Oceňování (teorie míry) - Valuation (measure theory)
v teorie míry, nebo alespoň v přístupu k němu prostřednictvím teorie domény, a ocenění je mapa ze třídy otevřené sady a topologický prostor na soubor pozitivní reálná čísla počítaje v to nekonečno, s určitými vlastnostmi. Jedná se o koncept úzce související s konceptem a opatření, a jako takový nachází uplatnění v teorii opatření, teorie pravděpodobnosti, a teoretická informatika.
Definice teorie domény / míry
Nechat být topologickým prostorem: a ocenění je libovolná mapa
splňující následující tři vlastnosti
Definice okamžitě ukazuje vztah mezi oceněním a mírou: vlastnosti dvou matematických objektů jsou často velmi podobné, ne-li totožné, jediným rozdílem je, že doménou míry je Borel algebra daného topologického prostoru, zatímco doménou ocenění je třída otevřených množin. Další podrobnosti a reference najdete v Alvarez-Manilla, Edalat a Saheb-Djahromi 2000 a Goubault-Larrecq 2005.
Průběžné oceňování
Ocenění (jak je definováno v teorii domény / teorii míry) je považováno za kontinuální pokud pro každá řízená rodina z otevřené sady (tj indexovaná rodina otevřených sad, což je také režie v tom smyslu, že pro každou dvojici indexů a patřící k sada indexů , existuje index takhle a ) následující rovnost drží:
Tato vlastnost je obdobou τ-aditivita opatření.
Jednoduché ocenění
Ocenění (jak je definováno v teorii domény / teorii míry) je považováno za jednoduchý pokud je to konečný lineární kombinace s nezáporné koeficienty z Diracova ocenění, tj.
kde je vždy větší než nebo alespoň rovno nula pro celý index . Jednoduchá ocenění jsou ve výše uvedeném smyslu zjevně kontinuální. The supremum a řízená rodina jednoduchých ocenění (tj. indexovaná rodina jednoduchých ocenění, která je také směrována v tom smyslu, že pro každou dvojici indexů a patřící do sady indexů , existuje index takhle a ) je nazýván kvazi jednoduché ocenění
Viz také
- The problém s rozšířením pro dané ocenění (ve smyslu teorie domény / teorie míry) spočívá ve zjištění, za jakých typů podmínek je možné ji rozšířit na míru ve správném topologickém prostoru, který může nebo nemusí být stejným prostorem, kde je definován: papíry Alvarez-Manilla, Edalat a Saheb-Djahromi 2000 a Goubault-Larrecq 2005 v referenční části jsou věnovány tomuto cíli a podávají také několik historických detailů.
- Koncepty ocenění na konvexní sady a ocenění na rozdělovače jsou zevšeobecněním ocenění ve smyslu doména / teorie měření. Ocenění na konvexních množinách lze předpokládat komplexní hodnoty a podkladový topologický prostor je množina neprázdný konvexní kompaktní podmnožiny a konečný trojrozměrný vektorový prostor: ocenění na potrubích je komplexní hodnota konečně aditivní míra definované na správném podmnožina z třída ze všech kompaktní dílčí potrubí daného rozdělovače.[A]
Příklady
Dirac ocenění
Nechat být topologickým prostorem a nechť být bodem : mapa
je ocenění v teorii domény / teorii míry, tzv. sense Dirac ocenění. Tento koncept nese původ teorie distribuce protože jde o zjevnou transpozici do teorie oceňování Diracova distribuce: jak je vidět výše, Diracova ocenění jsou „cihly " jednoduché ocenění jsou vyrobeny z.
Poznámky
Citované práce
- Alvarez-Manilla, Maurizio; Edalat, Abbás; Saheb-Djahromi, Nasser (2000), „Výsledek rozšíření pro průběžné oceňování“, Journal of the London Mathematical Society, 61 (2): 629–640, CiteSeerX 10.1.1.23.9676, doi:10.1112 / S0024610700008681.
- Goubault-Larrecq, Jean (2005), „Rozšíření ocenění“, Matematické struktury v informatice, 15 (2): 271–297, doi:10.1017 / S096012950400461X
externí odkazy
- Alesker, Semyon, “různé předtisky na ocenění s", arxiv preprint server, primární stránka na Cornell University. Několik příspěvků zabývajících se oceňováním na konvexních množinách, oceňováním na rozmanitých a souvisejících tématech.
- Stránka nLab o oceněních