BRST kvantizace - BRST quantization

v teoretická fyzika, BRST formalismusnebo BRST kvantizace (Kde BRST odkazuje na Becchi, Rouet, Stora a Tyutin ) označuje relativně přísný matematický přístup k kvantování A teorie pole s symetrie měřidla. Kvantování pravidla dříve kvantová teorie pole (QFT) rámce připomínaly „recepty“ nebo „heuristiku“ více než důkazy, zejména v neabelský QFT, kde použití „pole duchů "s povrchně bizarními vlastnostmi je téměř nevyhnutelné z technických důvodů renormalizace a zrušení anomálie.

BRST globální supersymetrie zavedené v polovině 70. let se rychle pochopilo, že jejich zavedení racionalizuje Faddeev – Popovští duchové a jejich vyloučení z „fyzických“ asymptotických stavů při provádění výpočtů QFT. Podstatné je, že tato symetrie integrálu cesty je zachována v pořadí smyček, a tak brání zavedení protikladů, které by mohly zkazit renormalizovatelnost teorií měřidel. Práce dalších autorů o několik let později spojila operátora BRST s existencí přísné alternativy k integrály cesty při kvantování teorie měřidel.

Teprve na konci 80. let, kdy byl QFT přeformulován v svazek vláken jazyk pro aplikaci na problémy v EU topologie nízkodimenzionálních potrubí (topologická kvantová teorie pole ), ukázalo se, že BRST „transformace“ má zásadně geometrický charakter. V tomto světle se „kvantizace BRST“ stává více než alternativním způsobem, jak dosáhnout duchů s anomálií. Je to jiný pohled na to, co představují pole duchů, proč funguje metoda Faddeev – Popov a jak souvisí s použitím Hamiltoniánská mechanika vybudovat rušivý rámec. Vztah mezi měřidlo invariance a „BRST invariance“ nutí volbu Hamiltonovského systému, jehož stavy se skládají z „částic“ podle pravidel známých z kanonická kvantizace formalismus. Tato podmínka esoterické konzistence se tedy blíží vysvětlení jak kvantum a fermiony začneme ve fyzice.

V určitých případech zejména gravitace a supergravitace, BRST musí být nahrazen obecnějším formalismem, Batalin – Vilkovisky formalismus.

Technické shrnutí

BRST kvantizace je a diferenciální geometrický přístup k provádění konzistentních, anomálie -volný, uvolnit rušivé výpočty v neabelský teorie měřidel. Analytická forma BRST "transformace" a její význam pro renormalizace a zrušení anomálie byly popsány uživatelem Carlo Maria Becchi, Alain Rouet, a Raymond Stora v sérii článků, které vyvrcholily v roce 1976 „Renormalizací teorií rozchodů“. Ekvivalentní transformace a mnoho z jejích vlastností byly nezávisle objeveny Igor Viktorovič Tyutin. Jeho význam pro přísné kanonická kvantizace a Teorie Yang – Mills a jeho správná aplikace na Fockový prostor okamžitých konfigurací pole objasnili Taichiro Kugo a Izumi Ojima. Pozdější práce mnoha autorů, zejména Thomase Schückera a Edward Witten, objasnil geometrický význam operátoru BRST a souvisejících oborů a zdůraznil jeho význam pro topologická kvantová teorie pole a teorie strun.

V přístupu BRST se vybírá perturbace upevnění měřidla postup pro princip akce teorie měřidla pomocí diferenciální geometrie z měřidlo svazek na kterém žije teorie pole. Jeden tedy kvantizuje teorie k získání a Hamiltonovský systém v interakční obrázek takovým způsobem, aby se vyřešila „nefyzikální“ pole zavedená postupem upevnění měřidla měřit anomálie aniž by se objevil v asymptotice státy teorie. Výsledkem je sada Feynman vládne pro použití v Řada Dyson rušivá expanze z S-matice které zaručují, že je unitární a obnovitelné u každého pořadí smyček —Zkrátka, technika koherentní aproximace pro vytváření fyzických předpovědí o výsledcích rozptylové experimenty.

Klasický BRST

To souvisí s a supersymplektický potrubí kde jsou čisté operátory odstupňovány integrálem čísla duchů a máme BRST kohomologie.

Gauge transformace v QFT

Z praktického hlediska a kvantová teorie pole se skládá z princip akce a soubor postupů pro provedení rušivé výpočty. Existují i ​​jiné druhy „kontrol rozumu“, které lze provést na základě kvantové teorie pole, aby se zjistilo, zda vyhovuje kvalitativním jevům, jako je uzavření kvarku a asymptotická svoboda. Nicméně, většina z prediktivních úspěchů kvantové teorie pole, od kvantová elektrodynamika do dnešních dnů, byly kvantifikovány párováním S-matice výpočty proti výsledkům rozptyl experimenty.

V počátcích QFT by člověk musel říci, že kvantování a renormalizace recepty byly stejně součástí modelu jako Lagrangeova hustota, zvláště když se spoléhali na mocné, ale matematicky špatně definované cesta integrální formalismus. Rychle vyšlo najevo, že QED je ve své relativní přitažlivosti téměř „magický“ a že většina způsobů, jak by si člověk mohl představit jeho rozšíření, nepřinese racionální výpočty. Jedna třída polních teorií však zůstala slibná: měřicí teorie, ve kterém objekty v teorii představují třídy ekvivalence fyzicky nerozeznatelných polních konfigurací, z nichž jakékoli dvě souvisejí s a transformace měřidla. Tím se zobecňuje myšlenka QED a lokální změna fáze na komplikovanější Lež skupina.

Samotný QED je teorie měřidel obecná relativita, i když se zatím ukázalo, že je odolný vůči kvantizaci, z důvodů souvisejících s renormalizací. Další třída teorií měřidel s a neabelovský měřicí skupina, počínaje Teorie Yang – Mills, se stal použitelným pro kvantování na konci šedesátých a začátku sedmdesátých let, a to především díky práci Ludwig D. Faddeev, Victor Popov, Bryce DeWitt, a Gerardus 't Hooft. Pracovat s nimi však bylo až do zavedení metody BRST velmi obtížné. Metoda BRST poskytla výpočtové techniky a důkazy renormalizovatelnosti potřebné k získání přesných výsledků jak z „nepřerušených“ teorií Yang – Mills, tak z těch, ve kterých Higgsův mechanismus vede k spontánní porušení symetrie. Zástupci těchto dvou typů systémů Yang – Mills—kvantová chromodynamika a elektroslabá teorie —Zjistit se v Standardní model z částicová fyzika.

