Sada Vitali - Vitali set - Wikipedia

v matematika, a Sada Vitali je základním příkladem souboru reálná čísla to není Lebesgue měřitelný, nalezeno Giuseppe Vitali v roce 1905.^[1] The Vitaliho věta je věta o existenci že existují takové sady. Existují nespočetně mnoho Sady Vitali a jejich existence závisí na axiom volby. V roce 1970 Robert Solovay zkonstruoval model Teorie množin Zermelo – Fraenkel bez axiomu volby, kde jsou všechny množiny reálných čísel Lebesgue měřitelné, za předpokladu existence nepřístupný kardinál (vidět Solovayův model ).^[2]

Měřitelné sady

Některé sady mají určitou „délku“ nebo „hmotnost“. Například interval [0, 1] má délku 1; obecněji interval [A, b], A ≤ b, se považuje za délku b − A. Pokud si představíme takové intervaly jako kovové tyče s jednotnou hustotou, mají také přesně definované hmotnosti. Množina [0, 1] ∪ [2, 3] se skládá ze dvou intervalů délky jedna, takže její celkovou délku považujeme za 2. Pokud jde o hmotnost, máme dvě tyče o hmotnosti 1, takže celková hmotnost je 2.

Zde je přirozená otázka: pokud E je libovolná podmnožina skutečné linie, má „hmotnost“ nebo „celkovou délku“? Jako příklad bychom se mohli zeptat, jaká je hmotnost množiny racionální čísla, vzhledem k tomu, že hmotnost intervalu [0, 1] je 1. Racionály jsou hustý v reálných hodnotách, takže jakákoli nezáporná hodnota se může jevit jako přiměřená.

Nejbližší zobecnění na masu je však sigma aditivita, což vede k Lebesgueovo opatření. Přiřazuje míru b − A do intervalu [A, b], ale sadě racionálních čísel přidělí míru 0, protože je počitatelný. Jakákoli množina, která má dobře definovanou Lebesgueovu míru, se říká „měřitelná“, ale konstrukce Lebesgueovy míry (například pomocí Carathéodoryova věta o rozšíření ) nedává najevo, zda existují neměřitelné množiny. Odpověď na tuto otázku zahrnuje axiom volby.

Konstrukce a důkaz

Sada Vitali je podmnožinou ${ displaystyle V}$ z interval [0, 1] z reálná čísla takové, že pro každé reálné číslo ${ displaystyle r}$, existuje právě jedno číslo ${ displaystyle v ve V}$ takhle ${ displaystyle v-r}$ je racionální číslo. Sady Vitali existují kvůli racionálním číslům Q tvoří a normální podskupina reálných čísel R pod přidání, a to umožňuje konstrukci přísady kvocientová skupina R/Q z těchto dvou skupin, což je skupina tvořená kosety racionálních čísel jako podskupina sčítaných reálných čísel. Tato skupina R/Q skládá se z disjunktní "posunuté kopie" Q v tom smyslu, že každý prvek této skupiny kvocientů je množinou formuláře Q + r pro některé r v R. The nespočetně mnoho prvky R/Q rozdělit Ra každý prvek je hustý v R. Každý prvek R/Q protíná [0, 1] a axiom volby zaručuje existenci podmnožiny [0, 1] obsahující přesně jednoho zástupce z každého prvku R/Q. Sada vytvořená tímto způsobem se nazývá sada Vitali.

Každá sada Vitali ${ displaystyle V}$ je nepočítatelné a ${ displaystyle v-u}$ je pro všechny iracionální ${ displaystyle u, proti ve V, u neq v}$.

Neměřitelnost

Možný výčet racionálních čísel

Sada Vitali je neměřitelná. Abychom to ukázali, předpokládáme to PROTI je měřitelný a vyvozujeme rozpor. Nechat q₁, q₂, ... být výčet racionálních čísel v [−1, 1] (připomeňme, že racionální čísla jsou počitatelný ). Od stavby PROTIVšimněte si, že přeložené sady ${ displaystyle V_ {k} = V + q_ {k} = {v + q_ {k}: v ve V }}$, k = 1, 2, ... jsou párově disjunktní, a dále si to povšimněte

${ displaystyle [0,1] subseteq bigcup _ {k} V_ {k} subseteq [-1,2]}$.

Chcete-li zobrazit první zahrnutí, zvažte jakékoli reálné číslo r v [0, 1] a nechat proti být zástupcem v PROTI pro třídu ekvivalence [r]; pak r-proti=q_i pro nějaké racionální číslo q_i v [-1, 1] z čehož vyplývá, že r je v PROTI_i.

Aplikujte Lebesgueovo opatření na tyto inkluze pomocí sigma aditivita:

${ displaystyle 1 leq suma _ {k = 1} ^ { infty} lambda (V_ {k}) leq 3.}$

Protože Lebesgueova míra je překladově invariantní, ${ displaystyle lambda (V_ {k}) = lambda (V)}$ a proto

${ displaystyle 1 leq suma _ {k = 1} ^ { infty} lambda (V) leq 3.}$

Ale to je nemožné. Součet nekonečně mnoha kopií konstanty λ (PROTI) poskytuje buď nulu, nebo nekonečno podle toho, zda je konstanta nulová nebo kladná. V žádném případě není součet v [1, 3]. Tak PROTI nemůže být koneckonců měřitelná, tj. Lebesgueova míra λ nesmí definovat žádnou hodnotu pro λ (PROTI).

Viz také

• Neměřitelná množina
• Banach – Tarski paradox

Reference

Bibliografie

• Herrlich, Horst (2006). Axiom výběru. Springer. p.120.
• Vitali, Giuseppe (1905). „Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta“. Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.