Měřitelný kardinál - Measurable cardinal

v matematika, a měřitelný kardinál je určitý druh velký kardinál číslo. Aby bylo možné definovat koncept, zavádí se dvojí hodnota opatření na kardinála $κ$ , nebo obecněji na libovolné sadě. Pro kardinála $κ$ , lze jej popsat jako dělení všech jeho podmnožiny do velkých a malých sad tak, aby $κ$ sám o sobě je velký, $\emptyset$ a všechno singletons ${α}, α \in κ$ jsou malé, doplňuje malé sady jsou velké a naopak. The průsečík méně než $κ$ velké sady jsou opět velké.^[1]

Ukázalo se, že nespočet Kardinálové obdařeni dvouhodnotovým měřítkem jsou velcí kardinálové, jejichž existenci nelze prokázat ZFC.^[2]

Koncept měřitelného kardinála představil Stanislaw Ulam v roce 1930.^[3]

Definice

Formálně je měřitelný kardinál nepočítatelný základní číslovka κ tak, že existuje κ-aditivní, netriviální, s hodnotou 0-1 opatření na napájecí sada zκ. (Zde termín κ-přísada znamená, že pro jakoukoli sekvenci A_α, α <λ mohutnosti λ < κ, A_α být párové disjunktní množiny ordinálů menší než κ, míra sjednocení A_α se rovná součtu měr jednotlivce A_α.)

Ekvivalentně κ je měřitelný znamená, že je kritický bod netriviální základní vložení z vesmír PROTI do tranzitivní třída M. Tato rovnocennost je způsobena Jerome Keisler a Dana Scott a používá ultrapower stavba z teorie modelů. Od té doby PROTI je správná třída, je třeba řešit technický problém, který obvykle není při zvažování ultrapowerů řešen tím, čemu se nyní říká Scottův trik.

Ekvivalentně κ je měřitelný kardinál tehdy a jen tehdy, pokud jde o nespočetného kardinála s κ-úplným, jiným než principálním ultrafiltr. To opět znamená, že je průsečík kteréhokoli přísně méně než κ- mnoho sad ve ultrafiltru, je také ve ultrafiltru.

Vlastnosti

I když to vyplývá z ZFC že každý měřitelný kardinál je nepřístupný (a je nevýslovný, Ramsey atd.), je v souladu s ZF že měřitelný kardinál může být a nástupce kardinál. Vyplývá to ze ZF + axiom determinovanosti to ω₁ je měřitelná a že každá podmnožina ω₁ obsahuje nebo je disjunktní z a uzavřený a neomezený podmnožina.

Ulam ukázal, že nejmenší kardinál κ, který připouští netriviální spočítatelně aditivní dvouhodnotovou míru, musí ve skutečnosti připustit míru κ-aditivní. (Pokud by existovala nějaká sbírka méně než κ podmnožiny 0 podmnožin, jejichž sjednocení bylo κ, pak by indukovaná míra na této kolekci byla protikladem k minimalitě κ.) Odtud lze dokázat (pomocí Axiom of Choice) že nejméně takový kardinál musí být nepřístupný.

Je triviální si uvědomit, že pokud κ připouští netriviální κ-aditivní míru, pak κ musí být pravidelné. (Díky netrivialitě a κ-aditivitě musí mít každá podmnožina mohutnosti menší než κ hodnotu 0 a poté znovu κ-aditivitou to znamená, že celá sada nesmí být spojením méně než κ sad mohutnosti menší než κ.) Nakonec, pokud λ <κ, pak nemůže být případ, že κ ≤ 2^λ. Pokud by tomu tak bylo, mohli bychom to identifikovat κ s nějakou sbírkou 0-1 sekvencí délky λ. Pro každou pozici v sekvenci by buď podmnožina sekvencí s 1 v této poloze, nebo podmnožina s 0 v této poloze musela mít míru 1. Průsečík těchto λ- mnoho podmnožin opatření 1 by tedy muselo mít také opatření 1, ale obsahovalo by přesně jednu sekvenci, což by bylo v rozporu s nepodstatností opatření. Tedy, za předpokladu Axiomu výběru, to můžeme odvodit κ je silný limit kardinál, který doplňuje důkaz o jeho nepřístupnosti.

