X(axa)(xax) = xa(xax) = X(axa)X = xax.^[8]

Sada inverzí (ve výše uvedeném smyslu) prvku A libovolně poloskupina S je označen PROTI(A).^[9] Dalším způsobem, jak vyjádřit definici (2) výše, je tedy říci, že v normální poloskupině PROTI(A) je neprázdný pro každého A v S. Produkt libovolného prvku A s jakýmkoli b v PROTI(A) je vždy idempotentní: abab = ab, od té doby aba = A.^[10]

Příklady pravidelných poloskupin

Každý skupina je normální poloskupina.
Každý kapela (idempotent semigroup) je pravidelný ve smyslu tohoto článku, i když to není to, co se rozumí pod pravidelné pásmo.
The bicyklická poloskupina je pravidelný.
Žádný plná transformační poloskupina je pravidelný.
A Reesova maticová poloskupina je pravidelný.
The homomorfní obraz pravidelné poloskupiny je regulární.^[11]

Unikátní inverze a jedinečné pseudoinverze

Běžná poloskupina, ve které idempotenti dojíždějí, je inverzní poloskupina, nebo ekvivalentně, každý prvek má unikátní inverzní. Chcete-li to vidět, nechte S být pravidelnou poloskupinou, ve které idempotenti dojíždějí. Pak každý prvek S má alespoň jednu inverzi. Předpokládejme to A v S má dvě inverze b a C, tj.,

aba = A, bab = b, aca = A a cac = C. Taky ab, ba, ac a ca. jsou idempotenty, jak je uvedeno výše.

Pak

b = bab = b(aca)b = bac(A)b =bac(aca)b = bac(ac)(ab) = bac(ab)(ac) = ba(ca.)bac = ca.(ba)bac = C(aba)bac = cabac = cac = C.

Dojížděním dvojic idempotentů ab & ac a ba & ca., inverzní k A se ukazuje jako jedinečný. Naopak je možné ukázat, že jakýkoli inverzní poloskupina je pravidelná poloskupina, ve které idempotenti dojíždějí.^[12]

Existence jedinečné pseudoinverze znamená existenci jedinečné inverze, ale opak není pravdou. Například v symetrická inverzní poloskupina, prázdná transformace Ø nemá jedinečnou pseudoinverzi, protože Ø = ØFØ pro jakoukoli transformaci F. Inverze k Ø je však jedinečná, protože pouze jedna F splňuje další omezení, které F = FÓF, jmenovitě F = Ø. Tato poznámka platí obecněji v jakékoli poloskupině s nulou. Kromě toho, pokud má každý prvek jedinečný pseudoinverz, pak je poloskupina a skupina a jedinečná pseudoinverze prvku se shoduje se skupinovou inverzí.^[13]

Greenovy vztahy

Připomeňme, že hlavní ideály poloskupiny S jsou definovány v pojmech S¹, poloskupina s připojenou identitou; to je zajistit, aby prvek A patří hlavnímu pravému, levému a oboustrannému ideály který generuje. V normální poloskupině S, nicméně, prvek A = axa automaticky patří k těmto ideálům, aniž by se uchýlil k identitě. Greenovy vztahy lze proto předefinovat pro pravidelné semigroup takto:

{displaystyle a, {mathcal {L}}, b}

pokud, a pouze pokud, Sa = Sb;

{displaystyle a, {mathcal {R}}, b}

pokud, a pouze pokud, tak jako = bS;

{displaystyle a, {mathcal {J}}, b}

pokud, a pouze pokud, SaS = SbS.^[14]

V normální poloskupině S, každý ${displaystyle {mathcal {L}}}$ - a ${displaystyle {mathcal {R}}}$ -třída obsahuje alespoň jednu idempotentní. Li A je jakýkoli prvek S a α je jakákoli inverzní pro A, pak A je ${displaystyle {mathcal {L}}}$ - související s αa a ${displaystyle {mathcal {R}}}$ - související s aα.^[15]

Teorém. Nechat S být pravidelnou poloskupinou a nechat A a b být prvky S. Pak

${displaystyle a, {mathcal {L}}, b}$ pokud, a pouze pokud, existuje α v PROTI(A) a β v PROTI(b) takový, že αA = βb;
${displaystyle a, {mathcal {R}}, b}$ pokud, a pouze pokud, existuje α v PROTI(A) a β v PROTI(b) takové, že Aα = bβ.^[16]

Li S je inverzní poloskupina, pak idempotent v každém ${displaystyle {mathcal {L}}}$ - a ${displaystyle {mathcal {R}}}$ -class je jedinečný.^[12]

