Berezinův integrál - Berezin integral

v matematická fyzika, Berezinův integrál, pojmenoval podle Felix Berezin, (také známý jako Grassmannův integrál, po Hermann Grassmann ), je způsob, jak definovat integraci pro funkce Grassmann proměnné (prvky vnější algebra ). Není to integrální v Lebesgue smysl; slovo „integrál“ se používá proto, že berezinský integrál má vlastnosti analogické s Lebesgueovým integrálem a protože rozšiřuje cesta integrální ve fyzice, kde se používá jako součet za historii pro fermiony.

Definice

Nechat ${displaystyle Lambda ^ {n}}$ být vnější algebrou polynomů v prvcích anticommuting ${displaystyle heta _ {1}, tečky, heta _ {n}}$ přes pole komplexních čísel. (Pořadí generátorů ${displaystyle heta _ {1}, tečky, heta _ {n}}$ je pevná a určuje orientaci vnější algebry.)

Jedna proměnná

The Berezinův integrál nad jedinou proměnnou Grassmann ${displaystyle heta = heta _ {1}}$ je definován jako lineární funkční

${displaystyle int [af (heta) + bg (heta)], d heta = není f (heta), d heta + bint g (heta), d heta, čtyřkolka a, bin mathbb {C}}$

kde definujeme

${displaystyle int heta, d heta = 1, qquad int, d heta = 0}$

aby :

${displaystyle int {frac {částečné} {částečné heta}} f (heta), d heta = 0.}$

Tyto vlastnosti jednoznačně definují integrál a implikují

${displaystyle int (a heta + b), d heta = a, quad a, bin mathbb {C}.}$

Ber to na vědomí ${displaystyle f (heta) = a heta + b}$ je nejobecnější funkcí ${displaystyle heta}$ protože Grassmann proměnné čtverce na nulu, tak ${displaystyle f (heta)}$ nemůže mít nenulové členy nad lineárním řádem.

Více proměnných

The Berezinův integrál na ${displaystyle Lambda ^ {n}}$ je definována jako jedinečná lineární funkce ${displaystyle int _ {Lambda ^ {n}} cdot {extrm {d}} heta}$ s následujícími vlastnostmi:

${displaystyle int _ {Lambda ^ {n}} heta _ {n} cdots heta _ {1}, mathrm {d} heta = 1,}$

${displaystyle int _ {Lambda ^ {n}} {frac {částečné f} {částečné heta _ {i}}}, mathrm {d} heta = 0, i = 1, tečky, n}$

pro všechny ${displaystyle fin Lambda ^ {n},}$ kde ${displaystyle částečné / částečné heta _ {i}}$ znamená levou nebo pravou parciální derivaci. Tyto vlastnosti jednoznačně definují integrál.

Všimněte si, že v literatuře existují různé konvence: místo toho definují někteří autoři^[1]

${displaystyle int _ {Lambda ^ {n}} heta _ {1} cdots heta _ {n}, mathrm {d} heta: = 1.}$

Vzorec

${displaystyle int _ {Lambda ^ {n}} f (heta) mathrm {d} heta = int _ {Lambda ^ {1}} vlevo (cdots int _ {Lambda ^ {1}} vlevo (int _ {Lambda ^ { 1}} f (heta), mathrm {d} heta _ {1} ight), mathrm {d} heta _ {2} cdots ight) mathrm {d} heta _ {n}}$

vyjadřuje zákon Fubini. Na pravé straně vnitřní integrál monomilu ${displaystyle f = g (heta ') heta _ {1}}$ je nastaven na ${displaystyle g (heta '),}$ kde ${displaystyle heta '= left (heta _ {2}, ldots, heta _ {n} ight)}$; integrál ${displaystyle f = g (heta ')}$ zmizí. Integrál s ohledem na ${displaystyle heta _ {2}}$ se počítá podobným způsobem atd.

