Vnitřní míra - Inner measure
v matematika, zejména v teorie míry, an vnitřní míra je funkce na napájecí sada daného soubor, s hodnotami v rozšířená reálná čísla, splňující některé technické podmínky. Intuitivně je vnitřní míra sady dolní mez velikosti této sady.
Definice
Vnitřní míra je funkce
definováno na všech podmnožiny sady X, který splňuje následující podmínky:
- Prázdná prázdná sada: prázdná sada má nulovou vnitřní míru (viz také: změřit nulu ).
- Superaditivum: Pro všechny disjunktní sady A a B,
- Limity klesajících věží: Pro všechny sekvence {Aj} sad takových, že pro každého j a
- K nekonečnu je třeba přistupovat: Pokud za sadu A pak za každé pozitivní reálné číslo C, tady existuje B ⊆ A takový, že
Vnitřní míra vyvolaná mírou
Nechť Σ je σ-algebra nad množinou X a μ být opatření na Σ. Pak vnitřní míra μ* vyvolané μ je definováno
V podstatě μ* dává dolní mez velikosti jakékoli sady zajištěním, že je alespoň tak velká jako μ-měření kterékoli z jeho podmnožin měřitelných Σ. I když je nastavená funkce μ* obvykle není měřítkem, μ* sdílí následující vlastnosti s opatřeními:
- μ*(∅) = 0,
- μ* není negativní,
- Li E ⊆ F pak μ*(E) ≤ μ*(F).
Měření dokončení
Indukované vnitřní míry se často používají v kombinaci s vnější opatření rozšířit míru na větší σ-algebru. Li μ je konečná míra definovaná na a σ-algebra Σ přes X a μ* a μ* jsou odpovídající indukované vnější a vnitřní míry, pak množiny T ∈ 2X takhle μ*(T) = μ* (T) tvoří σ-algebru s .[1] Nastavená funkce μ̂ definován
pro všechny je opatření na známý jako dokončení μ.
Reference
- ^ Halmos 1950, § 14, věta F
- Halmos, Paul R., Teorie měření, D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, s. 58.
- A. N. Kolmogorov a S. V. Fomin, překládali Richard A. Silverman, Úvodní skutečná analýza, Dover Publications, New York, 1970, ISBN 0-486-61226-0 (Kapitola 7)