Schwinger – Dysonova rovnice - Schwinger–Dyson equation - Wikipedia

Freeman Dyson v roce 2005

The Schwinger – Dysonovy rovnice (SDE), nebo Dyson – Schwingerovy rovnice, pojmenoval podle Julian Schwinger a Freeman Dyson, jsou obecné vztahy mezi Zelené funkce v kvantové teorie pole (QFT). Jsou také označovány jako Euler-Lagrangeovy rovnice kvantových teorií pole, protože jsou pohybové rovnice odpovídající funkci Green.

Tvoří soustavu nekonečně mnoha funkčních diferenciálních rovnic, všechny navzájem spojené, někdy označované jako nekonečná věž SDE.

Ve svém příspěvku „S-Matrix v kvantové elektrodynamice“^[1] Dyson odvozené vztahy mezi různými S-matice prvky nebo konkrétnější „jednočásticové Greenovy funkce“, in kvantová elektrodynamika, sečtením nekonečně mnoha Feynmanovy diagramy, takže pracuje v rušivém přístupu. Počínaje jeho variační princip, Schwinger odvozil sadu rovnic pro Greenovy funkce neporušeně,^[2] které zobecňují Dysonovy rovnice na Schwinger-Dysonovy rovnice pro zelené funkce kvantové teorie pole.

Dnes poskytují neporušený přístup k teoriím kvantového pole a aplikace lze nalézt v mnoha oblastech teoretické fyziky, jako je fyzika pevných látek a fyzika elementárních částic.

Schwinger také odvodil rovnici pro dvě částice neredukovatelné zelené funkce,^[2] který je dnes označován jako nehomogenní Rovnice Bethe – Salpeter.

Derivace

Vzhledem k tomu, polynomiálně ohraničené funkční F přes konfigurace pole, tedy pro všechny státní vektor (což je řešení QFT), ${ displaystyle | psi rangle}$, my máme

${ displaystyle left langle psi left | { mathcal {T}} left {{ frac { delta} { delta varphi}} F [ varphi] right } right | psi vpravo rangle = -i vlevo langle psi vlevo | { mathcal {T}} vlevo {F [ varphi] { frac { delta} { delta varphi}} S [ varphi] right } right | psi right rangle}$

kde S je akce funkční a ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ je objednávání času úkon.

Ekvivalentně v stav hustoty formulace, pro jakýkoli (platný) stav hustoty ρ máme

${ displaystyle rho left ({ mathcal {T}} left {{ frac { delta} { delta varphi}} F [ varphi] right } right) = - i rho left ({ mathcal {T}} left {F [ varphi] { frac { delta} { delta varphi}} S [ varphi] right } right).}$

Tato nekonečná sada rovnic může být použita k řešení pro korelační funkce bez potíží.

Propojení se schematickými technikami (jako Feynmanovy diagramy ) jasnější, je často vhodné rozdělit akci S jako S [φ] = 1/2 D⁻¹_ij φⁱ φ^j+ S._int[φ] kde první člen je kvadratická část a D⁻¹ je invertibilní symetrický (antisymetrický pro fermiony) kovariantní tenzor druhé úrovně v deWittova notace jehož inverzní, D se nazývá holý propagátor a S._int je „interakční akce“. Pak můžeme rovnice SD přepsat na

${ displaystyle langle psi | { mathcal {T}} {F varphi ^ {j} } | psi rangle = langle psi | { mathcal {T}} {iF _ {, i } D ^ {ij} -FS_ {int, i} D ^ {ij} } | psi rangle.}$

Li F je funkce φ, pak pro operátor K., F[K.] je definován jako operátor, který nahrazuje K. pro φ. Například pokud

${ displaystyle F [ varphi] = { frac { částečné ^ {k_ {1}}} { částečné x_ {1} ^ {k_ {1}}}} varphi (x_ {1}) cdots { frac { částečné ^ {k_ {n}}} { částečné x_ {n} ^ {k_ {n}}}} varphi (x_ {n})}$

a G je funkční z J, pak

${ displaystyle F left [-i { frac { delta} { delta J}} right] G [J] = (- i) ^ {n} { frac { částečné ^ {k_ {1} }} { částečné x_ {1} ^ {k_ {1}}}} { frac { delta} { delta J (x_ {1})}} cdots { frac { částečné ^ {k_ {n }}} { částečné x_ {n} ^ {k_ {n}}}} { frac { delta} { delta J (x_ {n})}} G [J].}$

Pokud mámeanalytický "(funkce, která je lokálně dána konvergentní výkonovou řadou) funkční Z (volal generující funkční ) z J (volal zdrojové pole ) uspokojující

${ displaystyle { frac { delta ^ {n} Z} { delta J (x_ {1}) cdots delta J (x_ {n})}} [0] = i ^ {n} Z [0 ] langle varphi (x_ {1}) cdots varphi (x_ {n}) rangle,}$

potom z vlastností funkčních integrálů

${ displaystyle { left langle { frac { delta { mathcal {S}}} { delta varphi (x)}} left [ varphi right] + J (x) right rangle} _ {J} = 0,}$

Schwinger – Dysonova rovnice pro generující funkčnost je

${ displaystyle { frac { delta S} { delta varphi (x)}} left [-i { frac { delta} { delta J}} right] Z [J] + J (x ) Z [J] = 0.}$

Pokud tuto rovnici rozšíříme jako a Taylor série o J = 0, dostaneme celou sadu Schwinger-Dysonových rovnic.