Ukázalo se, že je mnohem obtížnější prokázat existence neabelovské kvantové teorie pole v přísném smyslu, než získávat přesné předpovědi pomocí semi-heuristických výpočtových schémat. Je to proto, že analýza teorie kvantového pole vyžaduje dva matematicky propojené pohledy: a Lagrangeový systém založeno na akce funkční, složen z pole s odlišnými hodnotami v každém bodě časoprostoru a místní operátoři které na ně působí a Hamiltonovský systém v Dirac obrázek, složen z státy které charakterizují celý systém v daném čase a operátory v terénu které na ně působí. To, co je v teorii měřidla tak obtížné, je to, že objekty teorie nejsou ve skutečnosti lokální pole v časoprostoru; oni jsou pravý invariant místní pole na internetu svazek jistiny a jiné místní sekce přes část svazku měřidel, související s pasivní transformace, produkovat různé Dirac obrázky.

Popis systému jako celku, pokud jde o soubor polí, navíc obsahuje mnoho nadbytečných stupňů volnosti; odlišné konfigurace teorie jsou třídy ekvivalence konfigurací polí, takže dva popisy, které spolu souvisejí transformací měřidla, jsou také ve skutečnosti stejnou fyzickou konfigurací. „Řešení“ teorie kvantovaného měřidla neexistují v přímém prostoru polí s hodnotami v každém bodě časoprostoru, ale v kvocientový prostor (nebo kohomologie ), jejichž prvky jsou třídy ekvivalence konfigurací polí. Ve formalitě BRST se skrývá systém pro parametrizaci variací spojených se všemi možnými aktivními transformacemi měřidel a pro správné zohlednění jejich fyzické irelevance během převodu Lagrangeova systému na Hamiltonovský systém.

Teorie kalibrace a poruchy

Princip měřidlo invariance je nezbytné pro konstrukci proveditelné kvantové teorie pole. Obecně však není možné provést poruchový výpočet v teorii měřidla, aniž bychom nejprve „stanovili měřidlo“ - přidáním výrazů k Lagrangeova hustota principu akce, která „rozbíjí měřicí symetrii“ k potlačení těchto „nefyzických“ stupňů volnosti. Myšlenka upevnění měřidla se vrací do Lorenzův rozchod přístup k elektromagnetismu, který potlačuje většinu nadměrných stupňů volnosti v EU čtyři potenciály při zachování manifestu Lorentzova invariance. Lorenzův rozchod je velkým zjednodušením v porovnání s Maxwellovým přístupem k intenzitě pole klasická elektrodynamika, a ilustruje, proč je užitečné řešit nadměrné stupně volnosti v zastoupení předmětů v teorii v Lagrangeově fázi, než přešli k Hamiltoniánská mechanika přes Legendární transformace.

Hamiltoniánská hustota souvisí s Lieovým derivátem Lagrangeovy hustoty vzhledem k jednotkovému horizontálnímu vektorovému poli na svazku měřidel. V kvantově mechanickém kontextu je obvykle škálován faktorem ${displaystyle ihbar}$. Integrace po částech přes vesmírný průřez obnoví podobu integrand známé z kanonická kvantizace. Protože definice Hamiltonian zahrnuje jednotkové časové pole vektoru v základním prostoru, a vodorovný zdvih do prostoru svazku a vesmírný povrch "normální" (v Minkowského metrika ) na vektorové pole jednotkového času v každém bodě základního potrubí, je závislé na: spojení a volba Lorentze rám, a zdaleka není globálně definován. Je to však základní složka v rušivém rámci teorie kvantového pole, do které vstupuje kvantizovaný Hamiltonian prostřednictvím Řada Dyson.

Pro perturbativní účely shromažďujeme konfiguraci všech polí naší teorie na celém trojrozměrném vodorovném průřezu prostoru P do jednoho objektu (a Fock stát ), a poté popište "vývoj" tohoto stavu v čase pomocí interakční obrázek. The Fockový prostor je překlenuta vícesložkové vlastní stavy části „nerušený“ nebo „neinterakční“ ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$ z Hamiltonian ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Okamžitý popis libovolného Fockova stavu je tedy souhrnem vlastních amplitudově vážených součtů ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$. V interakčním obrázku spojujeme Fockovy stavy v různých časech tím, že předepisujeme, že každý vlastní stav neporušeného Hamiltoniana zažívá konstantní rychlost fázové rotace úměrnou jeho energie (korespondence vlastní číslo nerušeného Hamiltoniana).

Proto se v aproximaci nultého řádu sada vah charakterizujících Fockův stav v průběhu času nemění, ale odpovídající konfigurace pole ano. Při vyšších aproximacích se také mění váhy; urychlovač experimenty v vysokoenergetická fyzika množství měření rychlosti změny těchto vah (nebo spíše jejich integrálů nad distribucemi představujícími nejistotu v počátečních a konečných podmínkách rozptylové události). Série Dyson zachycuje účinek nesrovnalosti mezi ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$ a pravý Hamiltonian ${displaystyle {mathcal {H}}}$ve formě výkonové řady v vazební konstanta G; je to hlavní nástroj pro vytváření kvantitativních předpovědí z kvantové teorie pole.

