Ideální (teorie množin) - Ideal (set theory) - Wikipedia

V matematické oblasti teorie množin, an ideál je částečně objednané sbírka sady které jsou považovány za „malé“ nebo „zanedbatelné“. Každý podmnožina prvku ideálu musí být také v ideálu (tím se kodifikuje myšlenka, že ideál je představou maličkosti), a svaz jakýchkoli dvou prvků ideálu musí být také v ideálu.

Více formálně, vzhledem k sadě X, ideál Já na X je neprázdný podmnožina výkonová sada z Xtakové, že:

${ displaystyle emptyset v I}$ ,
-li ${ displaystyle A v I}$ a ${ displaystyle B subseteq A}$ , pak ${ displaystyle B v I}$ , a
-li ${ displaystyle A, B v I}$ , pak ${ displaystyle A cup B in I}$ .

Někteří autoři přidávají čtvrtou podmínku X sama o sobě není Já; ideály s touto extra vlastností se nazývají správné ideály.

Ideály v teoreticko-teoretickém smyslu jsou přesné ideály v pořadí-teoretickém smyslu, kde je příslušná objednávka nastavena na zařazení. Také jsou přesně ideály v prstencovo-teoretickém smyslu na Booleovský prsten tvořený výkonovou sadou podkladové sady.

Terminologie

Prvek ideálu Já se říká, že je I-null nebo I-zanedbatelnénebo jednoduše nula nebo zanedbatelný pokud je ideální Já je chápáno z kontextu. Li Já je ideální na X, pak podmnožina X se říká, že je I-pozitivní (nebo prostě pozitivní) Pokud to je ne prvek Já. Sbírka všech Já-pozitivní podmnožiny X je označen Já⁺.

Li ${ displaystyle I}$ je správný ideál ${ displaystyle X}$ a pro každého ${ displaystyle A subseteq X}$ buď ${ displaystyle A v I}$ nebo ${ displaystyle X setminus A v I}$ , pak jsem hlavní ideál.

Příklady ideálů

Obecné příklady

Pro jakoukoli sadu X a libovolně zvolená podmnožina B ⊆ X, podmnožiny B tvoří ideální na X. Pro konečné X, všechny ideály jsou této formy.
The konečné podmnožiny jakékoli sady X tvoří ideální na X.
Pro všechny změřte prostor, sady míry nula.
Pro všechny změřte prostor, množiny konečné míry. To zahrnuje konečné podmnožiny (pomocí počítání opatření ) a malé sady níže.

Ideály na přirozená čísla

Ideál všech konečných sad přirozená čísla je označen Fin.
The shrnutelný ideál na přirozených číslech, označeno ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {1 / n}}$ , je kolekce všech sad A přirozených čísel tak, že součet ${ displaystyle sum _ {n v A} { frac {1} {n + 1}}}$ je konečný. Vidět malá sada.
The ideální pro asymptoticky sady s nulovou hustotou na přirozených číslech, označeno ${ displaystyle { mathcal {Z}} _ {0}}$ , je kolekce všech sad A přirozených čísel tak, že zlomek přirozených čísel je menší než n které patří A, má sklon k nule jako n inklinuje k nekonečnu. (Toto je asymptotická hustota z A je nula.)

Ideály na reálných číslech

The měřit ideální je kolekce všech sad A z reálná čísla takové, že Lebesgueovo opatření z A je nula.
The hubený ideál je sbírka všech hubené sady reálných čísel.

Ideály na jiných scénách

Pokud λ je pořadové číslo nespočet spolufinancování, nestacionární ideál na λ je soubor všech podmnožin λ, které nejsou stacionární soupravy. Tento ideál byl rozsáhle studován W. Hugh Woodin.

Operace na ideálech

Vzhledem k ideálům Já a J na podkladových sadách X a Y jeden tvoří produkt Já×J na kartézský součin X×Y, takto: Pro jakoukoli podmnožinu A ⊆ X×Y,

{ displaystyle A v I krát J iff {x v X | {y | langle x, y rangle v A } notin J } v I}

To znamená, že sada je zanedbatelná v ideálním produktu, i když jen zanedbatelná sbírka X- souřadnice odpovídají nezanedbatelnému kousku A v y-směr. (Možná jasnější: Sada je pozitivní v produktu ideální, pokud pozitivně mnoho X- souřadnice odpovídají kladným řezům.)

Ideál Já na setu X vyvolává vztah ekvivalence na P(X), sada motorů X, vzhledem k tomu A a B být ekvivalentní (pro A, B podmnožiny X) právě tehdy, když symetrický rozdíl z A a B je prvek Já. The kvocient z P(X) tímto vztahem ekvivalence je a Booleova algebra, označeno P(X) / Já (přečíst „P z X mod Já").

Každému ideálu odpovídá filtr, volal jeho duální filtr. Li Já je ideální na X, pak duální filtr z Já je kolekce všech sad X \ A, kde A je prvek Já. (Tady X \ A označuje relativní doplněk z A v X; tj. sbírka všech prvků X to jsou ne v A.)

Vztahy mezi ideály

Li Já a J jsou ideály X a Y respektive Já a J jsou Rudin – Keisler izomorfní pokud jsou stejné ideální, kromě přejmenování prvků jejich základních sad (ignorování zanedbatelných sad). Formálnější je požadavek, aby existovaly sady A a B, prvky Já a J respektive a bijekce φ:X \ A → Y \ B, takže pro jakoukoli podmnožinu C z X, C je v Já jen a jen pokud obraz z C pod φ je v J.

Li Já a J jsou tedy izomorfní Rudin – Keisler P(X) / Já a P(Y) / J jsou izomorfní jako booleovské algebry. Izomorfismy kvocientu Booleovské algebry indukované Rudin-Keislerovými izomorfismy ideálů se nazývají banální izomorfismy.

Viz také

Filtr (matematika) - V matematice speciální podskupina částečně uspořádané množiny
$π$ -Systém - Neprázdná rodina množin, kde průsečík jakýchkoli dvou členů je opět členem.
σ-ideální

Reference

Farah, Ilijas (listopad 2000). Analytické kvocienty: Teorie zvedání kvocientů nad analytickými ideály na celých číslech. Monografie AMS. Americká matematická společnost. ISBN 9780821821176.