Příklad: φ⁴

Uveďme příklad

${ displaystyle S [ varphi] = int d ^ {d} x vlevo ({ frac {1} {2}} částečné ^ { mu} varphi (x) částečné _ { mu} varphi (x) - { frac {1} {2}} m ^ {2} varphi (x) ^ {2} - { frac { lambda} {4!}} varphi (x) ^ {4 }že jo)}$

pro skutečné poleφ.

Pak,

${ displaystyle { frac { delta S} { delta varphi (x)}} = - částečné _ { mu} částečné ^ { mu} varphi (x) -m ^ {2} varphi (x) - { frac { lambda} {3!}} varphi (x) ^ {3}.}$

Schwinger – Dysonova rovnice pro tento konkrétní příklad je:

${ displaystyle i částečné _ { mu} částečné ^ { mu} { frac { delta} { delta J (x)}} Z [J] + im ^ {2} { frac { delta } { delta J (x)}} Z [J] - { frac {i lambda} {3!}} { frac { delta ^ {3}} { delta J (x) ^ {3} }} Z [J] + J (x) Z [J] = 0}$

Všimněte si, že od té doby

${ displaystyle { frac { delta ^ {3}} { delta J (x) ^ {3}}}}$

není přesně definován, protože

${ displaystyle { frac { delta ^ {3}} { delta J (x_ {1}) delta J (x_ {2}) delta J (x_ {3})}} Z [J]}$

je rozdělení v

X₁, X₂ a X₃,

tato rovnice musí být legalizovaný.

V tomto příkladu je holý propagátor D je Greenova funkce pro ${ displaystyle - částečné ^ { mu} částečné _ { mu} -m ^ {2}}$ a tak SD rovnice jde jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & langle psi mid { mathcal {T}} { varphi (x_ {0}) varphi (x_ {1}) } mid psi rangle [4pt] = {} & iD (x_ {0}, x_ {1}) + { frac { lambda} {3!}} Int d ^ {d} x_ {2} , D (x_ {0 }, x_ {2}) langle psi mid { mathcal {T}} { varphi (x_ {1}) varphi (x_ {2}) varphi (x_ {2}) varphi (x_ {2}) } mid psi rangle end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle { begin {zarovnaný} & langle psi mid { mathcal {T}} { varphi (x_ {0}) varphi (x_ {1}) varphi (x_ {2}) varphi (x_ {3}) } mid psi rangle [6pt] = {} & iD (x_ {0}, x_ {1}) langle psi mid { mathcal {T}} { varphi (x_ {2}) varphi (x_ {3}) } mid psi rangle + iD (x_ {0}, x_ {2}) langle psi mid { mathcal {T}} { varphi (x_ {1}) varphi (x_ {3}) } mid psi rangle [4pt] & {} + iD (x_ {0}, x_ {3}) langle psi mid { mathcal {T}} { varphi (x_ {1}) varphi (x_ {2}) } mid psi rangle [4pt] & {} + { frac { lambda} {3!}} int d ^ {d} x_ {4} , D (x_ {0}, x_ {4}) langle psi mid { mathcal {T}} { varphi ( x_ {1}) varphi (x_ {2}) varphi (x_ {3}) varphi (x_ {4}) varphi (x_ {4}) varphi (x_ {4}) } mid psi rangle end {zarovnáno}}}$

atd.

(Pokud není spontánní porušení symetrie, funkce liché korelace zmizí.)

Viz také

• Funkční renormalizační skupina
• Dysonova rovnice
• Integrální formulace cesty

Reference

Další čtení

Není mnoho knih, které by se zabývaly Schwinger-Dysonovými rovnicemi. Tady jsou tři standardní reference:

• Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber (1980). Teorie kvantového pole. McGraw-Hill.
• R.J. Rivers (1990). Metody integrace cesty v teoriích kvantového pole. Cambridge University Press.
• V.P. Nair (2005). Kvantová teorie pole moderní perspektiva. Springer.

Existuje několik článků o aplikacích Schwinger-Dysonových rovnic s aplikacemi ve speciální oblasti fyziky. Pro aplikace do Kvantová chromodynamika existují

• R. Alkofer a L. v.Smekal (2001). "K infračervenému chování funkcí QCD Green". Phys. Rep. 353: 281. arXiv:hep-ph / 0007355. Bibcode:2001PhR ... 353..281A. doi:10.1016 / S0370-1573 (01) 00010-2.
• CD. Roberts a A.G. Williams (1994). "Dyson-Schwingerovy rovnice a jejich aplikace ve fyzice hadronů". Prog. Část. Nucl. Phys. 33: 477. arXiv:hep-ph / 9403224. Bibcode:1994PrPNP..33..477R. doi:10.1016/0146-6410(94)90049-3.