K použití řady Dyson k výpočtu čehokoli je potřeba více než Lagrangeova hustota invariantní k měřidlu; jeden také potřebuje kvantifikaci a předpisy pro stanovení měřidla, které vstupují do Feynman vládne teorie. Série Dyson produkuje nekonečné integrály různých druhů, když jsou aplikovány na hamiltonián konkrétního QFT. Je to částečně proto, že je třeba vzít v úvahu všechny dosud použitelné kvantové teorie polí efektivní teorie pole, popisující pouze interakce na určitém rozsahu energetických měřítek, které můžeme experimentálně zkoumat, a proto jsou zranitelné ultrafialové divergence. Ty jsou tolerovatelné, pokud je lze zvládnout standardními technikami renormalizace; nejsou tak tolerovatelné, když vyústí v nekonečnou řadu nekonečných renormalizací nebo, hůře, ve zjevně nefyzické předpovědi, jako je nezrušení anomálie měřidla. Mezi renormalizovatelností a invariancí měřidla existuje hluboký vztah, který se snadno ztratí v průběhu pokusů o získání přijatelných Feynmanových pravidel stanovením měřidla.

Před BRST přístupy k upevnění měřidla

Tradiční předpisy pro stanovení obrysů elektrodynamika kontinua vyberte jedinečného zástupce z každé třídy ekvivalence související s transformací měřidla pomocí a rovnice omezení tak jako Lorenzův rozchod ${displaystyle partial ^ {mu} A_ {mu} = 0}$. Tento druh předpisu lze aplikovat na Abelian teorie měřidla jako QED, i když to má za následek určité potíže s vysvětlením, proč Totožnosti sboru přenosu klasické teorie do kvantové teorie - jinými slovy proč Feynmanovy diagramy obsahující interní podélně polarizované virtuální fotony nepřispívejte do S-matice výpočty. Tento přístup také dobře nezobecňuje neabelovské rozchodové skupiny jako SU (2) Yang – Mills a elektroslabá teorie a SU (3) ze dne kvantová chromodynamika. Trpí to Gribovovy nejasnosti a od obtížnosti definovat omezení upevnění měřidla, které je v určitém smyslu „ortogonální“, až po fyzicky významné změny v konfiguraci pole.

Sofistikovanější přístupy se nepokoušejí použít a delta funkce omezení míry volnosti transformace měřidla. Namísto „upevnění“ měřidla na konkrétní „omezující povrch“ v konfiguračním prostoru je možné prolomit svobodu měřidla dalším, nemagneticky neměnným termínem přidaným k Lagrangeově hustotě. Aby se reprodukovaly úspěchy upevnění měřidla, je tento termín zvolen jako minimální pro výběr měřidla, které odpovídá požadovanému omezení, a kvadraticky závisí na odchylce měřidla od omezujícího povrchu. Podle aproximace stacionární fáze na kterém Feynmanova cesta integrální je založen, bude dominantní příspěvek k poruchovým výpočtům pocházet z konfigurací pole v sousedství omezujícího povrchu.

Porušující expanze spojená s tímto Lagrangeovým pomocí metody funkční kvantování, se obecně označuje jako R_ξ měřidlo. Snižuje se v případě Abelianova rozchodu U (1) na stejnou sadu Feynman vládne který získá metodou kanonická kvantizace. Ale je tu důležitý rozdíl: svoboda rozbitého rozchodu se objeví v funkční integrál jako další faktor v celkové normalizaci. Tento faktor lze vytáhnout z perturbativní expanze (a ignorovat), když příspěvek k Lagrangeově poruchě podél stupňů volnosti je nezávislý na konkrétní konfiguraci „fyzického“ pole. Toto je podmínka, která neplatí pro neabelovské skupiny měřidel. Pokud někdo ignoruje problém a pokusí se použít Feynmanova pravidla získaná z „naivní“ funkční kvantizace, zjistí, že jeho výpočty obsahují neodstranitelné anomálie.

Problém poruchových výpočtů v QCD byl vyřešen zavedením dalších polí známých jako Faddeev – Popovští duchové, jejíž příspěvek k Lagrangeově pevnému rozchodu kompenzuje anomálii způsobenou spojením „fyzických“ a „nefyzických“ poruch poruchového pole jiného než Abelianova. Z hlediska funkční kvantizace tvoří „nefyzikální“ poruchy konfigurace pole (transformace měřidla) podprostor prostoru všech (nekonečně malých) poruch; v neabelovském případě závisí vložení tohoto podprostoru do většího prostoru na konfiguraci, kolem které dochází k narušení. Duchový výraz v Lagrangeově představuje funkční determinant z Jacobian tohoto vložení a vlastnosti pole duchů jsou diktovány exponentem požadovaným na determinantu, aby se opravila funkční opatření na zbývajících „fyzických“ poruchových osách.

Matematický přístup k BRST

Stavba BRST platí pro situaci a hamiltonovská akce kompaktní, propojené Lieovy skupiny G na fázový prostor M.^[1][2] Nechat ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ být Lieovou algebrou G a ${displaystyle 0in {mathfrak {g}} ^ {*}}$ běžná hodnota momentová mapa ${displaystyle Phi: M o {mathfrak {g}} ^ {*}}$. Nechat ${displaystyle M_ {0} = Phi ^ {- 1} (0)}$. Předpokládejme G-akce zapnuta M₀ je zdarma a správné a vezměte v úvahu prostor ${displaystyle {widetilde {M}} = M_ {0} / G}$ z G-obrátí se M₀, který je také známý jako a Symplektická redukce kvocient ${displaystyle {widetilde {M}} = M // G}$.

Nejprve pomocí pravidelné posloupnosti definování funkcí M₀ uvnitř M, postavte a Koszul komplex

${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} často C ^ {infty} (M).}$

Diferenciál δ v tomto komplexu je lichý C^∞(M) - lineární derivace odstupňované C^∞(M)-algebra ${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} další C ^ {infty} (M)}$. Tato lichá derivace je definována rozšířením homomorphimu Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {g}} o C ^ {infty} (M)}$ z hamiltonovská akce. Výsledný komplex Koszul je komplexem Koszul v ${displaystyle S ({mathfrak {g}})}$-modul C^∞(M), kde ${displaystyle S ({mathfrak {g}})}$ je symetrická algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, a struktura modulu pochází z kruhového homomorfismu ${displaystyle S ({mathfrak {g}}) o C ^ {infty} (M)}$ vyvolané hamiltonovská akce ${displaystyle {mathfrak {g}} o C ^ {infty} (M)}$.

