Feynman lomítko notace - Feynman slash notation

Ve studii o Diracova pole v kvantová teorie pole, Richard Feynman vynalezl pohodlné Feynman lomítko notace (méně obyčejně známý jako Dirac lomítko notace^[1]). Li A je kovarianční vektor (tj. a 1-forma ),

${ displaystyle {A ! ! ! /} { stackrel { mathrm {def}} {=}} gamma ^ { mu} A _ { mu}}$

za použití Einsteinova součtová notace kde y jsou gama matice.

Totožnosti

Za použití antikomutátory z gama matic lze ukázat, že pro jakoukoli ${ displaystyle a _ { mu}}$ a ${ displaystyle b _ { mu}}$,

${ displaystyle { begin {aligned} {a ! ! ! /} {a ! ! ! /} & equiv a ^ { mu} a _ { mu} cdot I_ {4} = a ^ {2} cdot I_ {4} {a ! ! ! /} {b ! ! ! /} + {b ! ! ! /} {a ! ! ! /} & equiv 2a cdot b cdot I_ {4} , end {zarovnáno}}}$.

kde ${ displaystyle I_ {4}}$ je matice identity ve čtyřech rozměrech.

Zejména,

${ displaystyle { částečné ! ! ! /} ^ {2} ekviv částečné ^ {2} cdot I_ {4}.}$

Další identity lze odečíst přímo z identity matice gama nahrazením metrický tenzor s vnitřní výrobky. Například,

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {tr} ({a ! ! ! /} {b ! ! ! /}) & equiv 4a cdot b operatorname {tr} ({a ! ! ! /} {b ! ! ! /} {c ! ! ! /} {d ! ! ! /}) & equiv 4 left [( a cdot b) (c cdot d) - (a cdot c) (b cdot d) + (a cdot d) (b cdot c) right] operatorname {tr} ( gamma _ {5} {a ! ! ! /} {B ! ! ! /} {C ! ! ! /} {D ! ! ! /}) & Equiv 4i epsilon _ { mu nu lambda sigma} a ^ { mu} b ^ { nu} c ^ { lambda} d ^ { sigma} gamma _ { mu} {a ! ! ! /} gamma ^ { mu} & equiv -2 {a ! ! ! /} gamma _ { mu} {a ! ! ! /} {b ! ! ! /} gamma ^ { mu} & equiv 4a cdot b cdot I_ {4} gamma _ { mu} {a ! ! ! /} {b ! ! ! /} {c ! ! ! /} gamma ^ { mu} & equiv -2 {c ! ! ! /} {b ! ! ! /} {a ! ! ! /} end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle epsilon _ { mu nu lambda sigma} ,}$ je Symbol Levi-Civita.

Se čtyřmi momenty

Při použití Diracova rovnice a řešení pro průřezy najde lomítko použité na čtyři momenty: za použití Dirac základ pro gama matice,

${ displaystyle gamma ^ {0} = { begin {pmatrix} I & 0 0 & -I end {pmatrix}}, quad gamma ^ {i} = { begin {pmatrix} 0 & sigma ^ {i } - sigma ^ {i} & 0 end {pmatrix}} ,}$

stejně jako definice čtyř hybnosti,

${ displaystyle p _ { mu} = left (E, -p_ {x}, - p_ {y}, - p_ {z} right) ,}$

vidíme to výslovně

${ displaystyle { begin {sladěno} {p ! ! /} & = gamma ^ { mu} p _ { mu} = gamma ^ {0} p_ {0} + gamma ^ {i} p_ {i} & = { begin {bmatrix} p_ {0} & 0 0 & -p_ {0} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} 0 & sigma ^ {i} p_ {i} - sigma ^ {i} p_ {i} & 0 end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} E & - sigma cdot { vec {p}} sigma cdot { vec {p}} & - E end {bmatrix}}. end {zarovnáno}}}$

Podobné výsledky platí i v jiných základnách, například Weylský základ.

Viz také

• Weylský základ
• Gama matice

Reference