Změna proměnných Grassmann

Nechat ${displaystyle heta _ {i} = heta _ {i} vlevo (xi _ {1}, ldots, xi _ {n} ight), i = 1, ldots, n,}$ být liché polynomy v některých antisymetrických proměnných ${displaystyle xi _ {1}, ldots, xi _ {n}}$. Jacobian je matice

${displaystyle D = left {{frac {částečná heta _ {i}} {částečná xi _ {j}}}, i, j = 1, ldots, night},}$

kde ${displaystyle částečné / částečné xi _ {j}}$ Odkazuje na pravý derivát (${displaystyle částečné (heta _ {1} heta _ {2}) / částečné heta _ {2} = heta _ {1} ,; částečné (heta _ {1} heta _ {2}) / částečné heta _ {1} = - heta _ {2}}$). Přečte se vzorec pro změnu souřadnic

${displaystyle int f (heta) mathrm {d} heta = int f (heta (xi)) (det D) ^ {- 1} mathrm {d} xi.}$

Integrace sudých a lichých proměnných

Definice

Zvažte nyní algebru ${displaystyle Lambda ^ {mmid n}}$ funkcí reálných proměnných dojíždění ${displaystyle x = x_ {1}, ldots, x_ {m}}$ a anticommuting proměnných ${displaystyle heta _ {1}, ldots, heta _ {n}}$ (který se nazývá volná superalgebra dimenze ${displaystyle (m | n)}$). Intuitivně funkce ${displaystyle f = f (x, heta) in Lambda ^ {mmid n}}$ je funkcí m sudých (bosonických, dojíždějících) proměnných a n lichých (fermionických, anti-dojíždějících) proměnných. Formálněji prvek ${displaystyle f = f (x, heta) in Lambda ^ {mmid n}}$ je funkcí argumentu ${displaystyle x}$ který se liší v otevřené sadě ${displaystyle Xsubset mathbb {R} ^ {m}}$ s hodnotami v algebře ${displaystyle Lambda ^ {n}.}$ Předpokládejme, že tato funkce je spojitá a mizí v doplňku kompaktní sady ${displaystyle Ksubset mathbb {R} ^ {m}.}$ Berezinským integrálem je číslo

${displaystyle int _ {Lambda ^ {mmid n}} f (x, heta) mathrm {d} heta mathrm {d} x = int _ {mathbb {R} ^ {m}} mathrm {d} xint _ {Lambda ^ {n}} f (x, heta) mathrm {d} heta.}$

Změna sudých a lichých proměnných

Nechť je transformace souřadnic dána vztahem ${displaystyle x_ {i} = x_ {i} (y, xi), i = 1, ldots, m; heta _ {j} = heta _ {j} (y, xi), j = 1, ldots, n,}$ kde ${displaystyle x_ {i}}$ jsou sudé a ${displaystyle heta _ {j}}$ jsou liché polynomy o ${displaystyle xi}$ v závislosti na sudých proměnných ${displaystyle y.}$ Jakobiánská matice této transformace má blokovou formu:

${displaystyle mathrm {J} = {frac {částečné (x, heta)} {částečné (y, xi)}} = {egin {pmatrix} A&B C & Dend {pmatrix}},}$

kde každý sudý derivát ${displaystyle částečný / částečný y_ {j}}$ dojíždí se všemi prvky algebry ${displaystyle Lambda ^ {mmid n}}$; liché deriváty dojíždějí s sudými prvky a anticommute s lichými prvky. Položky diagonálních bloků ${displaystyle A = částečné x / částečné y}$ a ${displaystyle D = částečná heta / částečná xi}$ jsou sudé a vstupy mimo diagonální bloky ${displaystyle B = částečné x / částečné xi, C = částečné heta / částečné y}$ jsou liché funkce, kde ${displaystyle částečné / částečné xi _ {j}}$ opět znamená správné deriváty.