Speciální třídy pravidelných poloskupin

Některé speciální třídy pravidelných poloskupin jsou:^[17]

Lokálně inverzní poloskupiny: běžná poloskupina S je lokálně inverzní -li eSe je pro každou inverzní poloskupinu idempotentní E.
Pravoslavné poloskupiny: běžná poloskupina S je ortodoxní pokud je jeho podmnožina idempotents tvoří podskupinu.
Zobecněné inverzní poloskupiny: běžná poloskupina S se nazývá a zobecněná inverzní poloskupina Pokud je to idempotents tvoří normální pás, tj. xyzx = xzyx, pro všechny idempotents X, y, z.

The třída zobecněných inverzních poloskupin je průsečík třídy místně inverzních poloskupin a třídy ortodoxních poloskupin.^[18]

Všechny inverzní poloskupiny jsou ortodoxní a místně inverzní. Konverzní výroky neplatí.

Zobecnění

Viz také

Poznámky

^ Howie 1995: 54.
^ Howie 2002.
^ von Neumann 1936.
^ Christopher Hollings (16. července 2014). Matematika za železnou oponou: Historie algebraické teorie poloskupin. Americká matematická společnost. str. 181. ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ http://www.csd.uwo.ca/~gab/pubr.html
^ Jonathan S. Golan (1999). Mocné algebry na seminářích: s aplikacemi v matematice a informatice. Springer Science & Business Media. str. 104. ISBN 978-0-7923-5834-3.
^ Klip, Knauer a Mikhalev: str. 33
^ Clifford a Preston 1961: Lemma 1.14.
^ Howie 1995: str. 52.
^ Clifford a Preston 1961: str. 26.
^ Howie 1995: Lemma 2.4.4.
^ ^A ^b Howie 1995: Věta 5.1.1.
^ Důkaz: https://planetmath.org/acharacterizationofgroups
^ Howie 1995: 55.
^ Clifford a Preston 1961: Lemma 1.13.
^ Howie 1995: Návrh 2.4.1.
^ Howie 1995: Oddíl 2.4 a Kapitola 6.
^ Howie 1995: 222.

Reference

A. H. Clifford a G. B. Preston, Algebraická teorie poloskupin, Volume 1, Mathematical Surveys of the American Mathematical Society, No. 7, Providence, R.I., 1961.
J. M. Howie, Základy teorie poloskupinClarendon Press, Oxford, 1995.
M. Kilp, U. Knauer, A.V. Michalev, Monoidy, akty a kategorie s aplikacemi na věnování produktů a grafů, De Gruyter Expositions in Mathematics sv. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
J. A. Green (1951). Msgstr "O struktuře poloskupin". Annals of Mathematics. Druhá série. 54 (1): 163–172. doi:10.2307/1969317. hdl:10338.dmlcz / 100067. JSTOR 1969317.
J. M. Howie, poloskupiny, minulost, přítomnost a budoucnost, Sborník mezinárodní konference o algebře a jejích aplikacích, 2002, 6–20.
J. von Neumann (1936). „Na pravidelných kruzích“. Sborník Národní akademie věd USA. 22 (12): 707–713. doi:10.1073 / pnas.22.12.707. PMC 1076849. PMID 16577757.

[1] Howie 1995: 54.

[2] Howie 2002.

[3] von Neumann 1936.

[Hollings2014-4] Christopher Hollings (16. července 2014). Matematika za železnou oponou: Historie algebraické teorie poloskupin. Americká matematická společnost. str. 181. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[5] ttp://www.csd.uwo.ca/~gab/pubr.html

[Golan1999-6] Jonathan S. Golan (1999). Mocné algebry na seminářích: s aplikacemi v matematice a informatice. Springer Science & Business Media. str. 104. ISBN 978-0-7923-5834-3.

[7] Klip, Knauer a Mikhalev: str. 33

[8] Clifford a Preston 1961: Lemma 1.14.

[9] Howie 1995: str. 52.

[10] Clifford a Preston 1961: str. 26.

[11] Howie 1995: Lemma 2.4.4.

[Howie_1995_:_Theorem_5.1.1-12] A ^b Howie 1995: Věta 5.1.1.

[13] Důkaz: https://planetmath.org/acharacterizationofgroups

[14] Howie 1995: 55.

[15] Clifford a Preston 1961: Lemma 1.13.

[16] Howie 1995: Návrh 2.4.1.

[17] Howie 1995: Oddíl 2.4 a Kapitola 6.

[18] Howie 1995: 222.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]