Vztah mezi Schrödingersovou rovnicí a dráhovou integrální formulací kvantové mechaniky - Relation between Schrödingers equation and the path integral formulation of quantum mechanics - Wikipedia

Tento článek se týká Schrödingerova rovnice s cesta integrální formulace kvantové mechaniky pomocí jednoduché nerelativistické jednorozměrné jedné částice Hamiltonian složený z kinetické a potenciální energie.

Pozadí

Schrödingerova rovnice

Schrödingerova rovnice, v braketová notace, je

${ displaystyle i hbar { frac {d} {dt}} | psi rangle = { hat {H}} | psi rangle}$

kde ${ displaystyle { hat {H}}}$ je Hamiltonovský operátor.

Hamiltonovský operátor lze psát

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({ hat {q}})}$

kde ${ displaystyle V ({ hat {q}})}$ je potenciální energie, m je hmotnost a pro jednoduchost jsme předpokládali, že existuje pouze jedna prostorová dimenze q.

Formální řešení rovnice je

${ displaystyle | psi (t) rangle = exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} t right) | q_ {0} rangle equiv exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} t right) | 0 rangle}$

kde jsme předpokládali, že počáteční stav je prostorový stav volných částic ${ displaystyle | q_ {0} rangle}$.

The amplituda pravděpodobnosti přechodu pro přechod z počátečního stavu ${ displaystyle | 0 rangle}$ do konečného prostorového stavu volných částic ${ displaystyle | F rangle}$ v čase T je

${ displaystyle langle F | psi (T) rangle = left langle F { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} T right) { bigg |} 0 right rangle.}$

Integrální formulace cesty

Formulace integrálu cesty uvádí, že amplituda přechodu je jednoduše integrálem veličiny

${ displaystyle exp left ({ frac {i} { hbar}} S right)}$

přes všechny možné cesty z počátečního stavu do konečného stavu. Zde je S klasický akce.

Přeformulování této přechodové amplitudy, původně kvůli Diracovi^[1] a konceptualizovaný Feynmanem,^[2] tvoří základ integrální formulace cesty.^[3]

Od Schrödingerovy rovnice po integraci cesty

Následující odvození^[4] využívá Vzorec produktu Trotter, který uvádí, že pro operátory s vlastním adjunktem A a B (splňující určité technické podmínky), máme

${ displaystyle e ^ {i (A + B)} psi = lim _ {N rightarrow infty} (e ^ {iA / N} e ^ {iB / N}) ^ {N} psi}$,

i kdyby A a B nedojíždět.

Můžeme časový interval rozdělit [0, T] do N segmenty délky

${ displaystyle delta t = { frac {T} {N}}.}$

Amplitudu přechodu lze poté zapsat

${ displaystyle left langle F { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} T right) { bigg |} 0 right rangle = left langle F { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) cdots exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} 0 right rangle.}$

Přestože operátoři kinetické energie a potenciální energie nedojíždějí, výše uvedený vzorec produktu Trotter říká, že v každém malém časovém intervalu můžeme tuto nekomutativitu ignorovat a psát

${ displaystyle exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) cca exp left ({- {i over hbar} { { hat {p}} ^ {2} nad 2 m} delta t} right) exp left ({- {i over hbar} V left (q_ {j} right) delta t }že jo).}$

Kvůli jednoduchosti zápisu tuto substituci pro tuto chvíli odložíme.

Můžeme vložit matici identity

${ displaystyle I = int dq | q rangle langle q |}$

N − 1 časy mezi exponenciály k výtěžku

${ displaystyle left langle F { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} T right) { bigg |} 0 right rangle = left ( prod _ {j = 1} ^ {N-1} int dq_ {j} right) left langle F { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} q_ {N-1} right rangle left langle q_ {N-1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} q_ {N-2} right rangle cdots left langle q_ {1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} 0 right rangle.}$

Nyní implementujeme substituci spojenou s produktovým vzorcem Trotter tak, abychom ji měli efektivně

${ displaystyle left langle q_ {j + 1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} q_ {j} right rangle = left langle q_ {j + 1} { Bigg |} exp left ({- {i over hbar} {{ hat {p}} ^ {2} nad 2 m} delta t} vpravo) exp vlevo ({- {i over hbar} V vlevo (q_ {j} vpravo) delta t} vpravo) { Bigg | } q_ {j} doprava rangle.}$

Můžeme vložit identitu

${ displaystyle I = int {dp přes 2 pi} | p rangle langle p |}$

do amplitudy k výtěžku

${ displaystyle { begin {zarovnaný} left langle q_ {j + 1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} q_ {j} right rangle & = exp left (- { frac {i} { hbar}} V left (q_ {j} right) delta t right) int { frac {dp} {2 pi}} left langle q_ {j + 1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { frac {p ^ {2}} {2m}} delta t right) { bigg |} p right rangle langle p | q_ {j} rangle & = exp left (- { frac {i} { hbar}} V vlevo (q_ {j} vpravo) delta t vpravo) int { frac {dp} {2 pi}} exp vlevo (- { frac {i} { hbar}} { frac {p ^ {2}} {2m}} delta t right) left langle q_ {j + 1} | p right rangle left langle p | q_ {j} right rangle & = exp left (- { frac {i} { hbar}} V left (q_ {j} right) delta t right) int { frac {dp} {2 pi hbar}} exp left (- { frac {i} { hbar}} { frac {p ^ {2}} {2m}} delta t - { frac {i} { hbar}} p left (q_ {j + 1} -q_ {j} right) right) end {aligned}}}$

kde jsme použili skutečnost, že funkce vln volných částic je

${ displaystyle langle p | q_ {j} rangle = { frac { exp left ({ frac {i} { hbar}} pq_ {j} right)} { sqrt { hbar}} }}$.

