Lež produktový vzorec - Lie product formula
v matematika, Lež produktový vzorec, pojmenovaný pro Sophus Lie (1875), ale také široce nazývaný Vzorec produktu Trotter,[1] uvádí, že pro libovolné n × n nemovitý nebo komplex matice A a B,[2]
kde EA označuje exponenciální matice z A. The Vzorec produktu Lie – Trotter (Trotter 1959 ) a Trotter – Kato věta (Kato 1978 ) rozšířit to na některé neomezené lineární operátory A a B.[3]
Tento vzorec je analogií klasického exponenciálního zákona
který platí pro všechna reálná nebo komplexní čísla X a y. Li X a y jsou nahrazeny maticemi A a Ba exponenciální nahrazeno a exponenciální matice, je obvykle nutné pro A a B dojíždět, aby zákon stále platil. Vzorec produktu Lie však platí pro všechny matice A a B, dokonce i ty, které nedojíždějí.
Produktový vzorec Lie koncepčně souvisí s Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec, v tom, že oba jsou nahrazení, v kontextu non dojíždějících operátorů, pro klasický exponenciální zákon .
Vzorec má aplikace například v cesta integrální formulace kvantové mechaniky. Umožňuje člověku oddělit Schrödingerův evoluční operátor do střídavých přírůstků kinetických a potenciálních operátorů. Stejná myšlenka se používá při stavbě metody rozdělení pro numerické řešení diferenciální rovnice. Věta o Lieově produktu je navíc dostatečná k prokázání Feynman – Kacův vzorec.
Větu Trotter – Kato lze použít pro aproximaci lineárního C0-skupiny.[4]
Viz také
Reference
- ^ Joel E. Cohen; Shmuel Friedland; Tosio Kato; F. P. Kelly (1982). "Nerovnosti vlastních čísel pro produkty maticových exponenciálů" (PDF). Lineární algebra a její aplikace. 45: 55–95. doi:10.1016/0024-3795(82)90211-7.
- ^ Hall 2015 Věta 2.11
- ^ Hall 2013 Věta 20.1
- ^ Ito, Kazufumi; Kappel, Franz (1998). „Trotter-Katoova věta a aproximace PDE“. Matematika výpočtu. 67 (221): 21–44. JSTOR 2584971.
- Sophus Lie a Friedrich Engel (1888, 1890, 1893). Theorie der Transformationsgruppen (1. vydání, Lipsko; 2. vydání, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
- Albeverio, Sergio A .; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Matematická teorie integrálů Feynmanovy cesty: ÚvodPřednášky z matematiky, 423 (1. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0079827, hdl:10852/44049, ISBN 978-3-540-07785-5.
- Hall, Brian C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN 978-1461471158
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
- „Trotterův vzorec produktu“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Kato, Tosio (1978), „Trotterův produktový vzorec pro libovolnou dvojici samospojených kontrakčních poloskupin“, Témata funkční analýzy (eseje věnované M. G. Kreĭnovi u příležitosti jeho 70. narozenin)Adv. v matematice. Suppl. Stud., 3, Boston, MA: Akademický tisk, str. 185–195, PAN 0538020
- Trotter, H. F. (1959), „O produktu poloskupin operátorů“, Proceedings of the American Mathematical Society, 10 (4): 545–551, doi:10.2307/2033649, ISSN 0002-9939, JSTOR 2033649, PAN 0108732
- Joel E. Cohen; Shmuel Friedland; Tosio Kato; F. P. Kelly (1982), "Nerovnosti vlastních čísel pro produkty maticových exponenciálů" (PDF), Lineární algebra a její aplikace, 45: 55–95, doi:10.1016/0024-3795(82)90211-7
- Varadarajan, V.S. (1984), Ležové skupiny, Lie Algebry a jejich zastoupení, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1, s. 99.
- Suzuki, Masuo (1976). "Zobecněný Trotterův vzorec a systematické aproximanty exponenciálních operátorů a vnitřních derivací s aplikacemi na mnohočetné problémy". Comm. Matematika. Phys. 51 (2): 183–190. doi:10.1007 / bf01609348. S2CID 121900332.