Lorentz skalární - Lorentz scalar - Wikipedia

V relativistická teorie z fyzika, a Lorentz skalární je výraz, vytvořený z položek teorie, který se hodnotí a skalární, neměnný pod jakýmkoli Lorentzova transformace. Lorentzův skalár může být generován např. Ze skalárního součinu vektorů nebo ze smluvních tenzorů teorie. Zatímco složky vektorů a tenzorů se obecně mění pod Lorentzovými transformacemi, Lorentzovy skaláře zůstávají nezměněny.

Lorentzův skalár není vždy okamžitě považován za neměnný skalár v matematický smysl, ale výsledná skalární hodnota je neměnná při jakékoli základní transformaci aplikované na vektorový prostor, na kterém je uvažovaná teorie založena. Jednoduchý Lorentzův skalár Minkowského časoprostor je vzdálenost časoprostoru („délka“ jejich rozdílu) dvou fixních událostí v časoprostoru. Zatímco „poziční“ -4-vektory událostí se mění mezi různými setrvačnými snímky, jejich časoprostorová vzdálenost zůstává neměnná pod odpovídající Lorentzovou transformací. Dalšími příklady Lorentzových skalárů jsou „délka“ 4 rychlostí (viz níže) nebo Ricciho zakřivení v bodě v časoprostoru od Obecná relativita, což je kontrakce Riemannův tenzor zakřivení tam.

Jednoduché skaláry ve speciální relativitě

Délka pozičního vektoru

Světové linie pro dvě částice při různých rychlostech.

v speciální relativita umístění částice ve 4-dimenzionálním vesmírný čas je dána

${ displaystyle x ^ { mu} = (ct, mathbf {x})}$

kde ${ displaystyle mathbf {x} = mathbf {v} t}$ je poloha v trojrozměrném prostoru částice, ${ displaystyle mathbf {v}}$ je rychlost v trojrozměrném prostoru a ${ displaystyle c}$ je rychlost světla.

„Délka“ vektoru je Lorentzův skalární a je dána vztahem

${ displaystyle x _ { mu} x ^ { mu} = eta _ { mu nu} x ^ { mu} x ^ { nu} = (ct) ^ {2} - mathbf {x} cdot mathbf {x} { stackrel { mathrm {def}} {=}} (c tau) ^ {2}}$

kde ${ displaystyle tau}$ je správný čas měřený hodinami v klidovém rámci částice a Minkowského metrika je dána

${ displaystyle eta ^ { mu nu} = eta _ { mu nu} = { začátek {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {pmatrix} }}$.

Toto je časová metrika.

Často alternativní podpis Minkowského metrika se používá, při kterém jsou znaky těch obráceny.

${ displaystyle eta ^ { mu nu} = eta _ { mu nu} = { začátek {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$.

Toto je metrika podobná vesmíru.

V metrice Minkowski prostorový interval ${ displaystyle s}$ je definován jako

${ displaystyle x _ { mu} x ^ { mu} = eta _ { mu nu} x ^ { mu} x ^ { nu} = mathbf {x} cdot mathbf {x} - (ct) ^ {2} { stackrel { mathrm {def}} {=}} s ^ {2}}$.

Ve zbytku tohoto článku používáme metriku Minkowski podobnou prostoru.

Délka vektoru rychlosti

Vektory rychlosti v časoprostoru pro částice při dvou různých rychlostech. V relativitě je zrychlení ekvivalentní rotaci v časoprostoru

Rychlost v časoprostoru je definována jako

${ displaystyle v ^ { mu} { stackrel { mathrm {def}} {=}} {dx ^ { mu} nad d tau} = vlevo (c {dt nad d tau }, {dt over d tau} {d mathbf {x} over dt} right) = left ( gamma c, gamma { mathbf {v}} right) = gamma left ( c, { mathbf {v}} vpravo)}$

kde

${ displaystyle gamma { stackrel { mathrm {def}} {=}} {1 nad { sqrt {1 - {{ mathbf {v} cdot mathbf {v}} nad c ^ {2}}}}}}$.

Velikost 4-rychlosti je Lorentzův skalární,

${ displaystyle v _ { mu} v ^ { mu} = - c ^ {2} ,}$.

Proto je c Lorentzův skalár.

Vnitřní produkt zrychlení a rychlosti

4rychlost je dána vztahem

${ displaystyle a ^ { mu} { stackrel { mathrm {def}} {=}} {dv ^ { mu} over d tau}}$.