Tento Koszul komplex je rozlišení ${displaystyle S ({mathfrak {g}})}$-modul ${displaystyle C ^ {infty} (M_ {0})}$, tj.,

${displaystyle H ^ {j} (Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} další C ^ {infty} (M), delta) = {egin {cases} C ^ {infty} (M_ {0}) & j = 0 0 & jeq 0end {cases}}}$

Poté zvažte komplex řetězců Chevalley-Eilenberg pro komplex Koszul ${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} další C ^ {infty} (M)}$ považován za modul dg nad Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {g}}}$:

${displaystyle K ^ {cdot, cdot} = C ^ {cdot} vlevo ({mathfrak {g}}, Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} další C ^ {infty} (M) ight) = Lambda ^ { cdot} {mathfrak {g}} ^ {*} další Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} další C ^ {infty} (M).}$

„Horizontální“ diferenciál ${displaystyle d: K ^ {i, cdot} o K ^ {i + 1, cdot}}$ je definována na koeficientech

${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} další C ^ {infty} (M)}$

působením ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a dál ${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} ^ {*}}$ jako vnější derivace pravo-invariantních diferenciálních forem na Lieově skupině G, jehož Lie algebra je ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.

Let Tot (K.) být takovým komplexem

${displaystyle operatorname {Tot} (K) ^ {n} = igoplus olimits _ {i-j = n} K ^ {i, j}}$

s diferenciálem D = d + δ. Skupiny kohomologie (Tot (K.), D) se počítají pomocí spektrální sekvence spojené s dvojitým komplexem ${displaystyle (K ^ {cdot, cdot}, d, delta)}$.

První člen spektrální sekvence počítá cohomologii "vertikálního" diferenciálního δ:

${displaystyle E_ {1} ^ {i, j} = H ^ {j} (K ^ {i, cdot}, delta) = Lambda ^ {i} {mathfrak {g}} ^ {*} další C ^ {infty } (M_ {0})}$, pokud j = 0 a jinak nula.

První člen spektrální sekvence lze interpretovat jako komplex vertikálních diferenciálních forem

${displaystyle (Omega _ {operatorname {vert}} ^ {cdot} (M_ {0}), d_ {operatorname {vert}})}$

pro svazek vláken ${displaystyle M_ {0} o {widetilde {M}}}$.

Druhý člen spektrální sekvence vypočítává kohomologii „horizontálního“ diferenciálu d na ${displaystyle E_ {1} ^ {cdot, cdot}}$:

${displaystyle E_ {2} ^ {i, j} cong H ^ {i} (E_ {1} ^ {cdot, j}, d) = C ^ {infty} (M_ {0}) ^ {g} = C ^ {infty} ({widetilde {M}})}$, pokud ${displaystyle i = j = 0}$ a jinak nula.

Spektrální sekvence se zhroutí na druhém členu, takže ${displaystyle E_ {infty} ^ {i, j} = E_ {2} ^ {i, j}}$, který je koncentrován v nulovém stupni.

Proto,

${displaystyle H ^ {p} (operatorname {Tot} (K), D) = C ^ {infty} (M_ {0}) ^ {g} = C ^ {infty} ({widetilde {M}})}}$, pokud p = 0 a 0 jinak.

Operátor BRST a asymptotický Fockův prostor

Jsou třeba dvě důležité poznámky o operátorovi BRST. Nejprve místo práce se skupinou měřidel G lze použít pouze akci algebry měřidla ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ na polích (funkce ve fázovém prostoru).

Zadruhé, variace jakéhokoli „BRST přesná forma " s_BX s ohledem na transformaci místního rozchodu dλ je

${displaystyle left [i_ {delta lambda}, s_ {B} ight] s_ {B} X = i_ {delta lambda} (s_ {B} s_ {B} X) + s_ {B} vlevo (i_ {delta lambda} (s_ {B} X) ight) = s_ {B} vlevo (i_ {delta lambda} (s_ {B} X) ight),}$

což je samo o sobě přesná forma.

Ještě důležitější pro hamiltonovský perturbativní formalizmus (který se neprovádí na svazku vláken, ale na místní části), přidání BRST přesného termínu k invariantní hustotě Lagrangeovy hustoty zachovává vztah s_BX = 0. Jak uvidíme, znamená to, že existuje související operátor Q_B o státním prostoru, pro který ${displaystyle [Q_ {B}, {mathcal {H}}] = 0}$—I. e., operátorem BRST ve státech Fock je a konzervovaný náboj z Hamiltonovský systém. To znamená, že operátor vývoje času ve výpočtu Dysonovy řady se nevyvíjí konfigurace pole, která se bude řídit ${displaystyle Q_ {B} | Psi _ {i} úhel = 0}$ do pozdější konfigurace s ${displaystyle Q_ {B} | Psi _ {f} úhel eq 0}$ (nebo naopak).

Dalším způsobem, jak se dívat na nilpotenci operátora BRST, je říci, že jeho obraz (prostor BRST přesné formy ) leží zcela uvnitř jádro (prostor BRST uzavřené formy ). („Pravý“ Lagrangian, o kterém se předpokládá, že je invariantní při transformacích místního rozchodu, je v jádře operátoru BRST, ale ne v jeho obrazu.) Předchozí argument říká, že můžeme omezit náš vesmír počátečních a konečných podmínek na asymptotické „stavy“ „- polní konfigurace v časově blízkém nekonečnu, kde je Lagrangeova interakce„ vypnuta “- leží v jádře Q_B a přesto získat jednotnou matici rozptylu. (BRST uzavřené a přesné stavy jsou definovány podobně jako BRST uzavřená a přesná pole; uzavřené stavy jsou zničeny Q_B, zatímco přesné stavy jsou ty, které lze získat aplikací Q_B na libovolnou konfiguraci libovolného pole.)