Lze provést integrál přes p (viz Běžné integrály v teorii kvantového pole ) získat

${ displaystyle left langle q_ {j + 1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} q_ {j} right rangle = left ({- im over 2 pi delta t hbar} right) ^ {1 over 2} exp left [{i over hbar } delta t left ({1 nad 2} m left ({q_ {j + 1} -q_ {j} over delta t} right) ^ {2} -V left (q_ {j } right) right) right]}$

Amplituda přechodu pro celé časové období je

${ displaystyle left langle F { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} T right) { bigg |} 0 right rangle = left ({- im over 2 pi delta t hbar} right) ^ {N over 2} left ( prod _ {j = 1} ^ {N-1} int dq_ { j} right) exp left [{i over hbar} sum _ {j = 0} ^ {N-1} delta t left ({1 over 2} m left ({q_ { j + 1} -q_ {j} nad delta t} doprava) ^ {2} -V doleva (q_ {j} doprava) doprava) doprava].}$

Vezmeme-li hranici velkého N amplituda přechodu klesá na

${ displaystyle left langle F { bigg |} exp left ({- {i over hbar} { hat {H}} T} right) { bigg |} 0 right rangle = int Dq (t) exp left [{i over hbar} S right]}$

kde S je klasický akce dána

${ displaystyle S = int _ {0} ^ {T} dtL left (q (t), { dot {q}} (t) right)}$

a L je klasický Lagrangian dána

${ displaystyle L left (q, { dot {q}} right) = {1 nad 2} m { dot {q}} ^ {2} -V (q)}$

Jakákoli možná dráha částice, přecházející z počátečního stavu do konečného stavu, je aproximována jako přerušovaná čára a zahrnuta do míry integrálu

${ displaystyle int Dq (t) = lim _ {N až infty} vlevo ({ frac {-im} {2 pi delta t hbar}} vpravo) ^ { frac {N } {2}} left ( prod _ {j = 1} ^ {N-1} int dq_ {j} right)}$

Tento výraz ve skutečnosti definuje způsob, jakým mají být brány integrály cesty. Koeficient vpředu je nutný k zajištění, že výraz má správné rozměry, ale nemá žádný skutečný význam v jakékoli fyzické aplikaci.

Tím se ze Schrödingerovy rovnice získá integrální formulace cesty.

Od integrální cesty k Schrödingerově rovnici

Integrace dráhy reprodukuje Schrödingerovu rovnici pro počáteční a konečný stav, i když je přítomen potenciál. To je nejjednodušší vidět tím, že vezmeme integrál cesty přes nekonečně oddělené časy.

${ displaystyle psi (y; t + varepsilon) = int _ {- infty} ^ { infty} psi (x; t) int _ {x (t) = x} ^ {x (t + varepsilon) = y} exp left (i int limits _ {t} ^ {t + varepsilon} left ({ tfrac {1} {2}} { dot {x}} ^ {2} - V (x) pravý) , dt pravý) , Dx (t) , dx qquad (1)}$

Protože časová separace je nekonečně malá a rušivé oscilace jsou pro velké hodnoty vážné X, integrál dráhy má největší váhu y blízko k X. V tomto případě je v nejnižším řádu potenciální energie konstantní a pouze příspěvek kinetické energie je netriviální. (Toto oddělení pojmů kinetické a potenciální energie v exponentu je v podstatě Vzorec produktu Trotter.) Exponenciál akce je

${ displaystyle e ^ {- i varepsilon V (x)} e ^ {i { frac {{ dot {x}} ^ {2}} {2}} varepsilon}}$

První člen otáčí fázi ψ(X) lokálně o částku úměrnou potenciální energii. Druhým členem je propagátor volných částic, který odpovídá i krát difúzní proces. Na nejnižší objednávku v ε jsou aditivní; v každém případě jeden má s (1):

${ displaystyle psi (y; t + varepsilon) přibližně int psi (x; t) e ^ {- i varepsilon V (x)} e ^ { frac {i (xy) ^ {2}} {2 varepsilon}} , dx ,.}$

Jak již bylo zmíněno, rozšíření v ψ je difuzní z šíření volných částic, s extra nekonečně malou rotací ve fázi, která se pomalu mění od bodu k bodu od potenciálu:

${ displaystyle { frac { částečné psi} { částečné t}} = i cdot vlevo ({ tfrac {1} {2}} nabla ^ {2} -V (x) vpravo) psi ,}$

a toto je Schrödingerova rovnice. Všimněte si, že normalizaci dráhového integrálu je třeba zafixovat přesně stejným způsobem jako v případě volných částic. Libovolný spojitý potenciál neovlivňuje normalizaci, i když singulární potenciály vyžadují pečlivé zacházení.

Reference