Složité opatření - Complex measure
v matematika konkrétně teorie míry, a komplexní opatření zobecňuje pojem opatření tím, že to necháme komplex hodnoty. Jinými slovy, jeden umožňuje sady jehož velikost (délka, plocha, objem) je komplexní číslo.
Definice
Formálně, a komplexní opatření na měřitelný prostor má komplexní hodnotu funkce
to je přísada sigma. Jinými slovy, pro všechny sekvence z disjunktní sady patřící , jeden má
Tak jako pro jakoukoli permutaci (bijekce ) , z toho vyplývá, že bezpodmínečně konverguje (proto Absolutně ).
Integrace s ohledem na komplexní opatření
Lze definovat integrální komplexně oceněné měřitelná funkce s ohledem na komplexní opatření stejným způsobem jako Lebesgueův integrál a nemovitý -hodnotitelná měřitelná funkce vzhledem k a nezáporné opatření aproximací měřitelné funkce pomocí jednoduché funkce. Stejně jako v případě běžné integrace i tento obecnější integrál nemusí existovat nebo jeho hodnota může být nekonečná ( komplexní nekonečno ).
Dalším přístupem je nevyvíjet teorii integrace od nuly, ale spíše použít již dostupný koncept integrálu funkce se skutečnou hodnotou s ohledem na nezápornou míru. Za tímto účelem se jedná o rychlou kontrolu, zda skutečná a imaginární část μ1 a μ2 komplexního opatření μ jsou konečné hodnoty podepsaná opatření. Jeden může použít Hahn-Jordanův rozklad k těmto opatřením je rozdělit na
a
kde μ1+, μ1−, μ2+, μ2− jsou nezáporná opatření s konečnou hodnotou (která jsou v určitém smyslu jedinečná). Pak pro měřitelnou funkci F který je skutečný pro tuto chvíli lze definovat
pokud je definován výraz na pravé straně, to znamená, že existují všechny čtyři integrály a při jejich sčítání jeden nenarazí na neurčitý ∞−∞.
Vzhledem k tomu, a komplexní měřitelná funkce, lze integrovat její skutečné a imaginární komponenty samostatně, jak je znázorněno výše, a definovat podle očekávání,
Variace komplexní míry a polárního rozkladu
Pro komplexní míru μ definujeme její variacenebo absolutní hodnota, | μ | podle vzorce
kde A je v Σ a supremum běží přes všechny sekvence disjunktních sad (An)n jehož svaz je A. Vezmeme pouze konečné oddíly sady A do měřitelné podmnožiny, získá se ekvivalentní definice.
Ukázalo se, že | μ | je nezáporná konečná míra. Stejným způsobem jako komplexní číslo lze reprezentovat v a polární forma, jeden má polární rozklad pro komplexní míru: Existuje měřitelná funkce θ se skutečnými hodnotami, jako je tato
význam
pro všechny naprosto integrovatelný měřitelná funkce F, tj., F uspokojující
Jeden může použít Věta Radon – Nikodym dokázat, že změna je měřítkem a existencí polární rozklad.
Prostor komplexních opatření
Součet dvou komplexních měr je komplexní míra, stejně jako součin komplexní měry komplexním číslem. To znamená, soubor všech komplexních měr na měrném prostoru (X, Σ) tvoří a vektorový prostor přes komplexní čísla. Navíc celková variace definováno jako
je norma, s ohledem na který je prostor komplexních opatření a Banachův prostor.