Můžeme také potlačit stavy, které leží uvnitř obrazu Q_B při definování asymptotických stavů naší teorie - ale uvažování je trochu jemnější. Jelikož jsme předpokládali, že „skutečný“ Lagrangian naší teorie je invariant měřidla, jsou skutečné „stavy“ našeho Hamiltonovského systému třídami ekvivalence v rámci transformace místního měřidla; jinými slovy, dva počáteční nebo konečné stavy v hamiltonovském obrázku, které se liší pouze přesným stavem BRST, jsou fyzicky ekvivalentní. Použití předpisu pro překonání přesného rozchodu BRST však nezaručuje, že interakce Hamiltonian zachová jakýkoli konkrétní podprostor konfigurací uzavřeného pole, který můžeme nazvat „ortogonální“ do prostoru přesných konfigurací. (Toto je zásadní bod, který je v učebnicích QFT často nesprávně zpracován. Neexistuje žádný a priori vnitřní produkt na polních konfiguracích zabudovaných do principu akce; konstruujeme takový vnitřní produkt jako součást našeho hamiltonovského poruchového aparátu.)

Zaměřujeme se proto na vektorový prostor uzavřených konfigurací BRST v určitou dobu se záměrem převést jej na a Fockový prostor mezilehlých stavů vhodných pro hamiltonovskou poruchu. Za tímto účelem jej vybavíme operátoři žebříků pro eigenkonfigurace energie-hybnosti (částice) každého pole doplněné příslušnými (anti) komutačními pravidly, stejně jako pozitivní semi-definitivní vnitřní produkt. Požadujeme, aby vnitřní produkt být jednotné číslo výlučně ve směrech, které odpovídají BRST přesným vlastním stavům neporušeného Hamiltoniana. Tím je zajištěno, že si člověk může ze dvou tříd ekvivalence konfigurací asymptotického pole, které odpovídají konkrétním počátečním a konečným vlastním stavům (nepřerušeného) Hamiltonianova pole s volným polem, svobodně vybrat jakoukoli dvojici uzavřených Fockových stavů, které máme rádi.

Požadované kvantizační recepty také poskytnou a kvocient Fockový prostor je izomorfní s BRST cohomology, ve kterém je každá uzavřená třída ekvivalence BRST přechodných stavů (liší se pouze přesným stavem) reprezentována právě jedním stavem, který neobsahuje žádné kvantity přesných polí BRST. Toto je Fockův prostor, pro který chceme asymptotické stavy teorie; i když obecně nebudeme úspěšní při výběru konkrétní konečné konfigurace pole, na kterou je měřidlo fixováno Lagrangian dynamika by vyvinula tuto počáteční konfiguraci, singularita vnitřního produktu podél BRST přesných stupňů volnosti zajišťuje, že dostaneme správné položky pro matici fyzického rozptylu.

(Vlastně bychom pravděpodobně měli stavět a Kerinův prostor pro BRST-uzavřené přechodné stavy Fock, přičemž operátor obrácení času hraje roli „základní symetrie“ vztahující se k Lorentzově invariantním a pozitivním semi-definitivním vnitřním produktům. Asymptotický stavový prostor je pravděpodobně Hilbertův prostor získaný kvocicí BRST přesných stavů z tohoto Kerinova prostoru.)

Stručně řečeno, žádné pole zavedené jako součást postupu upevnění měřidla BRST se neobjeví v asymptotických stavech teorie měřidla. To však neznamená, že bychom se mohli obejít bez těchto „nefyzických“ polí v přechodných stavech poruchového výpočtu! Je to proto, že perturbativní výpočty se provádějí v interakční obrázek. Implicitně zahrnují počáteční a konečný stav neinterakčního hamiltoniánu ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$, postupně transformované do stavů plného hamiltoniánu v souladu s adiabatická věta "zapnutím" interakce Hamiltonian (spojka měřidla). Expanze Řada Dyson ve smyslu Feynmanovy diagramy bude zahrnovat vrcholy, které spojují „fyzické“ částice (ty, které se mohou objevit v asymptotických stavech volného hamiltoniánu) s „nefyzickými“ částicemi (stavy polí, které žijí mimo jádro z s_B nebo uvnitř obraz z s_B) a vrcholy, které navzájem spojují „nefyzické“ částice.

Odpověď Kugo – Ojima na otázky unitarity

T. Kugo a I. Ojima jsou obecně připočítáni s objevem hlavního QCD uzavření barev kritérium. Jejich role při získávání správné verze BRST formalismu v Lagrangeově rámci se jeví méně uznávaná. Je poučné zkontrolovat jejich variantu transformace BRST, která zdůrazňuje poustevník vlastnosti nově zavedených polí, než budete pokračovat ze zcela geometrického úhlu. Pevná Lagrangeova hustota měřidla je níže; dva členy v závorkách tvoří spojení mezi sektory měřidla a duchů a konečný člen se stává Gaussovou váhou pro funkční míru na pomocném poli B.

${displaystyle {mathcal {L}} = {mathcal {L}} _ {extrm {matter}} (psi ,, A_ {mu} ^ {a}) - {frac {1} {4}} F_ {mu u} ^ {a} F ^ {a ,, mu u} - (i (částečné ^ {mu} {ar {c}} ^ {a}) D_ {mu} ^ {ab} c ^ {b} + (částečné ^ {mu} B ^ {a}) A_ {mu} ^ {a}) + {frac {1} {2}} alpha _ {0} B ^ {a} B ^ {a}}$

The Faddeev – Popov duch pole C je mezi novými poli naší teorie měřidla pevná v tom, že má geometrický význam přesahující formální požadavky postupu BRST. Jedná se o verzi Maurer – Cartanova forma na ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$, který se vztahuje na každé vertikální vektorové pole invariantní vpravo ${displaystyle delta lambda in V {mathfrak {E}}}$ k jeho reprezentaci (až do fáze) jako a ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-hodnotové pole. Toto pole musí vstoupit do vzorců pro nekonečně malé transformace měřidla na objektech (například fermiony ψ, měřicí bosony A_μa duch C sám), které nesou netriviální zastoupení skupiny měřidel. Transformace BRST vzhledem k δλ je tedy:

${displaystyle {egin {aligned} delta psi _ {i} & = delta lambda D_ {i} c delta A_ {mu} & = delta lambda D_ {mu} c delta c & = - delta lambda {frac {g} { 2}} [c, c] delta {ar {c}} & = idelta lambda B delta B & = 0end {zarovnáno}}}$