4rychlost je vždy kolmá na 4rychlost

${ displaystyle 0 = {1 nad 2} {d nad d tau} doleva (v _ { mu} v ^ { mu} doprava) = {dv _ { mu} nad d tau} v ^ { mu} = a _ { mu} v ^ { mu}}$.

Můžeme tedy považovat zrychlení v časoprostoru za pouhou rotaci 4 rychlosti. Vnitřní produkt zrychlení a rychlosti je Lorentzův skalární a je nulový. Tato rotace je jednoduše vyjádřením úspory energie:

${ displaystyle {dE over d tau} = mathbf {F} cdot { mathbf {v}}}$

kde ${ displaystyle E}$ je energie částice a ${ displaystyle mathbf {F}}$ je 3-síla na částice.

Energie, klidová hmotnost, 3 hybnost a 3 rychlosti ze 4 hybnosti

4-hybnost částice je

${ displaystyle p ^ { mu} = mv ^ { mu} = left ( gamma mc, gamma {m mathbf {v}} right) = left ( gamma mc, { mathbf {p }} right) = left ({E over c}, { mathbf {p}} right)}$

kde ${ displaystyle m}$ je zbytková hmotnost částic, ${ displaystyle mathbf {p}}$ je hybnost ve 3 prostoru, a

${ displaystyle E = gamma mc ^ {2} ,}$

je energie částice.

Měření energie částice

Vezměme si druhou částici se 4-rychlostí ${ displaystyle u}$ a 3 rychlosti ${ displaystyle mathbf {u} _ {2}}$. V klidovém rámci druhé částice je vnitřní produkt ${ displaystyle u}$ s ${ displaystyle p}$ je úměrná energii první částice

${ displaystyle p _ { mu} u ^ { mu} = - {E_ {1}}}$

kde dolní index 1 označuje první částice.

Protože vztah je pravdivý v klidovém rámci druhé částice, platí v jakémkoli referenčním rámci. ${ displaystyle E_ {1}}$, energie první částice v rámci druhé částice, je Lorentzův skalár. Proto,

${ displaystyle {E_ {1}} = gamma _ {1} gamma _ {2} m_ {1} c ^ {2} - gamma _ {2} mathbf {p} _ {1} cdot mathbf {u} _ {2}}$

v libovolném setrvačném referenčním rámci, kde ${ displaystyle E_ {1}}$ je stále energie první částice v rámci druhé částice.

Měření zbytkové hmotnosti částice

V klidovém rámci částice je vnitřní produkt hybnosti

${ displaystyle p _ { mu} p ^ { mu} = - (mc) ^ {2} ,}$.

Zbytek hmoty (m) je tedy Lorentzův skalár. Vztah zůstává pravdivý bez ohledu na rámec, ve kterém se počítá vnitřní součin. V mnoha případech je zbytková hmotnost zapsána jako ${ displaystyle m_ {0}}$ aby nedošlo k záměně s relativistickou masou, což je ${ displaystyle gamma m_ {0}}$

Měření 3-hybnosti částice

Všimněte si, že

${ displaystyle left (p _ { mu} u ^ { mu} / c right) ^ {2} + p _ { mu} p ^ { mu} = {E_ {1} ^ {2} přes c ^ {2}} - (mc) ^ {2} = left ( gamma _ {1} ^ {2} -1 right) (mc) ^ {2} = gamma _ {1} ^ {2 } { mathbf {v} _ {1} cdot mathbf {v} _ {1}} m ^ {2} = mathbf {p} _ {1} cdot mathbf {p} _ {1}}$.

Čtverec velikosti 3-hybnosti částice měřený v rámci druhé částice je Lorentzův skalár.

Měření 3-rychlosti částice

3rychlost v rámci druhé částice může být konstruována ze dvou Lorentzových skalárů

${ displaystyle v_ {1} ^ {2} = mathbf {v} _ {1} cdot mathbf {v} _ {1} = {{ mathbf {p} _ {1} cdot mathbf {p } _ {1} c ^ {4}} nad {E_ {1} ^ {2}}}}$.

Složitější skaláry

Skaláry mohou být také konstruovány z tenzorů a vektorů, z kontrakce tenzorů (například ${ displaystyle F _ { mu nu} F ^ { mu nu}}$), nebo kombinace kontrakcí tenzorů a vektorů (např ${ displaystyle g _ { mu nu} x ^ { mu} x ^ { nu}}$).

Reference

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitace. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN  0-7167-0344-0.
• Landau, L. D. a Lifshitz, E. M. (1975). Klasická teorie polí (Čtvrté přepracované anglické vydání). Oxford: Pergamon. ISBN  0-08-018176-7.