Nyní potřebujeme Berezinian (nebo superdeterminant) matice ${displaystyle mathrm {J}}$, což je sudá funkce

${displaystyle mathrm {Ber ~ J} = det left (A-BD ^ {- 1} Cight) det D ^ {- 1}}$

definováno, když je funkce ${displaystyle det D}$ je invertibilní v ${displaystyle Lambda ^ {mmid n}.}$ Předpokládejme, že skutečné funkce ${displaystyle x_ {i} = x_ {i} (y, 0)}$ definovat hladkou invertibilní mapu ${displaystyle F: Y o X}$ otevřených sad ${displaystyle X, Y}$ v ${displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ a lineární část mapy ${displaystyle xi mapsto heta = heta (y, xi)}$ je pro každého invertibilní ${displaystyle yin Y.}$ Obecný zákon transformace berezinského integrálu zní

${displaystyle int _ {Lambda ^ {mmid n}} f (x, heta) mathrm {d} heta mathrm {d} x = int _ {Lambda ^ {mmid n}} f (x (y, xi), heta ( y, xi)) varepsilon mathrm {Ber ~ J ~ d} xi mathrm {d} y = int _ {Lambda ^ {mmid n}} f (x (y, xi), heta (y, xi)) varepsilon {frac {det left (A-BD ^ {- 1} Cight)} {det D}} mathrm {d} xi mathrm {d} y,}$

kde ${displaystyle varepsilon = mathrm {sgn} (det částečné x (y, 0) / částečné y}$) je znamením orientace mapy ${displaystyle F.}$ Superpozice ${displaystyle f (x (y, xi), heta (y, xi))}$ je definován zřejmým způsobem, pokud jsou funkce ${displaystyle x_ {i} (y, xi)}$ nezávisí na ${displaystyle xi.}$ Obecně píšeme ${displaystyle x_ {i} (y, xi) = x_ {i} (y, 0) + delta _ {i},}$ kde ${displaystyle delta _ {i}, i = 1, ldots, m}$ jsou dokonce nilpotentní prvky ${displaystyle Lambda ^ {mmid n}}$ a nastavit

${displaystyle f (x (y, xi), heta) = f (x (y, 0), heta) + součet _ {i} {frac {částečné f} {částečné x_ {i}}} (x (y, 0), heta) delta _ {i} + {frac {1} {2}} součet _ {i, j} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} (x (y, 0), heta) delta _ {i} delta _ {j} + cdots,}$

kde Taylorova řada je konečná.

Užitečné vzorce

Následující vzorce pro Gaussovy integrály se často používají v cesta integrální formulace z kvantová teorie pole:

• ${displaystyle int exp left [- heta ^ {T} Aeta ight], d heta, deta = det A}$

s ${displaystyle A}$ být komplexem ${displaystyle n imes n}$ matice.

• ${displaystyle int exp left [- {frac {1} {2}} heta ^ {T} M heta ight], d heta = {egin {cases} mathrm {Pf}, M & n {mbox {even}} 0 & n {mbox {odd}} konec {případů}}}$

s ${displaystyle M}$ být komplexně symetrický ${displaystyle n imes n}$ matice a ${displaystyle mathrm {Pf}, M}$ být Pfaffian z ${displaystyle M}$, který splňuje ${displaystyle (mathrm {Pf}, M) ^ {2} = det M}$.

Ve výše uvedených vzorcích notace ${displaystyle d heta = d heta _ {1} cdots, d heta _ {n}}$ se používá. Z těchto vzorců vyplývají další užitečné vzorce (viz dodatek A v^[2]) :

• ${displaystyle int exp left [heta ^ {T} Aeta + heta ^ {T} J + K ^ {T} eta ight], deta _ {1}, d heta _ {1} tečky podrobně _ {n} d heta _ {n} = det A ,, exp [-K ^ {T} A ^ {- 1} J]}$

s ${displaystyle A}$ být invertibilní ${displaystyle n imes n}$ matice. Všimněte si, že tyto integrály jsou všechny ve formě a funkce oddílu.

Dějiny

Matematickou teorii integrálu s proměnnými pro dojíždění a proti dojíždění vynalezl a vytvořil Felix Berezin.^[3] Některé důležité dřívější postřehy vytvořil (a) David John Candlin^[4] v roce 1956. K tomuto vývoji přispěli další autoři, včetně fyziků Khalatnikova^[5] (ačkoli jeho práce obsahuje chyby), Matthews a Salam,^[6] a Martin.^[7]

Literatura

• Theodore Voronov: Teorie geometrické integrace na Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN  3-7186-5199-8
• Berezin, Felix Alexandrovič: Úvod do superanalýzy, Springer Nizozemsko, ISBN  978-90-277-1668-2

Viz také

• Supermanifold
• Berezinian

Reference