Zde jsme vynechali podrobnosti sektoru hmoty ψ a ponechali jsme na něm formu Wardova operátoru nespecifikovanou; ty jsou nedůležité, pokud je zobrazení algebry měřidla na polích hmoty v souladu s jejich vazbou na δA_μ. Vlastnosti ostatních polí, která jsme přidali, jsou v zásadě analytické, nikoli geometrické. Předpojatost, kterou jsme zavedli ve vztahu k ${displaystyle partial ^ {mu} A_ {mu} = 0}$ je závislá na rozchodu a nemá žádný zvláštní geometrický význam. Anti-duch ${displaystyle {ar {c}}}$ není nic jiného než Lagrangeův multiplikátor pro člen upevňující měřidlo a vlastnosti skalárního pole B jsou zcela diktovány vztahem ${displaystyle delta {ar {c}} = idelta lambda B}$. (Všechna nová pole jsou Hermitianova v konvencích Kugo – Ojima, ale parametr δλ je antihermitský „anti-dojíždění“ C-číslo ". To má za následek určitou zbytečnou trapnost, pokud jde o fáze a předávání nekonečně malých parametrů operátory; to bude vyřešeno změnou konvencí v níže uvedeném geometrickém zpracování.)

Ze vztahu operátora BRST k externímu derivátu a ducha Faddeev – Popov k formě Maurer – Cartan již víme, že duch C odpovídá (až do fáze) a ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-hodnota 1-formuláře na ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$. Za účelem integrace výrazu jako ${displaystyle -i (částečné ^ {mu} {ar {c}}) D_ {mu} c}$ být smysluplný, anti-duch ${displaystyle {ar {c}}}$ musí nést reprezentace těchto dvou Lieových algeber - vertikální ideál ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ a měřicí algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$—Dvojitý s těmi, které nosí duch. Z geometrického hlediska ${displaystyle {ar {c}}}$ musí být vlákno dvojí až ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a o jednu pozici méně než a špičková forma na ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$. Stejně tak pomocné pole B musí nést stejné zastoupení ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ (až do fáze) jako ${displaystyle {ar {c}}}$, jakož i zastoupení ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ duální jeho triviální reprezentaci na A_μ—I. např. B je vlákno ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-duální horní forma na ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$.

Zaměřme se krátce na jednočásticové stavy teorie, v adiabaticky oddělené hranici G → 0. Ve Fockově prostoru hamburgianů s pevným rozchodem existují dva druhy kvant, o kterých se domníváme, že budou ležet zcela mimo jádro operátora BRST: ti Faddeev – Popov anti-duch ${displaystyle {ar {c}}}$ a boson předního polarizovaného obrysu. Důvodem je, že žádná kombinace polí obsahuje ${displaystyle {ar {c}}}$ je zničen s_B a přidali jsme do lagrangiánského členu rozchod, který se rovná divergenci

${displaystyle s_ {B} vlevo ({ar {c}} vlevo (ipartial ^ {mu} A_ {mu} - {frac {1} {2}} alpha _ {0} s_ {B} {ar {c}}) ight) ight).}$

Podobně existují dva druhy kvant, které budou ležet zcela v obrazu operátora BRST: duchů Faddeev – Popov C a skalární pole B, který je „sežrán“ doplněním čtverce ve funkčním integrálu, aby se stal zpětně polarizovaným bosonem měřidla. Toto jsou čtyři typy „nefyzických“ kvant, které se neobjeví v asymptotických stavech poruchového výpočtu --li naše pravidla kvantizace jsou správná.

Anti-duch je považován za Lorentz skalární kvůli Poincarého invariance v ${displaystyle -i (částečné ^ {mu} {ar {c}}) D_ {mu} c}$. Jeho (anti) komutační zákon ve vztahu k C—I. e., jeho kvantizační předpis, který ignoruje věta o spinových statistikách darováním Statistiky Fermi – Dirac částice spin-0 - bude dána požadavkem, že vnitřní produkt na naší Fockový prostor asymptotických stavů jednotné číslo podél směrů odpovídajících operátorům zvedání a spouštění nějaké kombinace ne-BRST-uzavřených a BRST-přesných polí. Toto poslední tvrzení je klíčem k „BRST kvantizaci“, na rozdíl od pouhé „BRST symetrie“ nebo „BRST transformace“.

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Říjen 2009)

(Je třeba vyplnit v jazyce BRST cohomology, s odkazem na léčbu asymptotickým Fockovým prostorem Kugo – Ojima.)

Měřicí svazky a vertikální ideál

Abychom dosáhli spravedlnosti metody BRST, musíme přejít z obrazu „pole s algebrickou hodnotou v Minkowského prostoru“ typického pro texty teorie kvantové pole (a pro výše uvedenou expozici) na jazyk svazky vláken, ve kterém existují dva zcela odlišné způsoby pohledu na transformaci měřidla: jako změnu místní sekce (také známé v obecná relativita jako pasivní transformace ) nebo jako zarazit konfigurace pole podél a vertikální difeomorfismus z hlavní balíček. Je to druhý druh transformace měřidla, který vstupuje do metody BRST. Na rozdíl od pasivní transformace je globálně dobře definovaná na hlavním svazku s jakoukoli strukturní skupinou v libovolném potrubí. (Kvůli konkrétnosti a důležitosti pro konvenční QFT se však tento článek bude zabývat případem svazku hlavních měřidel s kompaktním vláknem přes 4rozměrný Minkowského prostor.)

A svazek jistiny P přes 4-rozdělovač M je místně izomorfní s U × F, kde U ⊂ R⁴ a vlákno F je izomorfní s a Lež skupina G, měřicí skupina teorie pole (jedná se o izomorfismus rozmanitých struktur, nikoli skupinových struktur; v. neexistuje žádný speciální povrch P odpovídá 1 in G, takže je vhodnější říci, že vlákno F je G-torzor ). Balíček (fyzického) hlavního měřidla tedy souvisí s (matematickým) hlavní G-svazek ale má více struktury. Jeho nejzákladnější vlastnost jako a svazek vláken je „projekce do základního prostoru“ π:P → M, který definuje "vertikální" směry na P (ti, kteří leží uvnitř vlákna π⁻¹(p) přes každý bod p v M). Jako měřidlo svazek má to levá akce z G na P který respektuje strukturu vláken, a jako a hlavní balíček má také správná akce z G na P který také respektuje strukturu vláken a dojíždí levou akcí.

