Poloskupina se třemi prvky - Semigroup with three elements - Wikipedia

v abstraktní algebra, a poloskupina se třemi prvky je objekt skládající se ze tří prvků a asociativní operace definované na nich. Základním příkladem by byla tři celá čísla 0, 1 a -1 spolu s operací násobení. Násobení celých čísel je asociativní a součin libovolných dvou z těchto tří celých čísel je opět jedním z těchto tří celých čísel.

Existuje 18 nerovnocenných způsobů, jak definovat asociativní operaci na třech prvcích: zatímco celkem je celkem 39 = 19683 různých binárních operací, které lze definovat, pouze 113 z nich je asociativních a mnoho z nich izomorfní nebo antiisomorphic takže v zásadě existuje pouze 18 možností. [1][2]

Jedním z nich je C3, cyklická skupina se třemi prvky. Ostatní mají a poloskupina se dvěma prvky tak jako podskupiny. Ve výše uvedeném příkladu obsahuje množina {−1,0,1} v rámci násobení {0,1} i {−1,1} jako podskupiny (druhá je dílčískupina, C2 ).

Šest z nich je kapel, což znamená, že všechny tři prvky jsou idempotentní, takže produkt libovolného prvku je sám sebou. Dvě z těchto pásem jsou komutativní, proto pololattice (jeden z nich je tříprvková zcela uspořádaná množina a druhý je tříprvková pololattice, která není mřížkou). Ostatní čtyři přicházejí v antiisomorfních párech.

Jedno z těchto nekomutativních pásem je výsledkem sousedního prvek identity na HLE2, levá nulová poloskupina se dvěma prvky (nebo, duálně, do RO2, pravá nulová poloskupina ). Někdy se tomu říká flip-flop monoid, s odkazem na klopné obvody používané v elektronice: tyto tři prvky lze popsat jako „nastavit“, „resetovat“ a „nedělat nic“. Tato poloskupina se vyskytuje v Krohn – Rhodesův rozklad konečných poloskupin.[3] Neredukovatelné prvky v tomto rozkladu jsou konečné jednoduché skupiny plus tato tříprvková poloskupina a její podskupiny.

Existují dva cyklické poloskupiny, jeden popsaný rovnicí X4 = X3, který má Ó2, nulová poloskupina se dvěma prvky, jako podskupina. Druhý popisuje X4 = X2 a má C2, skupina se dvěma prvky, jako podskupina. (Rovnice X4 = X popisuje C3, skupina se třemi prvky, již zmíněná.)

Existuje sedm dalších necyklických nepásmových komutativních semig skupin, včetně počátečního příkladu {−1, 0, 1} a Ó3, nulová poloskupina se třemi prvky. Existují také dva další anti-izomorfní páry nekomutativních nepásmových semigroup.

Seznam poloskupin se třemi prvky (až do izomorfismu)s Cayleyovy stoly pro operaci poloskupiny

1. Cyklická skupina (C3)

X y z
X  X   y   z 
y  y   z   X 
z  z   X   y 

2. Monogenní poloskupina (index 2, období 2)

X y z
X  y   z   y 
y  z   y   z 
z  y   z   y 

Podskupina: {y, z} ≈ C2

3. Aperiodické monogenní poloskupina (index 3)

X y z
X  y   z   z 
y  z   z   z 
z  z   z   z 

Podskupina: {y, z} ≈ O2

4. Komutativní monoidní ({−1,0,1} při násobení)

X y z
X  z   y   X 
y  y   y   y 
z  X   y   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ C2. {y, z} ≈ CH2

5. Komutativní monoid

X y z
X  z   X   X 
y  X   y   z 
z  X   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ C2. {y, z} ≈ CH2

6. Komutativní poloskupina

X y z
X  z   X   X 
y  X   z   z 
z  X   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ C2. {y, z} ≈ O2

7. Nula poloskupina (O.3)

X y z
X  z   z   z 
y  z   z   z 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ {y, z} ≈ O2

8. Komutativní neperiodická poloskupina

X y z
X  z   z   z 
y  z   y   z 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ O2. {y, z} ≈ CH2

9. Komutativní neperiodická poloskupina

X y z
X  z   y   z 
y  y   y   y 
z  z   y   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ O2. {y, z} ≈ CH2

10. Komutativní neperiodický monoid

X y z
X  z   X   z 
y  X   y   z 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ O2. {y, z} ≈ CH2

11A. neperiodická poloskupina

X y z
X  z   z   z 
y  y   y   y 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ O2, {y, z} ≈ LO2

11B. své naproti

X y z
X  z   y   z 
y  z   y   z 
z  z   y   z 

12A. neperiodická poloskupina

X y z
X  z   z   z 
y  X   y   z 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ O2, {y, z} ≈ CH2

12B. je to naopak

X y z
X  z   X   z 
y  z   y   z 
z  z   z   z 

13. Semilattice (řetěz )

X y z
X  X   y   z 
y  y   y   z 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, y} ≈ {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2

14. Semilattice

X y z
X  X   z   z 
y  z   y   z 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2

15A. idempotentní poloskupina

X y z
X  X   X   X 
y  y   y   y 
z  X   X   z 

Podskupiny: {x, y} ≈ LO2, {x, z} ≈ CH2

15B. je to naopak

X y z
X  X   y   X 
y  X   y   X 
z  X   y   z 

16A. idempotentní poloskupina

X y z
X  X   X   z 
y  y   y   z 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, y} ≈ LO2, {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2

16B. je to naopak

X y z
X  X   y   z 
y  X   y   z 
z  z   z   z 

17A. levá nula poloskupina (LO3)

X y z
X  X   X   X 
y  y   y   y 
z  z   z   z 

Podskupiny: {x, y} ≈ {x, z} ≈ {y, z} ≈ LO2

17B. jeho opak (RO3)

X y z
X  X   y   z 
y  X   y   z 
z  X   y   z 

18A. idempotent semigroup (left flip-flop monoid)

X y z
X  X   X   X 
y  y   y   y 
z  X   y   z 

Podskupiny: {x, y} ≈ LO2, {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2

18B. jeho opak (pravý flip-flop monoid)

X y z
X  X   y   X 
y  X   y   y 
z  X   y   z 

Rejstřík dvě dílčí podskupiny: C2: cyklická skupina, O2: nulová poloskupina, CH2: semilattice (řetěz), LO2/ RO2: levá / pravá nulová poloskupina.

Viz také

Reference

  1. ^ Andreas Distler, Klasifikace a výčet konečných poloskupin Archivováno 02.04.2015 na Wayback Machine, Disertační práce, University of St. Andrews
  2. ^ Friðrik Diego; Kristín Halla Jónsdóttir (červenec 2008). „Asociativní operace na tříprvkové sadě“ (PDF). Montana Mathematics Enthusiast. 5 (2 & 3): 257–268. Citováno 6. února 2014.
  3. ^ „Tato neškodná tříprvková poloskupina hraje důležitou roli v tom, co následuje ...“ - Aplikace teorie automatů a algebry podle John L. Rhodes.