Mehlerovo jádro - Mehler kernel

The Mehlerovo jádro je funkce s komplexní hodnotou, která je považována za propagátor z kvantový harmonický oscilátor.

Mehlerův vzorec

Mehler (1866 ) definoval funkci^[1]

${ displaystyle E (x, y) = { frac {1} { sqrt {1- rho ^ {2}}}} exp left (- {{frac { rho ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2 rho xy} {(1- rho ^ {2})}} vpravo) ~,}$

a ukázal, v modernizované notaci,^[2] že jej lze rozšířit z hlediska Hermitovy polynomy $H$ (.) na základě váhové funkce exp (- $X$ ²) jako

{ displaystyle E (x, y) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( rho / 2) ^ {n}} {n!}} ~ { mathit {H} } _ {n} (x) { mathit {H}} _ {n} (y) ~.}

Tento výsledek je užitečný v modifikované formě v kvantové fyzice, teorii pravděpodobnosti a harmonické analýze.

Fyzikální verze

Ve fyzice je zásadní řešení, (Greenova funkce ), nebo propagátor Hamiltonian pro kvantový harmonický oscilátor se nazývá Mehlerovo jádro. Poskytuje zásadní řešení --- nejobecnější řešení^[3] $φ (X, t)$ na

{ displaystyle { frac { částečné varphi} { částečné t}} = { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné x ^ {2}}} - x ^ {2} varphi equiv D_ {x} varphi ~.}

Ortonormální vlastní funkce operátora $D$ jsou Hermitovské funkce,

{ displaystyle psi _ {n} = { frac {H_ {n} (x) exp (-x ^ {2} / 2)} { sqrt {2 ^ {n} n! { sqrt { pi}}}}},}

s odpovídajícími vlastními hodnotami (2 $n$ +1), poskytující konkrétní řešení

{ displaystyle varphi _ {n} (x, t) = e ^ {- (2n + 1) t} ~ H_ {n} (x) exp (-x ^ {2} / 2) ~.}

Obecné řešení je pak jejich lineární kombinací; pokud je namontován do původního stavu $φ (x, 0)$ , obecné řešení se snižuje na

{ displaystyle varphi (x, t) = int K (x, y; t) varphi (y, 0) dy ~,}

kde jádro $K.$ má oddělitelné zastoupení

{ displaystyle K (x, y; t) ekviv součet _ {n geq 0} { frac {e ^ {- (2n + 1) t}} {{ sqrt { pi}} 2 ^ { n} n!}} ~ H_ {n} (x) H_ {n} (y) exp (- (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2) ~.}

Poté se získá Mehlerův vzorec

{ displaystyle displaystyle { sum _ {n geq 0} { frac {( rho / 2) ^ {n}} {n!}} H_ {n} (x) H_ {n} (y) exp (- (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2) = {1 nad { sqrt {(1- rho ^ {2})}}} exp {4xy rho - (1 + rho ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2}) nad 2 (1- rho ^ {2})}} ~.}

Při nahrazení ve výrazu pro $K.$ s hodnotou exp (−2 $t$ ) pro $ρ$ , Nakonec čte Mehlerovo jádro

${ displaystyle K (x, y; t) = { frac {1} { sqrt {2 pi sinh (2t)}}} ~ exp { Bigl (} - coth (2t) ~ (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2 + { text {cosech}} (2t) ~ xy { Bigr)}.}$

Když $t$ = 0, proměnné $X$ a $y$ shodovat, což má za následek omezující vzorec nezbytný počáteční podmínkou,

{ displaystyle K (x, y; 0) = delta (x-y) ~.}

Jako základní řešení je jádro aditivní,

{ displaystyle int dyK (x, y; t) K (y, z; t ') = K (x, z; t + t') ~.}

To dále souvisí se strukturou symplektické rotace jádra $K.$ .^[4]

Pravděpodobná verze

Výsledek Mehlera lze také spojit s pravděpodobností. Z tohoto důvodu by měly být proměnné změněny jako $X \to X / \sqrt 2$ , $y \to y / \sqrt 2$ , aby se změnil z „fyzikových“ Hermitových polynomů $H$ (.) (s funkcí hmotnosti exp (- $X$ ²)) na „pravděpodobnostní“ Hermitovy polynomy $On$ (.) (s funkcí hmotnosti exp (- $X$ ² / 2)). Pak, $E$ se stává

{ displaystyle { frac {1} { sqrt {1- rho ^ {2}}}} exp left (- { frac { rho ^ {2} (x ^ {2} + y ^ { 2}) - 2 rho xy} {2 (1- rho ^ {2})}} vpravo) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac { rho ^ {n} } {n!}} ~ { mathit {He}} _ {n} (x) { mathit {He}} _ {n} (y) ~.}