Levá akce strukturní skupina G na P odpovídá pouhé změně souřadnicový systém na jednotlivém vlákně. (Globální) správná akce R_G : P → P za pevnou G v G odpovídá skutečnému automorfismus každého vlákna a tedy na mapu P pro sebe. K tomu, aby P kvalifikovat se jako jistina G-bundle, globální správná akce každého z nich G v G musí být automorfismem s ohledem na rozmanitou strukturu P s hladkou závislostí na G—I. např. difeomorfismus P × G → P.

Existence akce globálního práva skupiny struktur vybírá zvláštní třídu pravý neměnný geometrické objekty na P—Té, které se nemění, když jsou stáhl podél R_G pro všechny hodnoty G v G. Nejdůležitější pravé invariantní objekty na hlavním svazku jsou pravý invariantní vektorová pole, které tvoří ideál ${displaystyle {mathfrak {E}}}$ z Lež algebra z nekonečně malé difeomorfismy na P. Ta vektorová pole P které jsou jak pravý invariantní, tak vertikální tvoří ideál ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ z ${displaystyle {mathfrak {E}}}$, který má vztah k celému balíčku P analogicky k tomu Lež algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ z měřicí skupina G jednotlivci G-toror nebo vlákno F.

Zajímavá „teorie pole“ je definována jako sada „polí“ (hladké mapy do různých vektorových prostorů) definovaných na svazku hlavních měřidel P. Různá pole nesou různá reprezentace skupiny měřidel Ga možná i dalších skupiny symetrie of the manifold such as the Poincaré skupina. One may define the space Pl z local polynomials in these fields and their derivatives. The fundamental Lagrangian density of one's theory is presumed to lie in the subspace Pl₀ of polynomials which are real-valued and invariant under any unbroken non-gauge symmetry groups. It is also presumed to be invariant not only under the left action (passive coordinate transformations) and the global right action of the gauge group but also under local gauge transformations —zarazit podél infinitesimal diffeomorphism associated with an arbitrary choice of right invariant vertical vector field ${displaystyle epsilon in V{mathfrak {E}}}$.

Identifying local gauge transformations with a particular subspace of vector fields on the manifold P equips us with a better framework for dealing with infinite-dimensional infinitesimals: diferenciální geometrie a vnější počet. The change in a scalar field under pullback along an infinitesimal automorphism is captured in the Derivát lži, and the notion of retaining only the term linear in the scale of the vector field is implemented by separating it into the inner derivative a vnější derivace. (In this context, "forms" and the exterior calculus refer exclusively to degrees of freedom which are dual to vector fields on the gauge bundle, not to degrees of freedom expressed in (Greek) tensor indices on the base manifold or (Roman) matrix indices on the gauge algebra.)

The Lie derivative on a manifold is a globally well-defined operation in a way that the parciální derivace není. The proper generalization of Clairautova věta to the non-trivial manifold structure of P je dán Lie bracket of vector fields a nilpotence z vnější derivace. And we obtain an essential tool for computation: the generalized Stokes theorem, which allows us to integrate by parts and drop the surface term as long as the integrand drops off rapidly enough in directions where there is an open boundary. (This is not a trivial assumption, but can be dealt with by renormalizace techniky jako dimenzionální regularizace as long as the surface term can be made gauge invariant.)

BRST formalismus

v teoretická fyzika, BRST formalismus is a method of implementing omezení první třídy. The letters BRST stand for Becchi, Rouet, Stora, and (independently) Tyutin who discovered this formalism. It is a sophisticated method to deal with quantum physical theories with měřidlo invariance. For example, the BRST methods are often applied to teorie měřidel and quantized obecná relativita.

Quantum version

The space of states is not a Hilbert space (see below). Tento vektorový prostor je obojí Z₂- hodnoceno a R- hodnoceno. If you wish, you may think of it as a Z₂ × R-odstupňovaný vektorový prostor. The former grading is the parity, which can either be even or odd. The latter grading is the duchové číslo. Všimněte si, že je R a ne Z because unlike the classical case, we can have nonintegral ghost numbers. Operators acting upon this space are also Z₂ × R-odstupňované in the obvious manner. Zejména, Q is odd and has a ghost number of 1.

Nechat H_n be the subspace of all states with ghost number n. Pak, Q omezeno na H_n mapy H_n na H_n+1. Od té doby Q² = 0, we have a komplex řetězců popisující a kohomologie.

The physical states are identified as elements of kohomologie of the operator Q, i.e. as vectors in Ker(Q_n+1)/Im(Q_n). The BRST theory is in fact linked to the standard resolution v Cohomologie lže algebry.

Recall that the space of states is Z₂-graded. Li A is a pure graded operator, then the BRST transformation maps A do [Q, A) where [ , ) is the superkomutátor. BRST-invariant operators are operators for which [Q, A) = 0. Since the operators are also graded by ghost numbers, this BRST transformation also forms a cohomology for the operators since [Q, [Q, A)) = 0.

Although the BRST formalism is more general than the Faddeev-Popov gauge fixing, in the special case where it is derived from it, the BRST operator is also useful to obtain the right Jacobian associated with constraints that gauge-fix the symmetry.

The BRST operator is a supersymetrie. Generuje Lež superalgebra with a zero-dimensional even part and a one-dimensional odd part spanned by Q. [Q, Q) = {Q, Q} = 0 where [ , ) is the Leží superpásmo (tj. Q² = 0). To znamená Q působí jako antiderivace.

Protože Q je Hermitian and its square is zero but Q itself is nonzero, this means the vector space of all states prior to the cohomological reduction has an indefinite norm! This means it is not a Hilbertův prostor.

For more general flows which can't be described by first class constraints, see Batalin–Vilkovisky formalism.