Pokud κ je měřitelný a p∈PROTI_κ a M (ultrapower of PROTI) vyhovuje ψ (κ,p), pak soubor α < κ takhle PROTI splňuje ψ(α,p) je stacionární v κ (ve skutečnosti sada míry 1). Zejména pokud ψ je Π₁ vzorec a PROTI vyhovuje ψ (κ,p), pak M uspokojuje to a tak PROTI splňuje ψ(α,p) pro stacionární sadu α < κ. Tuto vlastnost lze použít k zobrazení κ je limit většiny typů velkých kardinálů, které jsou slabší než měřitelné. Všimněte si, že ultrafiltr nebo opatření, jehož je toho svědkem κ je měřitelný, nemůže být v M protože nejmenší takový měřitelný kardinál by musel mít pod sebou dalšího takového, což je nemožné.

Pokud jeden začíná elementárním vkládáním j₁ z PROTI do M₁ s kritický bod κ, pak lze definovat ultrafiltr U na κ jako { S⊆κ: κ∈j₁(S)}. Pak vezmeme ultra sílu PROTI přes U můžeme získat další základní vložení j₂ z PROTI do M₂. Je však důležité si to pamatovat j₂ ≠ j₁. Tedy další typy velkých kardinálů jako např silní kardinálové mohou být také měřitelné, ale nepoužívají stejné vložení. Je možné ukázat, že silný kardinál κ je měřitelný a má také κ-mnoho měřitelných kardinálů pod sebou.

Každý měřitelný kardinál κ je 0-velký kardinál protože ^κM⊆M, tj. každá funkce od κ do M je v M. Tudíž, PROTI_κ+1⊆M.

Skutečně měřitelné

Kardinál κ se nazývá reálné hodnoty měřitelné pokud existuje přísada κ míra pravděpodobnosti na výkonové sadě κ, která mizí na singletonech. Skutečně hodnotní měřitelní kardinálové představili Stefan Banach (1930 ). Banach & Kuratowski (1929) ukázal, že hypotéza kontinua to naznačuje ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ není měřitelná skutečnou hodnotou. Stanislaw Ulam (1930 ) ukázal (části Ulamova důkazu viz níže), že skuteční hodnotní měřitelní kardinálové jsou slabě nepřístupní (jsou ve skutečnosti slabě Mahlo ). Všichni měřitelní kardinálové jsou měřitelní se skutečnou hodnotou a měřitelný kardinál se skutečnou hodnotou je měřitelný právě tehdy, je-li větší než ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ . Kardinál je tedy měřitelný právě tehdy, je-li skutečně měřitelný a silně nepřístupný. Skutečně hodnotný měřitelný kardinál menší nebo roven ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ existuje tehdy a jen tehdy, když existuje spočetně aditivní prodloužení Lebesgueovo opatření na všechny množiny reálných čísel právě tehdy, když existuje bez atomů míra pravděpodobnosti na výkonové sadě nějaké neprázdné množiny.

Solovay (1971) ukázaly, že existence měřitelných kardinálů v ZFC, skutečných hodnotných měřitelných kardinálů v ZFC a měřitelných kardinálů v ZF jsou ekvikonzistentní.