Tady je levá strana p (x, y) / p (x) p (y) kde p (x, y) je dvojrozměrná Gaussova hustota pravděpodobnosti funkce pro proměnné $x, y$ s nulovými průměrnými a jednotkovými odchylkami:

{ displaystyle p (x, y) = { frac {1} {2 pi { sqrt {1- rho ^ {2}}}}} exp left (- { frac {(x ^ { 2} + y ^ {2}) - 2 rho xy} {2 (1- rho ^ {2})}} vpravo) ~,}

a $p (x), p (y)$ jsou odpovídající hustoty pravděpodobnosti $X$ a $y$ (oba standardní normální).

Následuje obvykle uváděná forma výsledku (Kibble 1945)^[5]

{ displaystyle p (x, y) = p (x) p (y) součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac { rho ^ {n}} {n!}} ~ { mathit {He}} _ {n} (x) { mathit {He}} _ {n} (y) ~.}

Tuto expanzi lze nejsnadněji odvodit pomocí dvourozměrné Fourierovy transformace $p (x, y)$ , který je

{ displaystyle c (iu_ {1}, iu_ {2}) = exp (- (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} -2 rho u_ {1} u_ {2} ) / 2) ~.}

To může být rozšířeno jako

{ displaystyle exp (- (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}) / 2) sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { rho ^ { n}} {n!}} (u_ {1} u_ {2}) ^ {n} ~.}

Inverzní Fourierova transformace pak okamžitě poskytne výše uvedený expanzní vzorec.

Tento výsledek lze rozšířit na vícerozměrný případ (Kibble 1945, Slepian 1972,^[6] Hörmander 1985 ^[7]).

Frakční Fourierova transformace

Protože Hermitovy funkce $ψ n$ jsou ortonormální vlastní funkce Fourierovy transformace,

{ displaystyle { mathcal {F}} [ psi _ {n}] (y) = (- i) ^ {n} psi _ {n} (y) ~,}

v harmonická analýza a zpracování signálu, diagonalizují Fourierův operátor,

{ displaystyle { mathcal {F}} [f] (y) = int dxf (x) součet _ {n geq 0} (- i) ^ {n} psi _ {n} (x) psi _ {n} (y) ~.}

Tedy kontinuální generalizace pro nemovitý úhel $α$ lze snadno definovat (Wiener, 1929;^[8] Condon, 1937^[9]), frakční Fourierova transformace (FrFT), s jádrem

{ displaystyle { mathcal {F}} _ { alpha} = součet _ {n geq 0} (- i) ^ {2 alpha n / pi} psi _ {n} (x) psi _ {n} (y) ~.}

Tohle je spojitá rodina lineárních transformací zobecňující Fourierova transformace, tak, že pro $α = π /2$ , redukuje se na standardní Fourierovu transformaci a pro $α = - π /2$ k inverzní Fourierově transformaci.

Mehlerův vzorec pro $ρ$ = exp (−i $α$ ), tedy přímo poskytuje

{ displaystyle { mathcal {F}} _ { alpha} [f] (y) = { sqrt { frac {1-i cot ( alpha)} {2 pi}}} ~ e ^ { i { frac { cot ( alpha)} {2}} y ^ {2}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- i left ( csc ( alpha) ~ yx - { frac { cot ( alpha)} {2}} x ^ {2} right)} f (x) , mathrm {d} x ~.}

Druhá odmocnina je definována tak, že argument výsledku leží v intervalu [-π /2, π /2].

Li $α$ je celočíselný násobek $π$ , pak výše kotangens a kosekans funkce se rozcházejí. V omezit, jádro přejde na a Diracova delta funkce v integrand, $δ (x - y)$ nebo $δ (x + y)$ , pro $α$ an sudý nebo lichý násobek $π$ , resp. Od té doby ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ {2}}$ [ $F$ ] = $F$ (− $X$ ), ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { alpha}}$ [ $F$ ] musí být jednoduše $F (X)$ nebo $F (- X)$ pro $α$ sudý nebo lichý násobek $π$ , resp.

