Banachův limit - Banach limit

v matematická analýza, a Banachův limit je kontinuální lineární funkční ${ displaystyle phi: ell ^ { infty} to mathbb {C}}$ definované na Banachův prostor ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ ze všech ohraničený komplex -hodnota sekvence tak, že pro všechny sekvence ${ displaystyle x = (x_ {n})}$, ${ displaystyle y = (y_ {n})}$ v ${ displaystyle ell ^ { infty}}$a komplexní čísla ${ displaystyle alpha}$:

1. ${ displaystyle phi ( alpha x + y) = alpha phi (x) + phi (y)}$ (linearita);
2. -li ${ displaystyle x_ {n} geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {N}}$, pak ${ displaystyle phi (x) geq 0}$ (pozitivita);
3. ${ displaystyle phi (x) = phi (Sx)}$, kde ${ displaystyle S}$ je operátor směny definován ${ displaystyle (Sx) _ {n} = x_ {n + 1}}$ (směnová invariance);
4. -li ${ displaystyle x}$ je konvergentní sekvence, pak ${ displaystyle phi (x) = lim x}$.

Proto, ${ displaystyle phi}$ je rozšíření spojité funkce ${ displaystyle lim: c až mathbb {C}}$ kde ${ displaystyle c podmnožina ell ^ { infty}}$ je komplex vektorový prostor všech sekvencí, které konvergují k (obvyklému) limitu v ${ displaystyle mathbb {C}}$.

Jinými slovy, Banachův limit rozšiřuje obvyklé limity, je lineární, invariantní vůči posunu a pozitivní. Existují však sekvence, pro které hodnoty dvou Banachových limitů nesouhlasí. Říkáme, že Banachův limit není v tomto případě jednoznačně určen.

V důsledku výše uvedených vlastností a nemovitý -hodnota Banach limit také splňuje:

${ displaystyle liminf _ {n to infty} x_ {n} leq phi (x) leq limsup _ {n to infty} x_ {n}.}$

Existence Banachových limitů se obvykle prokazuje pomocí Hahnova – Banachova věta (přístup analytika),^[1] nebo pomocí ultrafiltry (tento přístup je častější v set-teoretických expozicích).^[2] Tyto důkazy nutně používají axiom volby (tzv. neúčinný důkaz).

Téměř konvergence

Existují nekonvergentní sekvence, které mají jedinečně stanovený Banachův limit. Například pokud ${ displaystyle x = (1,0,1,0, ldots)}$, pak ${ displaystyle x + S (x) = (1,1,1, ldots)}$ je konstantní posloupnost a

${ Displaystyle 2 phi (x) = phi (x) + phi (Sx) = phi (x + Sx) = phi ((1,1,1, ldots)) = lim ((1 , 1,1, ldots)) = 1}$

drží. Tedy pro jakýkoli Banachův limit má tato sekvence limit ${ displaystyle 1/2}$.

Ohraničená sekvence ${ displaystyle x}$ s majetkem, to pro každý Banachův limit ${ displaystyle phi}$ hodnota ${ displaystyle phi (x)}$ je stejný, nazývá se téměř konvergentní.

Banachovy prostory

Vzhledem ke konvergentní posloupnosti ${ displaystyle x = (x_ {n})}$ v ${ displaystyle c podmnožina ell ^ { infty}}$, běžný limit ${ displaystyle x}$ nevzniká z prvku ${ displaystyle ell ^ {1}}$, pokud dualita ${ displaystyle langle ell ^ {1}, ell ^ { infty} rangle}$ je považován. To druhé znamená ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ je nepřetržitý duální prostor (duální Banachův prostor) z ${ displaystyle ell ^ {1}}$, a následně, ${ displaystyle ell ^ {1}}$ indukuje spojité lineární funkcionály na ${ displaystyle ell ^ { infty}}$, ale ne všechny. Jakýkoli Banachův limit ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ je příkladem prvku dvojího Banachova prostoru ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ který není v ${ displaystyle ell ^ {1}}$. Dvojí ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ je známý jako ba prostor, a skládá se ze všech (podepsaný ) konečně aditivní opatření na sigma-algebra všech podskupin přirozená čísla nebo ekvivalentně všechny (podepsané) Borel opatření na Zhutnění Stone – Čech přirozených čísel.

externí odkazy

• "Banachův limit". PlanetMath.

Reference

• Balcar, Bohuslav; Štěpánek, Petr (2000). Teorie množin (v češtině) (2 ed.). Praha: Academia. ISBN  802000470X.
• Conway, John B. (1994). Kurz funkční analýzy. Postgraduální texty z matematiky. 96. New York: Springer. ISBN  0-387-97245-5.