Slabá nepřístupnost měřitelných kardinálů se skutečnou hodnotou

Řekněme, že světové číslo ${ displaystyle alpha}$ je Ulam číslo -li^[4]^{[pozn. 1]}

kdykoli

${ displaystyle mu}$ je vnější míra na setu ${ displaystyle X,}$
${ displaystyle mu (X) < infty,}$
${ displaystyle mu ( {x }) = 0, x v X,}$
Všechno ${ displaystyle A podmnožina X}$ jsou $μ$ -měřitelný,

pak

{ displaystyle operatorname {karta} X leq alpha Rightarrow mu (X) = 0.}

Ekvivalentně hlavní číslo ${ displaystyle alpha}$ je číslo Ulam, pokud

kdykoli

${ displaystyle nu}$ je vnější míra na množině ${ displaystyle Y,}$ a ${ displaystyle F}$ disjunktní rodina podmnožin ${ displaystyle Y}$ ,
${ displaystyle nu left ( bigcup F right) < infty,}$
${ displaystyle nu (A) = 0}$ pro ${ displaystyle A ve F,}$
${ displaystyle bigcup G}$ je $ν$ - měřitelné pro každého ${ displaystyle G podmnožina F}$

pak

{ displaystyle operatorname {karta} F leq alpha Rightarrow nu left ( bigcup F right) = 0.}

Nejmenší nekonečný kardinál ${ displaystyle aleph _ {0}}$ je číslo Ulam. Třída Ulamových čísel je uzavřena pod kardinální nástupce úkon.^[5] Pokud je nekonečný kardinál ${ displaystyle beta}$ má bezprostředního předchůdce ${ displaystyle alpha}$ to je číslo Ulam, předpokládejme ${ displaystyle mu}$ vyhovuje vlastnostem $(1)-(4)$ s ${ displaystyle X = beta}$ . V von Neumann model ordinálů a kardinálů, zvolte injekční funkce

{ displaystyle f_ {x}: x rightarrow alpha, quad forall x in beta,}

a definovat množiny

{ displaystyle U (b, a) = {x v beta: f_ {x} (b) = a }, quad a v alfa, b v beta.}

Protože ${ displaystyle f_ {x}}$ jsou sady jedna k jedné, sady

{ displaystyle left {U (b, a), b in beta right } { text {(}} a { text {fixed)}},}

{ displaystyle left {U (b, a), a in alpha right } { text {(}} b { text {fixní)}}}

jsou disjunktní. Podle vlastnictví (2) z ${ displaystyle mu}$ , sada

{ displaystyle left {b in beta: mu (U (b, a))> 0 vpravo }}

je počitatelný, a tedy

{ displaystyle operatorname {karta} left {(b, a) in beta times alpha | mu (U (b, a))> 0 right } leq aleph _ {0} cdot alpha = alpha.}

Existuje tedy ${ displaystyle b_ {0}}$ takhle

{ displaystyle mu (U (b_ {0}, a)) = 0 quad forall a in alpha}

z toho vyplývá ${ displaystyle alpha}$ je číslo Ulam a používá druhou definici (s ${ displaystyle nu = mu}$ a podmínky $(1)-(4)$ splněna),

{ displaystyle mu left ( bigcup _ {a in alpha} U (b_ {0}, a) right) = 0.}

Li ${ displaystyle b_ {0}$ pak ${ displaystyle f_ {x} (b_ {0}) = a_ {x} Rightarrow x v U (b_ {0}, a_ {x}).}$ Tím pádem

{ displaystyle beta = b_ {0} pohár {b_ {0} } pohár bigcup _ {a in alpha} U (b_ {0}, a),}

Podle majetku $(2)$ , ${ displaystyle mu {b_ {0} } = 0,}$ a od té doby ${ displaystyle operatorname {karta} b_ {0} leq alpha}$ tím, že $(4), (2)$ a $(3)$ , ${ displaystyle mu (b_ {0}) = 0.}$ Z toho vyplývá, že ${ displaystyle mu ( beta) = 0.}$ Závěr je takový ${ displaystyle beta}$ je číslo Ulam. Existuje podobný důkaz^[6] že supremum množiny ${ displaystyle S}$ čísel Ulam s ${ displaystyle operatorname {karta} S}$ číslo Ulam je opět číslo Ulam. Spolu s předchozím výsledkem to znamená, že kardinál, který není Ulamovým číslem, je slabě nepřístupný.