Viz také

Reference

^ Mehler, F. G. (1866), „Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině) (66): 161–176, ISSN 0075-4102, ERAM 066.1720cj (viz str. 174, ekv. (18) a str. 173, ekv. (13))
^ Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Vyšší transcendentální funkce. Sv. II, McGraw-Hill (skenovat: str.194 10,13 (22) )
^ Pauli, W., Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 ; Viz část 44.
^ The kvadratická forma ve svém exponentu, až do faktoru −1/2, zahrnuje nejjednodušší (unimodulární, symetrický) symplektická matice v Sp (2, ℝ). To znamená
${ displaystyle (x, y) { mathbf {M}} { begin {pmatrix} {x} {y} end {pmatrix}} ~, ~}$ kde
${ displaystyle { mathbf {M}} equiv { text {cosech}} (2t) { begin {pmatrix} cosh (2t) & - 1 - 1 & cosh (2t) end {pmatrix} } ~,}$
takže zachovává symplektickou metriku,
${ displaystyle { mathbf {M}} ^ { text {T}} ~ { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} ~ { mathbf {M}} = { begin {pmatrix } 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} ~.}$
^ Kibble, W. F. (1945), „Rozšíření Mehlerovy věty o Hermitových polynomech“, Proc. Cambridge Philos. Soc., 41: 12–15, doi:10.1017 / S0305004100022313, PAN 0012728
^ Slepian, David (1972), „O symetrizované Kroneckerově moci matice a rozšíření Mehlerova vzorce pro Hermitovy polynomy“, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 3 (4): 606–616, doi:10.1137/0503060, ISSN 0036-1410, PAN 0315173
^ Hörmander, Lars (1995). "Symplektická klasifikace kvadratických forem a obecné Mehlerovy vzorce". Mathematische Zeitschrift. 219: 413–449. doi:10.1007 / BF02572374.
^ Wiener, N (1929), „Hermitovské polynomy a Fourierova analýza“, Journal of Mathematics and Physics 8: 70–73.
^ Condon, E. U. (1937). "Ponoření Fourierovy transformace do spojité skupiny funkčních transformací", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23, 158–164. online

Nicole Berline, Ezra Getzler a Michèle Vergne (2013). Tepelná jádra a Dirac operátoři(Springer: Grundlehren Text Editions) Brožovaná vazba ISBN 3540200622
Louck, J. D. (1981). "Rozšíření Kibble-Slepianova vzorce pro hermitské polynomy pomocí metod bosonových operátorů". Pokroky v aplikované matematice. 2 (3): 239–249. doi:10.1016/0196-8858(81)90005-1.
H. M. Srivastava a J. P. Singhal (1972). "Některá rozšíření Mehlerova vzorce", Proc. Amer. Matematika. Soc. 31: 135–141. (online )

[1] Mehler, F. G. (1866), „Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině) (66): 161–176, ISSN 0075-4102, ERAM 066.1720cj (viz str. 174, ekv. (18) a str. 173, ekv. (13))

[2] Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Vyšší transcendentální funkce. Sv. II, McGraw-Hill (skenovat: str.194 10,13 (22) )

[3] Pauli, W., Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 ; Viz část 44.

[4] The kvadratická forma ve svém exponentu, až do faktoru −1/2, zahrnuje nejjednodušší (unimodulární, symetrický) symplektická matice v Sp (2, ℝ). To znamená
${ displaystyle (x, y) { mathbf {M}} { begin {pmatrix} {x} {y} end {pmatrix}} ~, ~}$ kde
${ displaystyle { mathbf {M}} equiv { text {cosech}} (2t) { begin {pmatrix} cosh (2t) & - 1 - 1 & cosh (2t) end {pmatrix} } ~,}$
takže zachovává symplektickou metriku,
${ displaystyle { mathbf {M}} ^ { text {T}} ~ { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} ~ { mathbf {M}} = { begin {pmatrix } 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}} ~.}$

[5] Kibble, W. F. (1945), „Rozšíření Mehlerovy věty o Hermitových polynomech“, Proc. Cambridge Philos. Soc., 41: 12–15, doi:10.1017 / S0305004100022313, PAN 0012728

[6] Slepian, David (1972), „O symetrizované Kroneckerově moci matice a rozšíření Mehlerova vzorce pro Hermitovy polynomy“, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 3 (4): 606–616, doi:10.1137/0503060, ISSN 0036-1410, PAN 0315173

[7] Hörmander, Lars (1995). "Symplektická klasifikace kvadratických forem a obecné Mehlerovy vzorce". Mathematische Zeitschrift. 219: 413–449. doi:10.1007 / BF02572374.

[8] Wiener, N (1929), „Hermitovské polynomy a Fourierova analýza“, Journal of Mathematics and Physics 8: 70–73.

[9] Condon, E. U. (1937). "Ponoření Fourierovy transformace do spojité skupiny funkčních transformací", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23, 158–164. online

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]