Příklad

Pro zvláštní případ měřicí teorie (of the usual kind described by sekce a hlavní G-svazek ) with a quantum formulář připojení A, a Poplatek BRST (sometimes also a BRS charge) is an operátor obvykle označeno Q.

Nech ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-hodnota gauge fixing conditions be ${displaystyle G=xi partial ^{mu }A_{mu }}$ where ξ is a positive number determining the gauge. There are many other possible gauge fixings, but they will not be covered here. The fields are the ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-valued connection form A, ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-valued scalar field with fermionic statistics, b and c and a ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-valued scalar field with bosonic statistics B. c deals with the gauge transformations whereas b and B deal with the gauge fixings. There actually are some subtleties associated with the gauge fixing due to Gribov ambiguities but they will not be covered here.

${displaystyle QA=Dc}$

kde D je kovarianční derivace.

${displaystyle Qc={ frac {i}{2}}[c,c]_{L}}$

where [ , ]_L je Ležící závorka.

${displaystyle QB=0}$

${displaystyle Qb=B}$

Q je antiderivace.

The BRST Lagrangeova hustota

${displaystyle {mathcal {L}}=-{frac {1}{4g^{2}}}operatorname {Tr} [F^{mu u }F_{mu u }]+{1 over 2g^{2}}operatorname {Tr} [BB]-{1 over g^{2}}operatorname {Tr} [BG]-{xi over g^{2}}operatorname {Tr} [partial ^{mu }bD_{mu }c]}$

While the Lagrangian density is not BRST invariant, its integral over all of spacetime, the action, is.

Operátor Q je definován jako

${displaystyle Q=c^{i}left(L_{i}-{frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}ight)}$

kde ${displaystyle c^{i},b_{i}}$ jsou Faddeev – Popovští duchové a antighosts (fields with a negative duchové číslo ), respectively, L_i jsou nekonečně malé generátory z Lež skupina, a ${displaystyle f_{ij}{}^{k}}$ are its structure constants.

Viz také

• Batalin–Vilkovisky formalism
• Kvantová chromodynamika

Reference

Citace

Textbook treatments

• Chapter 16 of Peskin & Schroeder (ISBN  0-201-50397-2 nebo ISBN  0-201-50934-2) applies the "BRST symmetry" to reason about anomaly cancellation in the Faddeev–Popov Lagrangian. This is a good start for QFT non-experts, although the connections to geometry are omitted and the treatment of asymptotic Fock space is only a sketch.
• Chapter 12 of M. Göckeler and T. Schücker (ISBN  0-521-37821-4 nebo ISBN  0-521-32960-4) discusses the relationship between the BRST formalism and the geometry of gauge bundles. It is substantially similar to Schücker's 1987 paper.

Matematické zpracování

• Figueroa-O'Farrill, J. M.; Kimura, T. (1991). "Geometric BRST Quantization I. Prequantization". Commun. Matematika. Phys. Springer-Verlag. 136 (2): 209–229. Bibcode:1991CMaPh.136..209F. doi:10.1007/BF02100022. ISSN  0010-3616. PAN  1096113. S2CID  120119621.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kostant, B.; Sternberg, S. (1987). "Symplectic reduction, BRS cohomology, and infinite-dimensional Clifford algebras". Ann. Phys. Elsevier. 176 (1): 49–113. Bibcode:1987AnPhy.176...49K. doi:10.1016/0003-4916(87)90178-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Primární literatura

Original BRST papers:

• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), „Local BRST cohomology in gauge theory“, Fyzikální zprávy. Revizní sekce dopisů z fyziky, 338 (5): 439–569, arXiv:hep-th / 0002245, Bibcode:2000PhR ... 338..439B, doi:10.1016 / S0370-1573 (00) 00049-1, ISSN  0370-1573, PAN  1792979, S2CID  119420167
• Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1974). "The abelian Higgs Kibble model, unitarity of the S-operator". Fyzikální písmena B. Elsevier BV. 52 (3): 344–346. doi:10.1016/0370-2693(74)90058-6. ISSN  0370-2693.
• Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1975). "Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model". Komunikace v matematické fyzice. Springer Science and Business Media LLC. 42 (2): 127–162. doi:10.1007/bf01614158. ISSN  0010-3616. S2CID  120552882.
• Becchi, C; Rouet, A; Stora, R (1976). "Renormalizace teorií rozchodů". Annals of Physics. Elsevier BV. 98 (2): 287–321. doi:10.1016/0003-4916(76)90156-1. ISSN  0003-4916.
• I.V. Tyutin, "Gauge Invariance in Field Theory and Statistical Physics in Operator Formalism", Lebedev Physics Institute preprint 39 (1975), arXiv:0812.0580.
• Kugo, Taichiro; Ojima, Izumi (1979). "Local Covariant Operator Formalism of Non-Abelian Gauge Theories and Quark Confinement Problem". Průběh doplňku teoretické fyziky. Oxford University Press (OUP). 66: 1–130. doi:10.1143/ptps.66.1. ISSN  0375-9687.
• A more accessible version of Kugo–Ojima is available online in a series of papers, starting with: Kugo, T .; Ojima, I. (1978-12-01). "Manifestly Covariant Canonical Formulation of the Yang-Mills Field Theories. I: -- General Formalism --". Pokrok teoretické fyziky. Oxford University Press (OUP). 60 (6): 1869–1889. doi:10.1143/ptp.60.1869. ISSN  0033-068X. This is probably the single best reference for BRST quantization in quantum mechanical (as opposed to geometrical) language.
• Much insight about the relationship between topological invariants and the BRST operator may be found in: E. Witten, "Topological quantum field theory", Commun. Matematika. Phys. 117, 3 (1988), pp. 353–386

Alternate perspectives

• BRST systems are briefly analyzed from an operator theory perspective in: S. S. Horuzhy and A. V. Voronin, "Remarks on Mathematical Structure of BRST Theories", Comm. Matematika. Phys. 123, 4 (1989) pp. 677–685
• A measure-theoretic perspective on the BRST method may be found in Carlo Becchi's 1996 lecture notes.

externí odkazy

• Brst cohomology on arxiv.org